数列概念与简单表示法二

第二章

数

列§2.1数列的概念与简单表示法(二)理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一 数列的函数性质数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an

＋1<an

，则{an}为

递减

数列；若an＋1＝an，则{an}为

常数列

.思考1

从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？答案

还可以用列表法，图象法.答案思考2

数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？答案

联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不答案4正确，例如f(x)＝(x－5)2，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1、x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的an与an＋1的大小来确定单调性.知识点二 数列的表示方法数列的递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.答案思考1

已知数列{an}满足a1

＝3，an

＋

1

＝2an

＋1，则数列的第5项a5

＝答案

，由此归纳出{an}的一个通项公式为

，可以求得a8＝

.答案

∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.思考2

由思考1，体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别？答案通项公式直接反映了an与n之间的关系，即知道n值，即可代入通项公式求得该项的值an；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求an，须将前面的各项依次求出才行.返回题型探究重点突破题型一 数列的函数特征n2n

＋9(n∈N*)，写出其前5项，并例1

已知数列{an}的通项公式为an＝判断数列{an}的单调性.解析答案反思与感悟反思与感悟n10

13

6

25

34解

当

n＝1,2,3,4,5

时，a

依次为

1

，

2

，1，

4

，

5

，nn＋1

－n2－n＋9an＋1－an＝(n＋1)2＋9－n2＋9＝[(n＋1)2＋9][n2＋9].∵函数f(x)＝－x2－x＋9＝－(x＋1)2＋37在[1，＋∞)上单调递减，2

4又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)<0，∴当n＝1,2时，an＋1>an，当n≥3，n∈N*时，an＋1<an，即a1<a2<a3>a4>a5>….∴数列{an}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论.作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系.反思与感悟跟踪训练1

求例题中的数列{an}的最大项.解

∵a1<a2<a3>a4>a5>…，解析答案n

36∴数列{a

}的最大项为a

＝1.4

52a5343

a3

1

32同理得

a

＝3，a

＝

，故

＝

＝

，选

B.题型二 递推公式的应用例2

(1)已知数列{an}满足anan－1n－1n＝a

＋(－1)

且1a5a3a

＝1，则 等于A.16B.4C.

83

15D.8315解析

由a1＝1知a2a1＝a1＋(－1)2，得a2＝2；解析答案3

223由a

a

＝a

＋(－1)，得3122a

＝

；(

B

)n(2)已知数列{a

}分别满足a

＝1，an＋1＝

2anan＋2.通过它的前5项，归纳得出数解析答案反思与感悟1221＋23解析

a

＝1＝2，a

＝2×1＝2，a

＝2×233

2＋22

43＝1＝2，4a

＝2×121＋52＝2，a

＝2×25

22

5＋23

65＝1＝2.n故数列的一个通项公式为a

＝2n＋1(n∈N*).12列的一个通项公式是

n＋1

.an＝

(n∈N*)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似.可以根据递推公式依次求得数列中的项.利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们发现数列的通项公式.反思与感悟跟踪训练2

数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.(1)写出数列的前5项；12解

由已知可得

a

＝1＝1，a

＝11

334

55

7

9a

＝1，a

＝1，a

＝1.(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式.解

由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，n所以它的一个通项公式为a

＝12n－1.解析答案题型三 由递推公式求通项公式例3

(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1nnn＝a

＋ln(1＋1)，求a

.解析答案n－1解

由题意得an＋1

nn－a

＝lnn＋1，∴an－an－1＝lnnn－1(n≥2)，2

1an－1－an－2＝lnn－2，……，2a

－a

＝ln1.

n

n－1n－1

n－22∴当

n≥2

时，an－a1＝ln(

· ·…·1)＝ln

n，∴an＝2＋ln

n(n≥2).当n＝1时，a1＝2＋ln

1＝2，符合上式，∴an＝2＋ln

n(n∈N*).(2)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an(n∈N*)，写出前3项，猜想an并加以证明.解析答案反思与感悟解

a1＝1＝20，a2＝2a1＝21，a3＝2a2＝22，猜想an＝2n－1(n∈N*).证明如下：由题意得，an＝2an－1(n≥2)，∵a1＝1≠0，∴an≠0，反思与感悟∴

anan－1

an－2a1＝2，an－1＝2，…，a2＝2，an－1

an－2a1∴

an

·an－1·…·a2＝2n－1(n≥2)，ana1∴

＝2–n

1n，∴a

＝2–n

1(n≥2).当n＝1时，a1＝21－1＝20＝1，符合上式，∴an＝2n－1(n∈N*).由递推公式写出通项公式的步骤①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).②根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.③写出一个通项公式并证明.用“累加法”求数列的通项公式当an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项an.反思与感悟(3)用累乘法求数列的通项公式当

anan－1n＝g(n)(n≥2)满足一定条件时，常用a

＝nan－1

an－2a

·an－1·…

a2·a1

累乘来求·a1通项an.解析答案已知数列n{a

}中，1a

＝1，a＋n

1

1an

2＝

，则数列n{a

}的通项公式跟踪训练3是(

)nA.a

＝2nnB.a

＝

1

2nC.a

＝

1

n

2n－1nD.a

＝

12n解析

∵an＋1＝1，an

2an－12∴当

n≥2

时，

an

＝1，an－2

n－3an－1

1

an－2

1

a2

1∴

＝2，a＝2·…·a1＝2，∴

anaa·

·a

a－

－n－1

n－2

an－3n

1

n

2

a21·…·a

＝(2)1

n－1，n∴a

＝a1(2)1

n－1＝(2)1

n－1(n≥2).11当n＝1

时，a

＝(2)–1

110＝(2)＝1，符合上式，n1∴a

＝(2)–n

1.忽略n的正整数范围致误易错点例4

求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项.解析答案返回错解

由已知，得n2a

＝－2n

＋29n＋32＝－2(n－

4

)

＋108829

1，正解

由已知，得返回1∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为1088.n2a

＝－2n

＋29n＋3229

1＝－2(n－

4

)

＋1088.*294由于n∈N

，故当n取距离 最近的正整数n7时，a

取得最大值108，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列.其中真命题的个数是(

)A.1

B.2

C.3

D.43

4

5

6③数列的图象是一群孤立的点；n②数列2，3，4，5，…的通项公式是a

＝nn＋1；当堂检测解析答案1

2

3

4

5

6解析

只有③正确.①中，如已知an＋2＝an＋1＋an，1

nn＋2a

＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a

＝n＋1，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.答案

A1

2

3

4

5

6B.an＝2an－1(n≥2)C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)解析

A、B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.2.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是(

C

)A.an＝an－1＋2(n≥2)1

2

3

4

5

6解析答案3.数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝1xn＋1－1，则x2

017A.－1

B.－12C.12D.1等于(

D

)1

223解析

∵x

＝1，∴x

＝－1，∴x

＝1，∴数列{xn}的周期为2，∴x2

017＝x1＝1.1

2

3

4

5

6解析答案B.a1，a44D.a45，a50n－

2

0114.数列{an}中，an＝n－2

012，则该数列前100

项中的最大项与最小项分别是(

)A.a1，a50C.a45，a441

2

3

4

5

6解析答案解析nn－

2

012

n－

2

012a

＝n－

2

011＝1＋

2

012－

2

011.∴当n∈[1,44]且n∈N*时，{an}单调递减，当n∈[45，＋∞)且n∈N*时，{an}单调递减，结合函数f(x)＝2

012－

2

011的图象，x－

2

012可知(an)max＝a45，(an)min＝a44.答案

C1

2

3

4

5

6A.2n＋1C.2n－1B.2nD.2(n－1)解析

当n≥2时，∵an－an－1＝2，∴(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2＋2＋…＋2＝2(n－1)，(n－1)个