2022年江苏省无锡市钱桥中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年江苏省无锡市钱桥中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则k的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点，现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：C3.设函数f(x)=lnx+ax2－x，若x=1是函数f(x)是极大值点，则函数f(x)的极小值为（

）A.ln2－2

B.ln2－1

C.

ln3－2

D.ln3－1参考答案：A∵，∴，∵是函数的极大值点，∴，解得，∴，∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；∴当时，有极小值，且极小值为．故选A．

4.命题“a,b都是偶数，则a与b的和是偶数”的逆否命题是（

）A.a与b的和是偶数，则a,b都是偶数

B.a与b的和不是偶数，则a,b不都是偶数C.a,b不都是偶数，则a与b的和不是偶数

D.a与b的和不是偶数，则a,b都不是偶数参考答案：B5.函数，则

．

参考答案：6.给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；（大前提）已知直线b∥平面α．，直线α?平面α；（小前提）则直线b∥直线α（结论）那么这个推理是（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误参考答案：A【考点】演绎推理的意义．【分析】根据线面、线线的位置关系的定义进行判断即可．【解答】解：因为直线平行于平面，所以直线与平面没有公共点，则直线与面内所有的直线平行或异面，所以大前提错误，故选：A．7.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A． B． C．2+i D．参考答案：D【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣1）i=i﹣1，∴﹣i?（z﹣1）i=﹣i?（i﹣1），∴z﹣1=1+i，∴z=2+i．则|z|==．故选：D．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）

Ａ．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：A略10.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（

）A.8

B.6

C.4

D.2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

已知扇形的周长为10，面积是4，则扇形的圆心角是____________.参考答案：12.已知i为虚数单位，复数z满足，则

．参考答案：2，，所以。

13.在等比数列中，a2＝2，且，则的值为_______．参考答案：5【知识点】等比数列【试题解析】在等比数列中，

由

得：解得：或

所以

故答案为：14.如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量⊥，则＝_____________．参考答案：－3600由题意可知，⊥，⊥，，所以＝15.已知圆,过点的直线,则与的位置关系是___________（填“相交”、“相切”、“相离”或“三种位置关系均有可能”）.参考答案：相交,所以点在圆C内部,故直线与圆相交；16.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为

．参考答案：考点：余弦定理．专题：综合题．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答： 解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．17.若实数x，y满足且的最小值为4，则实数b的值为______参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a=2acosAcosB﹣2bsin2A．（1）求C；（2）若△ABC的面积为，周长为15，求c．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）a=2acosAcosB﹣2bsin2A，利用正弦定理，即可求C；（2）由△ABC的面积为得ab=15，由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15﹣（a+b），即可求c．【解答】解：（1）由正弦定理可得sinA=2sinAcosAcosB﹣2sinBsin2A…=2sinA（cosAcosB﹣sinBsinA）=2sinAcos（A+B）=﹣2sinAcosC．所以cosC=﹣，故C=．…（2）由△ABC的面积为得ab=15，…由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15﹣（a+b），解得c=7．…19.（12分）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB?平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，又OC?平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD与平面ABDE所成角，∵CD与平面ABDE所成角的余弦值为，∴CD与平面ABDE所成角的正弦值为，∴sin，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，4），E（0，﹣2，2），F（，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF⊥BC，EF⊥BD，∵DB，BC?平面DBC，且DB∩BC=B，∴∴EF⊥平面DBC，又EF?平面BDF，∴平面CDE⊥平面DBC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当F是线段CD的中点时，得BF⊥平面DEC，又=（），则可取平面DEC的一个法向量==（），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z），=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），则，取x=1，得=（1，），则cos＜＞===，sin＜＞=，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20.（本小题满分14分）已知函数，（，）．（Ⅱ）当时，若函数有两个零点，求的取值范围．参考答案：21.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD，，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.参考答案：(1)见解析；（2）【分析】（1）连接，，,通过勾股定理得到，再由条件推得进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值.【详解】(1)连接，，，以为原几何体是平行六面体，故得到是平行四边形，进而得到，因为且，在三角形ABC中由余弦定理得到边，，进而得到，又因为底面，面..(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设，，，根据，设面的法向量为设面的法向量为，，则两个半平面的夹角余弦值为：【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.22.在直角梯形ABCD中，AB=2，CD=CB=1，∠ABC=90°，平面ABCD外有一点E，平面ADE⊥平面ABCD，AE=ED=1．（1）求证：AE⊥BE；（2）求二面角C﹣BE﹣A的正弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）求出BD，利用勾股定理得得AD⊥BD．由平面ADE⊥平面ABCD，得DB⊥AE．AE⊥平面BDE，即可证明AE⊥BE．．（2）如图，由（1）得CB⊥CD，所以以C为原点，CB，DC分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则A（1，﹣2，0），B（1，0，0），C（0，0，0），E（﹣，﹣，），D）（0，﹣1，0）．求出法向量即可求解．【解答】解：（1）因为∠ABC=90°，所以在Rt△BCD中，BD=．又∵AD==，∴AE⊥ED．∵AB2=AD2+BD2，∴AD⊥DB，∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，AD⊥DB，∴DB⊥平面ADE，∵AE?平面ADE，∴DB⊥AE．∵AE⊥B