机械振动电子课件清华第四章

◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，那么这个系统就是两个自由度系统。◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某一个固有频率作固有振动。◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时的振型就是与固有频率相应的固有振型。第四章

两自由度系统的振动如图4.1-1(a)所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量m1与m2分别用弹簧k1与k3连至定点，并用弹簧k2相互联结。取m1与m2的静平衡位置为坐标原点，描述m1

与m2

位置的坐标为x1和x2。取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛顿运动定律有m1x1

=

-k1x1

+

k2

(x2

-

x1)m2

x2

=

-k2

(x2

-

x1

)

-

k3

x2系统的受力如图4.1-1(b)所示。4.1

自由振动图4.1-1方程(4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成移项得2

2

2

1

2

3

2m

x

-

k

x

+（k

+

k

)x

=

0m1x1

+(k1

+

k2

)x1

-

k2

x2

=

0

(4.1-1)2

2m1

k1

+

k2

-k2

x1

0

2

2

3

2

0

x1

0

m

x

+

-k

k

+

k

x

=

0(4.1-2)由系数矩阵组成的常数矩阵M和K分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x称为位移向量。设(4.1-3)2

2

21

1

22

2m

x

+

k

x

+

k

x

=

0k1

+

k2

=

k11,

-

k2

=

k12

=

k21,

k2

+

k3

=

k22则方程(4.1-1)可以写成m1x1

+

k11x1

+

k12

x2

=

0

(4.1-4)方程(4.1-4)为系统自由振动的微分方程。因为方程(4.1-4)是齐次的，如果x1和x2为方程

(4.1-4)的一个解，那么与其相差一个常数因子a的ax1和ax2也将是一个解。通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是x1和x2同步运动的解。有趣的“同步化”现象最早观察到同步化现象的科学家是荷兰的物理学家克里斯蒂安·惠更斯(Christian

Huygens

1629-1695)。根据伽利略(Galileo

Galilei1564-1642)发现的钟摆的等时性原理，他于1656年把单摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。1665年2月的一天，因为身体不适，他躺在家里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。有趣的现象：墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动，不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断，这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气振动或者是墙壁的轻微振动导致的。沿着弯弯曲曲的河道走进茂密的森林，黄昏洒下温柔的光辉，落在森林的枝杈上，一闪一闪，好像一两星萤火虫的光芒。夜渐渐深了，不知不觉，岸边的树林被成群的萤火虫，点成了一座星星的城堡。不过最壮观的却是深夜的某一时刻，好像在谁一声令下似的，所有原来此起彼伏，各自发光的萤火虫们，全都开始同时明暗，变得整齐一致了！除了萤火虫的发光之外，自然界里到处都可以发现同步化现象。由一万多个细胞组成的心脏搏动器总是按照同一个的节奏产生着脉冲信号；知了每17年都会一起爬到地面上来进行繁殖；秋天晚上的蟋蟀们，也好像有谁指挥一样，齐刷刷地奏出优美动听的大合唱。以上现象存在着三个共同点：(1)每个个体都在进行各自不同的周期性运动；(2)它们的运动节奏在某一瞬间变得一致；(3)它们身上都应该存在某种导致这种现象的媒介物质。物理学家们把这种做周期性运动的个体称为

“振动体”，把通过媒介物质连接在一起的振动体称为

“耦合振动体”，又把他们同时改成同一节奏运动的现象叫做“同步化”现象。◆同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动形态，但这并不意味着耦合振动体只能做同步运动。耦合振动体的运动形态是多种多样的。让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两只脚做的是位移相同的移动。但土著人在走路时，左脚与右脚所做的却是位移相反的移动。如果将袋鼠的跳跃看成同步化的结果的话，那么土著人的走路则是反同步化的结果。四只脚的动物：兔子在奔跑的时候，两只前脚移动的位移相同，但两只后脚移动的位移却和前脚的相反。长颈鹿，是同侧的前后两只脚一起移动。左前脚和左后脚一起动，右前脚和右后脚一起动。马的走路方式有些特别，做位移相同移动的是对角线上的两只脚，即左前脚和右后脚一起动，而右前脚则和左后脚一起动。大象体积庞大，走起路来更是别具一格，四只脚移动时分别各自相差90度的位移差。没有一只脚做的是相同位移的移动。◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞)看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出振动体的特点。1998年匈牙利的物理学家塔马斯·维塞克在布达佩斯音乐学院举行的一场音乐会上意外地发现了同步化的现象。演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达

3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。在那之后，维塞克博士便在音乐厅的屋顶上安装了一个麦克风，用以记录下每场音乐会的掌声情况，并进行分析。他发现音乐会结束后，持续的鼓掌声中，狂热的掌声与同步的掌声一般会交替出现6~7回。更神奇的是，这种交替并不是逐渐发生的，而是瞬间性的突然从一种模式转向另一种模式。物理学者称这种现象为“相变”。狂热而无规则的鼓掌有助于表达自己激动而振奋的情绪，而有节奏的掌声则可以使人感觉和其他观众融为一体，比较有安全感。维塞克博士认为，音乐会上的观众们在这两种情感之间左右不定，所以才会不断的交替使用两种不同的鼓掌方式。◆为什么萤火虫、蟋蟀等能够这样不约而同地

按照同样的节奏发光、鸣叫或者产生脉冲呢？他

们是怎样实现这样惊人的同步的呢？其实，从物

理学的角度来实现自然界各种各样同步化现象的

模型化，长久以来一直是物理学家们最大的梦想。随着非线性动力学研究的发展，以及计算机计算

性能的飞速提高（使得计算量庞大的非线性方程

的求解最终成为可能），这个至今还贴着神秘封

条的同步化现象又一次成为人们关注的焦点，物

理学家们已经摒住了呼吸，开始凝神倾听大自然

的节奏，相信不久的将来，他们一定能给我们一

个满意的回答。在同步运动的情况下，比值x2/x1必定与时间无关，也就是说x1和x2对时间有相同的依赖关系。用f(t)表示x1和x2对时间的依赖部分，则其所求得的解可以写成x1

=

u1

f

(t),

x2

=

u2

f

(t)式中常数u1和u2起振幅的作用。将方程(4.1-5)代入方程(4.1-4)，得(4.1-5)2

2

21

1

22

2m

u

f(t

)+

(k

u

+

k

u

)f

(t

)=

0m1u1

f(t

)+

(k11u1

+

k12u2

)f

(t

)=

0

(4.1-6)=

l=-1

1

2

2m

u m

uk11u1

+

k12u2

k21u1

+

k22u2f

(t

)=f(t

)(4.1-7)因为m1，m2，k11，k12，k21，k22，u1和u2全部是实常数，所以l必为实常数。又由方程(4.1-7)，得为使方程(4.1-8)有振动解，可以证明l必须为正实数，令l=w2。如果同步运动可能的话，那么对时间的依赖是简谐函数，方程(4.1-8)唯一可能的解为为了使方程(4.1-6)有解，必须有f(t)

+

lf

(t)

=

0(4.1-8)f

(t)

=

C

sin(w

t

+j

)(4.1-9)式中C为一任意常数，w

=l为简谐振动的频率，j为初相位角。常数C,j由初始条件决定。另一方面，由方程(4.1-7)还可以得到21

1

22

2

21

12

221211u

=

0u

+

k

u

=

0

k

u

+(k

-w

m

)k

-w

m

)(4.1-10)方程(4.1-10)是以u1和u2为未知数的两个联立的齐次代数方程组，其中w2起参数作用。方程(4.1-10)具有非零解的条件为u1和u2的系数行列式等于零，即2212111

=

0k21

k22k

-w

mk

-w

2mD(w

2

)

=

det(4.1-11)D(w2)称为特征行列式，它是w2的二次多项式。展开方程(4.1-11)，并考虑k12=k21，得到1

2

1

22

2

11

11

22

12D(w

2

)

=

m

m

w

4

-(m

k

+

m

k

)w

2

+

k

k

-

k

2

=

0(4.1-12)方程(4.1-12)称为特征方程或频率方程，它是w2的二次方程，其根为21

1

22

2

112

m1m21

m

k

+

m

k=w

2w

2m1m2

m1m2k

k

-

k

22

1

22

2 11

-

4

11

22

12

1

m

k

+

m

k2(4.1-13)式中w

1和w

2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度，称为系统的固有频率。w

1为第一阶固有频率，简称为基频；w2为第二阶固有频率。都由式(4.1-13)可见“”号后面的项要小于前面的2

21

2项，于是

w

和

w

是正数。因为11

22k

k

=

(k

+

k

)(k

+

k

)

>

k

2

=

k

21

2

2

3

2

12只有两种振型的同步运动是可能的，它们分别以固有频率w

1和w

2来显示其特征，当系统按其中任一固有频率振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值。对于齐次问题，只可能确定比值和，使有确定的振动形态。(1)1(1)2/

uu1(2)

(2)2统/u具整个u系用

和表示对应于1w

的值，用

和表示对应于w2的值。w1

,

，,

。u(1)

(1)1

2(2)1u

u(2)2u1u2

2(1)

uw(1)

1u2(2)

u(2)将

代入方程(4.1-10)，有21w11k

-w

2m u

1)

+

k u

1)

=

01

1

1

12

2121ku(1)

u(1)k

-w

2m

2

=

-

11 1

12221

1k u

1)

+

k

-w

2m u

1)

=

01

2

21

21

22ku(1)

u(1)k

-w

2m

2

=

-

21

求得(4.1-14a)1

212

221ku(1)u(1)k

k

-w

2mk

-w

2mr1

=

2

=

-

11

1

1

=

-

12

将 代入方程(4.1-10)，有22w11k

-w

2m u

2)

+

k u

2)

=

02

1

1

12

2121ku(2)u(2)k

-w

2m

2

=

-

11 2

121

1

22k u

2)

+

k

-w

2m u

2)

=

02

2

22

21

22ku(2)u(2)k

-w

2m

2

=

-

21

2

212

221ku(2)u(2)k

k

-w

2mk

-w

2mr2

=

2

=

-

11 2

1

=

-

12

(4.1-14b)求得成对的常数

和与另一对常数

和 可以确定当(1)u(1)u(2)(2)1

2

1

2u

u系统分别以频率w1和w2进行同步简谐运动时呈现的形状，称为系统的固有振型(或主振型)。可以表示为下列矩阵形式(1)1

2

11r

=

uu(1)u(1)

u(1)

=

(4.1-15a)

2

(2)1

2

1

1

1

r

=

uu(2)u(2)

u(2)

=

(4.1-15b)振型向量或模态向量。阶固有振型。式中

u(1和)

u称(2为)一阶固有振型，为u(第1)为u第(2二)固有频率和固有振型只决定于系统本身的物理性质，而与初始条件无关。固有振动是一种简谐振动。对于一个给定的系统，以固有频率作振动的振型形状是一定的，但其振幅则不是唯一的。两自由度系统有两个固有频率w

1和w

2，相应地存在两个固有振型和u(1)

。u(2)回到方程(4.1-5)和(4.1-9)，可以分别得出对应w1和w2的运动方程11(1)1

2

r=

u f

(t)

=

Cx(1)

(t)x(1)

(t)

1

x(1)

(t)

=

sin(w1t

+j1

)

(4.1-16a)22(2)1

2

1

1

2

sin(w

2t

+j2

)r=

u

f

(t)

=

Cx(2)

(t)x(2)

(t)x(2)

(t)

=

(4.1-16b)式中常数12

1

2C

和C

中，f

(t)和f

(t)1为对应于w

，2和w

，种同步运动对时间的依赖。式(4.1-16)给出了两自由度系统的两阶固有振动。(1)1u(2)1和

u已分别并入(1)uu(2两)在一般情况下，振动系统的运动将通过两个固有振型的叠加求得，即sin(sin(221

1

21

1

2

1

1

w

t

+j

)w

t

+j

)

+

Cr

r=

Cx(t)

=

x(1)

(t)

+

x(2)

(t)(4.1-17)式中常数C1和C2以及相角j1和j2由初始条件确定。在一般情况下，两自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。在特殊的情况下，系统的自由振动会按某一个固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。2

2

2

1

2

3

2m

x

-

k

x

+（k

+

k

)x

=

0例4.1-1

在前述图4.1-1a所示的系统中，设

m1=m，m2=2m，k1=k2=k，k3=2k，试求系统的固有频率和固有振型。解：振动的微分方程为m1x1

+(k1

+

k2

)x1

-

k2

x2

=

0

(a)设1

1x

(t)

=

X

sin(w

t

+j

)(b)x2

(t)

=

X

2

sin(w

t

+j

)代入振动微分方程组，得2

22322

121

2

1

1

2

2X

=

0X

-

k

X

=

0

(k

+

k

)

-w

m

]-

k X +（k[

+

k )

-w

m ](c)代入m1=m,m2=2m,k1=k2=k,k3=2k，得上式具有非零解的条件为X1和X2的系数行列式等21

21

23k

-

2

X

=

0-

kX

+

(

w

m)2k-w

2m)X

-

kX

=

0

(d)=

0-

k3k

-

2w

2m2k

-w

2m-

k(e)于零，即D(w

2

)

=得特征方程(f)D(w

2

)

=

2m2w

4

-

7mkw

2

+

5k

2

=

0固有频率为12kmmw

=

k

,

w=1.5811(g)将

代入式(d)

，有21w将 代入式(d)

，有22w=

0=

0

(1)

221(1)

1(1)2(1)121X3k

-

2-

kX-

kX)X+

(

w

m)2k

-w

m(h)得1k2k

-(k

m)mkX

(1)

X

(1)r1

=

2

=

1

=2k

-w

2m=1

(i)=

0

(2)22

2(2)1(2)2(2)122X

=

03k

-

2-

kX-

kXX+

(

w

m)2k

-w

m)(j)得1=

-0.5k2k

-(5k

2m)mkX

(2)X

(2)r2

=

2

=

2

=2k

-w

2m(k)故根据(4.1-15)得到的系统的固有振型为111(2)

(2)1(1)

(1)

-

0.5

1

,

u

=

uu

=

u图4.1-2在第一阶主振型中，两个质量以相同的振幅作同向运动；在第二阶主振型中，两质量以振幅比

1:0.5反向运动；注意到第二阶固有振型具有一个零位移的点，这种始终保持不动的点称为节点。第一阶主振型第二阶主振型例4.1-2求图4.1-3所示扭转振动系统的固有频率和固有振型。已知两圆盘对转轴的转动惯量为

I1和I2，轴段的扭转刚度为kq

。图4.1-3解：设q1与q2分别表示圆盘I1与I2的角位移，则轴的相对转角为q2-q1，因此轴对圆盘的弹性扭矩为kq(q2-q1)，方向如图4.1-3b所示。分别列出两圆盘的转动方程，即振动系统的扭转振动微分方程组1

12

2q

2

1q

2

1I

q

=k

(q

-q

)I

q

=-k

(q

-q

)移项可得1

12

2q

1

q

2q

1

q

2I

q

+

k

q

-

k

q

=

0I

q

-

k

q

+

k

q

=

0设q1

=Q

1

sin(w

t

+j)q2

=Q

2

sin(w

t

+j)特征方程为qq

1

q

2(k

-w

2

I

)(k

-w

2

I

)

-

k

2

=

0或者1

2q

1

2I

I

w

4

-

k

(I

+

I

)w

2

=

0代入扭转振动微分方程组，得q

1

1

q

2(k

-w

2

I

)Q

-

k

Q

=

02

2qq

1+

(k

-w

2

I

)Q

=

0-

k

Q故根为121

2I

IqI1

+

I2w

2

=

0,w

2

=

k相应的振幅比1qQ

(1)Q

(1)kk

-w

2

Ir1

=

2

=

q 1

1

=121Ik

Iqr2

=

2

=

q 2

1

=

-

1k

-w

2

IQ

(2)Q

(2)这里出现一个根为零根，相应的振幅比为1，即q1=q2。这表明圆盘以同样的转角转动，轴段相对无变形，整个系统作为一个刚体进行定轴转动，所以振动系统没有扭振。图4.1-4当扭振的频率为w

2时，相应的固有振型如图4.1-4所示，圆盘I1与I2恒沿相反方向运动，轴上有一个截面始终保持不动，这个截面称为节面。节面至圆盘I1与I2的距离为21

2

1

21I2l

I1lI

+

I,

l

=I

+

Il

=节面的位置正好把轴段按两圆盘转动惯量的反比例分成两段，即l2

I1l1

=

I

2如果设想把轴系在节面处截断，并加以固定，就可以把系统看成两个以同一频率，按相反方向扭振的单自由度系统。例4.1-3只考虑车体的上下与俯仰振动，把车辆简化为两自由度系统。已知车体质量为m，绕质心回转半径为r，前轴与质心的距离为l1，后轴与质心的距离为l2，前轮悬挂刚度为k1，后轮悬挂刚度为k2。试确定车辆质心的铅垂运动及绕质心的俯仰运动的固有频率与固有振型。图4.1-5解：取车体质心C的铅垂向坐标x和绕横向水平质心轴的转角q为广义坐标。设在某瞬时t，质心

C相对于静平衡位置向下位移x，车体有仰角

q，则前后弹簧分别缩短(x+l1q)与(x-l2q)。2

22

22

2 1

1 1

1+

k

l

)q

=

0-(k

l

-

k

l

)x

+

(k

lI

qC由牛顿运动定律有mx

=

-k1(x

+

l1q)

-

k2

(x

-l2q)ICq

=

-k1

(x

+

l1q)l1

+

k2

(x

-

l2q)l2移项可得mx

+(k1

+

k2

)x

-(k2l2

-

k1l1)q

=

0写成矩阵形式为2

2 1

1 1

1k1

+

k2m-(k2l2

-

k1l1

)

x

=

0

0

q

0-(k

l

-

k

l

)k

l

2

+

k

l

2

C

2

2

0

x

+I

q令矩阵中的系数为k11

=

k1

+

k2k12

=

k21

=

-(k2l2

-

k1l1)k

=

k

l

2

+

k

l

222 1

1

2

2并注意到IC=mr2，则振动微分方程改写为mx

+

k11x

+

k12q

=

022212q

=

0mr

q

+

k x

+

k设x

=

X

sin(w

t

+j

)q

=Q

sin(w

t

+j

)代入振动微分方程，有11

12(k

-w

2m)

X

+

k

Q

=

02

2k21

X

+(k22

-w

mr

)Q

=

0特征方程为12-

k

2

=

0m2

r2w

4

-(k mr2

+

k

m)w

2

+

k

k11

22

11

22则求得固有频率为21w

2w

2m2

r2mr22

mr2k

k

-

k

22

11 22

-

4

11

22

12

)

1

k

r2

+

k21

(k

r2

+

k=

11

22

振幅比11

1

21kX

(1)k

k

-w

2mr2k

-w

2m=

-

12

=

-

22

1

r1

=11

2

21kQ（1）X

(

2)k

k

-w

2mr2k

-w

2m=

-

12

=

-

22

2

r2

=Q（2）▲若r1>0，r2<0，则在第一阶固有振动时x与q是同方向，而在第二阶固有振动时x与q是反方向。▲若|r2|<<|r1|，表明两种固有振动如以相同的角位移q作比较，第一阶固有振动的质心位移远大于第二阶固有振动的质心位移。▲即，第一阶固有振动以上下垂直振动为主，其固有振型如图4.1-6(a)所示，▲即，第二阶固有振动以车体绕质心的俯仰振动为主，其固有振型如图4.1-6(b)所示。图4.1-6▲即，前者可以看作绕车体外一节点摆动；而后者是以质心附近一点为节点作摆动。◆一般情况下，两自由度以上的振动系统的微分方程组都会出现耦合项，如果以矩阵形式表示，则耦合项体现在非对角元素上。◆对于同一个系统，选取坐标的不同，列出的系统运动方程的具体形式就不同。但不会影响到系统的性质，其固有特性不变。◆振动微分方程通过刚度项来耦合，称为静力耦合或弹性耦合。振动微分方程通过质量项来耦合，称为动力耦合或惯性耦合。◆耦合的性质决定于所选用的坐标，而不决定于系统的基本特性。◆若振动方程中存在有耦合项，则各个方程不能单独求解。4.2

静力耦合和动力耦合以上下振动和俯仰振动的车体(图4.2-1)为研究对象来说明耦合的性质。如前所述，从车体质心C的铅垂向坐标x和绕横向水平质心轴的转角q为广义坐标所建立的振动微分方程为ICq

=

-k1

(x

+

l1q)l1

+

k2

(x

-

l2q)l2

mx

=

-k1

(x

+

l1q)

-

k2

(x

-

l2q)(4.2-1)0

02

2 1

1q

=

k

l

2

+

k

l

2

01

1

2

2

(4.2-2)k1

+

k2

-(k2l2

-

k1l1

)

xm

C

I

q

+

-(k

l

-

k

l

)0

x

可见其耦合为静力耦合或弹性耦合。图4.2-1现在以弹簧支承处的位移x1与x2为广义坐标来建立振动微分方程。因为x1与x2同x与q有如下关系：x2

=

x

-l2q(4.2-3)(4.2-4)x1

=

x

+

l1q,变换后得x

=

l2

x1

+

l1

x2

,q

=

x1

-

x2l1

+

l2l1

+

l2图4.2-1将其代入方程(4.2-1)，得-

1

1

1

2

2 2

1

2211

2=

-k

l

x

+

k

l

xl

+

lI

=

-k1x1

-

k2

x2

l

+

lmCxx

l2

x1

+

l