人教版数学八年级上册1最短路径问题（共19张）

13.4课题学习最短路径问题人民教育出版社八年级（上）

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAlABCD

如图，点A关于直线l的对称点是点B，点C，D在直线l上，则CA与CB，DA与DB大小关系如何？理由是什么？lCA=CBDA=DB对称轴是对称点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等温故知新

如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③我选第②条路(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P连接AB,线段AB与直线L交于点P就是所求。根据：两点之间线段最短.

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这就是我们这节课学习的内容——最短路径问题你能将这个问题抽象为数学问题吗？

BAl

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？AB'CBl

你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？

证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，C′B，C′B′．由轴对称的性质知，

CB=CB′，C′B=C′B′．∴AC+CB=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=AC′+C′B′．B·lA·B′CC′AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B．即AC+CB最短．在△AB′C′中，

问回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′

利用了轴对称的有关知识，把两点在直线同侧问题转化为两点在直线异侧问题。从而用“两点之间，线段最短”解决问题。小试牛刀如图，OM,ON是两条公路，在两条公路之间有一油库A，现在想在两条公路分别建一个加油站，为使运油的车从A出发先到一个加油站再到另一个加油站，最后回到油库A的路程最短，问加油站应如何选址？再试试光华中学93班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的小明想先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？OAD

C

B发现一个规律：最短路径（最小值）问题一般回归到：两点之间，线段最短。

(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求

1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

A·BMN作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则A到B地的路程为：AC+CD+DB=AC+CD+