高一数学空间中的平行和垂直的综合应用一

高一年级数学空间中平行和垂直的综合应用(一)证明线面平行、线面垂直有哪些方法？证明面面平行、面面垂直有哪些方法？【知识回顾】【知识回顾】线面平行的判定定理线面平行的性质定理【知识回顾】面面平行的判定定理面面平行的判定定理推论cd【知识回顾】面面平行的性质定理【知识回顾】线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理【知识回顾】面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理平行与垂直的相互转化垂直于同一个平面的两条直线平行，即与平面的垂线平行的直线也垂直于这个平面，即通过前面几节课的学习，我们认识了空间中的点、线、面的位置关系，重点学习了空间中的平行关系和垂直关系，这节课我们将探究空间中平行和垂直的综合应用问题，进一步提升解决立体几何综合问题的能力.1.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，【真题面对面】PA=AD.求证：(1)AF

平面PEC(2)AF平面PCD1.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD.求证：(1)AF

平面PEC思路一：通过构造平行四边形生成线线平行关系(1)证法一：取PC的中点G，连接EG,FG

点F是PD的中点，

GF

CD,GF=CD

点E是AB的中点，

EA=AB在平行四边形ABCD中，AB

CD，AB=CD

GF

AE,GF=AE，

四边形AEGF是平行四边形，所以GE

AF

AF

平面PEC,GE

平面PEC

AF

平面PEC思路二：通过构造三角形中位线，生成线线平行关系(1)证法二：连接CE并延长交DA的延长线于点M，连接PM，在平行四边形ABCD中，

AB

CD，AD

CB，

AM

CB

点E是AB的中点，

点E是MC的中点

点A是MD的中点，又

点F是PD的中点

AF

PM

AF

平面PEC，PM

平面PEC，

AF

平面PEC思路三：通过构造面面平行，生成线线平行关系（1)证法三：取CD的中点Q，连接FQ，AQ，

点F是PD的中点，

QF

CP.点Q是CD的中点，

CQ＝

CD,

点E是AB的中点，

AE＝

AB

，

在平行四边形ABCD中，AB

CD,AB=CD,CQ

AE,CQ=AE,

四边形AECQ是平行四边形，AQ

EC,

AQ

QF=Q，

平面AQF

平面PEC.

AF

平面AQF，

AF

平面PEC1.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD.求证：(2)AF平面PCD证明线面垂直的基本条件是什么？(2)证明线面平行,面面平行,需转化为证明线线平行证明线面垂直,面面垂直,需转化为证明线线垂直【题后反思】线面平行面面平行线线平行判定性质性质判定判定性质平行关系的转化

线面垂直面面垂直线线垂直判定定义性质判定垂直关系的转化

【典型例题】例1：如图，在正方体

中，

E是

中点，求证：(1)(2)例1：如图，在正方体

中，

E是

中点，求证：(1)例1：如图，在正方体

中，

E是

中点，求证：(2)证明：(1)连接AC，交BD于点O，在正方体

中,，,又,(2)连接OE，因为E是

中点，又由(1)知，O为AC中点,，又OE

平面BDE，,同类练习1：直三棱柱

中，

M为

的中点，N是

与

的交点.(1)求证：(2)求证：同类练习1：直三棱柱

中，

M为

的中点，N是

与

的交点.(1)求证：同类练习1：直三棱柱

中，

M为

的中点，N是

与

的交点.(2)求证：证明：（1)连接

，因为M，N分别为,的中点

，,,,(2)在直三棱柱中，

所以侧面

为正方形，

则

又,

例2：如图所示，O是正方形ABCD的中心，

，E是PC的中点，求证：(1)(2)

【典型例题】例2：如图所示，O是正方形ABCD的中心，

，E是PC的中点，求证：(1)

例2：如图所示，O是正方形ABCD的中心，

，E是PC的中点，求证：(2)

【典型例题】证明：（1)连接OE，在正方形ABCD中，点O是AC的中点

E是PC的中点,OE是

的中位线，,又

，(2)在正方形ABCD中，

，

，

又

同类练习2：如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：(2)求证：(3)若

求证：同类练习2：如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：面面平行平行四边形线面平行线线平行线面平行中位线线线平行线面平行证明：（1）取CD的中点R，连接MR，NR因为R，N分别是CD，PC的中点所以

，又可证因为NR与MR相交可证

同类练习2：如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(2)求证：因为

，所以

在矩形ABCD中，

，又因为

，所以

，所以

，由(1)已证

，所以

，,又因为所以

，所以同类练习2：如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(3)若

求证：H(3)在

中，所以

，连接PM，CM

所以

，又因为N是PC的中点，于是,由(2)知

所以【典型例题】例3：如图，已知

是正三角形，EA，CD都垂直于平面ACB，且EA=AB=,DC=,F是BE的中点，求证：(1)(2)例3：如图，已知

是正三角形，EA，CD都垂直于平面ACB，且EA=AB=,DC=,F是BE的中点，求证：(1)证明：(1)取AB的中点M，连接FM，MC因为F，M分别是BE，BA的中点所以

，因为AE，CD都和平面ABC垂直所以

，所以

，又CD＝

，所以所以四边形FMCD是平行四边形，所以

，例3：如图，已知

是正三角形，EA，CD都垂直于平面ACB，且EA=AB=,DC=,F是BE的中点，求证：(2)(2)因为M是AB的中点，

是正三角形，所以

，所以因为F是BE的中点，

，所以

，又

，所以，同类练习3：在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，(1)求证：(2)当点M为BD的中点时，求证：同类练习3：在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，(1)求证：证明：（1)因为所以