广东省东莞市第四高级中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

广东省东莞市第四高级中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（

）A．和

B．和C．和

D．和参考答案：2.函数在原点处的切线方程是（

）A．x=0

B.y=0

C.x=0或y=0

D.不存在参考答案：A3.矩形中，，沿AC将矩形折成一个直二面角，则四面体A的外接球的体积为(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D四面体的外接球的球心到各个顶点的距离相等，所以球心应为线段AC的中点，设球的半径为r，因为AC=5，所以r=，代入球的体积公式可得V球=.4.已知集合= （）A． B．

C． D．{—2，0}参考答案：C5.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．6.已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C． D．参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为V=Sh=×1×1×1=．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目7.设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（）A． B． C．1+ln2 D．ln2﹣1参考答案：A【考点】两点间距离公式的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜∴函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，∵x＞0，∴x＞∴函数在（，+∞）上为单调增函数，∴x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：ln=故所求|MN|的最小值即为函数y的最小值：故选A．8.展开式中，的系数是A、80B、－80C、40D、－40参考答案：B9.复数为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.若复数满足，则的虚部为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列几个命题：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；④设函数的最大值和最小值分别为和，则；⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是

．（写出所有正确命题的序号）

参考答案：略12.关于几何体有以下命题:①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥;③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分;④两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.其中正确的有------________.(请把正确命题的题号写上)参考答案：略13.设，向量，若，则_______.

参考答案：知识点：平面向量数量积的运算解析：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．【思路点拨】由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ。

14.已知数列满足，则的前项和等于

．参考答案：15.已知函数，若与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是_______________参考答案：16.Sn为等差数列{an}的前n项和，，a4=1，则a5=____________。参考答案：-1本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了基本量运算以及计算能力和等差数列的基本性质，难度较小。（法一）设等差数列首项为，公差为，则有，解得，因此.（法二）因为等差数列,所以且，因此。17.已知曲线C的参数方程为

(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3-4+4=0的距离的最大值为

参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）数列中，。

（1）求数列的通项；

（2），求Sn。参考答案：解析：（1）

（2）19.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．【解答】解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|===，当α=时，|AB|的最小值为4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于基础题．20.已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=?，求函数f（2x）的单调减区间．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据向量的平行和角的三角函数的关系即可求出答案，（Ⅱ）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根据正弦函数的性质即可得到函数的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinx，cosx），=（，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，∴tanx=﹣，∴sin2x﹣6cos2x====﹣，（Ⅱ）f（x）=?=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（2x）=2sin（2x﹣），∴+2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（2x）的单调减区间+kπ，+kπ]，k∈Z．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和正弦函数的性质，属于中档题．21.(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．

（1）求证：；（2）求点到平面的距离．参考答案：（1）证明见解析；（2）．22.

如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f()＝f(x)－f(y)；(2)已知f