新教材人教b版数学必修两角和与差的正弦正切

8.2.2两角和与差的正弦、正切1.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Sα+βsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβα,β∈R两角差的正弦Sα-βsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβα,β∈R【思考】对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?提示:可简单记为“正余余正,符号同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.2.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα+βtan(α+β)

α,β,α+β≠kπ+___

(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切Tα-βtan(α-β)=

α,β,α-β≠kπ+__(k∈Z)且tanα·tanβ≠-1【思考】(1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)=由此能否推导出两角和的正切公式?提示:能.tan(α+β)=,分子分母同除以cosαcosβ可得tan(α+β)=(2)两角和与差的正切公式中为什么限制α,β,α+β,α-β都不等于kπ+(k∈Z)?提示:这是由正切函数的定义域决定的.3.辅助角公式:asinx+bcosx=·sin(x+φ)(或asinx+bcosx=·cos(x-φ)),其中sinφ=,cosφ=(或cosφ=,sinφ=).【思考】辅助角公式是如何推导出来的?提示:推导过程:asinx+bcosx=令cosφ=,则asinx+bcosx=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ).【素养小测】

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (

)(2)存在α,β∈R,使得sin(α+β)=sinα+sinβ成立. (

)(3)对任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立. (

)(4)sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin30°. (

)提示:(1)√.根据公式的推导过程可得.(2)√.当α=30°,β=0°时,sin(α+β)=sinα+sinβ.(3)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tanα·tanβ≠1.(4)√.因为sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)=sin30°,故原式正确. (

)

【解析】选C.3.计算sin=________.

【解析】

答案:

类型一两角和与差的正弦公式的应用角度1化简、求值问题【典例】1.(2019·河东高一检测)的值是 (

)2.(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.

3.若,则cos(α+β)的值为________.

【思维·引】1.由sin40°=sin套用两角差的正弦公式化简可求值.2.把两个已知条件分别平方,求和,利用两角和的正弦公式可得答案.3.考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱导公式.【解析】1.选A.原式=2.由sinα+cosβ=1与cosα+sinβ=0分别平方相加得sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2

β=1,即2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,所以sin(α+β)=-.答案:-3.因为0<α<+α<π,--β<0,又已知sin所以cos所以cos(α+β)=答案:-【素养·探】本例1考查利用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题,突出考查了数学抽象与数学运算的核心素养.若本例1变形为下式,试求值.

的值是 (

)【解析】选A.原式=角度2求角与求点的坐标问题【典例】1.已知α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,则α-β=________.

2.已知向量,将向量绕原点O顺时针旋转60°到的位置,则点A′的坐标为________.

【思维·引】1.先由已知的三角函数值,选择适当的三角函数名求出所求角的三角函数值,再由已知角的范围,确定所求角的值.2.利用向量的几何意义、三角函数的定义、两角差的正余弦公式解答.【解析】1.因为α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,所以cosα=,sinβ=所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=又因为α,β均为锐角,所以-<α-β<,故α-β=-.答案:-2.如图,设A′,∠xOA=α,所以∠xOA′=α-60°,则=13,所以cosα=,sinα=,因此x=13cos

同理y=,所以A′

答案:

【类题·通】1.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.2.解决给值求角问题的一般思路(1)确定角的范围;(2)求角的正弦或余弦值;(3)根据角的范围写出要求的角.【习练·破】1.已知cos(α为锐角),则sinα= (

)【解析】选D.因为α∈所以α+

2.已知α,β为锐角,cosα=,sin(α+β)=,则β=________.

【解析】因为α为锐角,且cosα=,所以sinα=又α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又sin(α+β)=<sinα,所以α+β∈.所以cos(α+β)=-所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=

又β为锐角,所以β=答案:

【加练·固】1.化简下列各式:【解析】2.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则C的大小为 (

)【解析】选A.由已知可得(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=62+12,即9+16+24sin(A+B)=37.所以sin(A+B)=.所以在△ABC中,sinC=,所以C=或C=.又1-3cosA=4sinB>0,所以cosA<.又,所以A>,所以C<,所以C=不符合题意,所以C=.类型二两角和与差的正切公式的应用【典例】1.计算=________.

2.tan72°-tan42°-tan72°tan42°=________.

3.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为.求:(1)tan(α+β)的值;(2)α+2β的值.世纪金榜导学号【思维·引】1.先用“tan45°=1”替换,再利用两角和的正切公式求值.2.利用两角差的正切公式的变形公式解决.3.(1)由三角函数的定义得出角α,β的正弦、余弦值,求出它们的正切值,利用两角和的正切公式解决.(2)由α+2β=(α+β)+β,利用两角和的正切公式解决.【解析】1.原式=tan(45°+15°)=tan60°=1.答案:12.原式=tan(72°-42°)(1+tan72°·tan42°)-tan72°tan42°=tan30°(1+tan72°tan42°)-tan30°tan72°tan42°=tan30°=.答案:

3.(1)由已知条件及三角函数的定义可知,cosα=.因为α为锐角,故sinα>0,从而sinα=同理可得sinβ=.因此tanα=7,tanβ=.即tan(α+β)==-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.又0<α<,0<β<,故0<α+2β<从而由tan(α+2β)=-1得α+2β=π.【内化·悟】若已知条件中有角的正切值,一般的解决思路是什么?提示:(1)切化弦,利用和差的正弦、余弦公式;(2)直接利用和差的正切公式.【类题·通】1.公式Tα+β,Tα-β

应用的解题策略(1)公式Tα+β,Tα-β有tanα·tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可求出第三个;(2)化简过程中注意“1”与“tan”,“”与“tan”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.2.解决给值求角问题的选择原则(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.【习练·破】1.求值:(1)【解析】(1)(2)原式==tan(45°+75°)=tan120°=-.2.已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(-π,0),求2α-β的值.【解析】因为α=(α-β)+β,tan(α-β)=,tanβ=-,α,β∈(-π,0),所以tanα=tan[(α-β)+β].又2α-β=α+(α-β),所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=而tanα=>0,tanβ=-<0,α,β∈(-π,0),则α∈,所以α-β∈(-π,0),而tan(α-β)=>0,则α-β∈结合α∈,则有2α-β∈(-2π,-π),所以2α-β=-.【加练·固】1.tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)=(

)

【解析】选B.原式=tan10°tan20°+(1-tan10°tan20°)·tan(10°+20°)=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1.2.在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=,则tanAtanB的值为 (

)【解析】选B.因为C=120°,所以A+B=60°,所以tan(A+B)=因为tanA+tanB=,所以tanA+tanB=(1-tanA·tanB)=,解得tanA·tanB=.3.已知α,β,γ都是锐角,且tanα=,tanβ=,tanγ=,则α+β+γ=________.

【解析】因为tan(α+β)=tan(α+β+γ)==1,因为tanα=,且α为锐角,所以0<α<,同理0<β<,0<γ<,所以0<α+β+γ<,所以α+β+γ=.答案:

类型三辅助角公式的应用【典例】1.cosα-sinα化简的结果可以是(

)

2.若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值,则cosθ等于 世纪金榜导学号(

)【思维·引】利用辅助角公式进行变形.【解析】1.选B.cosα-sinα=

2.选B.f(x)=5cosx+12sinx=其中sinα=,cosα=,由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z)得θ=2kπ--α(k∈Z),所以【内化·悟】形如sinα±cosα的式子通常如何变形?提示:sinα±cosα=2【类