【名师解析】启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题

启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.试题重点考查：集合、命题，函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形等，是一份非常好的试卷。一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．．【题文】1．已知全集U{1,2,3,4,5,6,7},A{2,4,5},B{1,3,5,7}，则A(CB)U▲．【知识点】集合及其运算A1【答案解析】{2，4，5}∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}，∴∁B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A∩（∁B）={2，4，5}．故答案为：{2，4，UU5}【思路点拨】找出全集U中不属于B的元素，确定出B的补集，找出A与B补集的公共元素，即可确定出所求的集合．【题文】2．若命题“xR，有xmxm0”是假命题，则实数的取值范围是m2▲．【知识点】命题及其关系A2【答案解析】[-4，0]∵命题“∃x∈R，有x-mx-m＜0”是假命题，⇔“∀x∈R，有2x-mx-m≥0”是真命题．令f（x）=x-mx-m，则必有△=m-4m≤0，解得-4≤m≤0．222故答案为：[-4，0]．【思路点拨】令f（x）=x-mx-m，利用“∃x∈R，有x-mx-m＜0”是假命题⇔△=m-4m222≤0，解出即可．”是“sinsin”的▲条,【题文】3．已知的终边在第一象限，则“件．【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】既不必要也不充分条件∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，335即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，36即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故答案为：既不必要也不充分条件．【思路点拨】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．1【题文】f(x)的定义域是[0,4]，则f(x1)f(x1)的定义域为▲．4.已知【知识点】函数及其表示B1【答案解析】[1，3]∵f（x）的定义域是[0，4]，0x14∴f（x+1）+f（x-1）的定义域为不等式组0x14的解集，解得：1≤x≤3．故答案为：[1，3]．0x140x14，解之即可．由题意可列不等式组【思路点拨】sin(2sin3,2cos3)P的坐标是，则▲．【题文】5.已知角终边上一点【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案解析】-cos3∵角α终边上一点P的坐标是（2sin3，-2cos3），2cos3，∴sinα==-cos3．故答案为：-cos3．24sin234cos232∴|OP|=【思路点拨】由题意，先求出点P到原点的距离，再由定义求出即可．S:y3xx及点P(2,2)则过点【题文】6.已知曲线3P可向曲线S引切线，其切线共有，▲条.【知识点】导数的应用B12【答案解析】3∵y=3x-x，∴y'=f'（x）=3-3x，∵2P（2，2）不在曲线S上，3∴设切点为M（则切线方程为∵P（2，2）在切线上，∴2-（3a-a）3=（3-3a）（22-a），即2a-6a32+4=0，a，b），则b=3a-a，f'（a）=3-3a32y-（3a-a）=（3-3a）（x-a），32±3∴a-3a2+2=0，即a-a-2a32+2=0，∴（a-1）（a-2a-2）=0，解得a=1或a=1，322∴切线的条数为3条，故答案为3．【思路点拨】求函数的导数，设切点为（，），Mab利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P（2，2）在切线上，求出切线条数即可．3tan()cos(2)sin()2【题文】7.化简：▲．cos(3)sin(3)【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C23tan()cos(2)sin()tancoscos2【答案解析】cos(3)sin(3)=-1(cos)sin【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。f(x)x3cosx1．若f(a)11，则8.设函数f(a)▲．【题文】【知识点】函数的奇偶性B42【答案解析】-9令（）（）gx=fx-1=xcosx则（）为奇函数，又∵（），gxfa=113∴g（a）=f（a）-1=11-1=10∴g（-a）=-10=f（-a）-1∴f（-a）=-9故答案为：-9【思路点拨】由于函数（）fx=xcosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函3数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）-1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【题文】9.函数f(x)|sinx|cosxsinx|cosx|的值域为▲．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C11,1x坐标轴上时结果为0，角在第一象限时为,第二象限时为0,【答案解析】1,11,1第三象限时，第四象限时为0.故答案为【思路点拨】分别在各个范围内求出值域，确定最后结果。tanx在内是减函数，则实数的范围是▲．(,)【题文】10.已知函数y【知识点】三角函数的图象与性质C31−≤ω＜0【答案解析】∵函数y=tanωx在（-π，π）内是减函数，21−≤ω＜02π解得：．故答案为：．21−≤ω＜02∴ω＜0，||≥【思路点拨】根据正切型函数的图象，要使函数y=tanωx在（，）内是减函数，-ππ则ω＜0且函数y=tanωx的周期T≥2π．(0,)1【题文】11.已知偶函数在单调递减，则满足的实数x的取值范围是f()f(1)f(x)x▲．【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】（-1，0）∪（0，1）11∵偶函数f（x）满足f（）＜f（1），∴f（||）＜f（1），xx1∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，∴||＞1，x11即＞1或＜-1，解得-1＜x＜0或0＜x＜1，故答案为：（-1，0）∪（0，1）．xx11由偶函数的性质和单调性以及足f（）＜f（1）可得||＞1，根据【思路点拨】xx绝对值不等式的解法，解不等式可求范围．tan(AB)2tanA，则tanB的最大值是▲．,AB满足【题文】12.已知锐角【知识点】三角函数的求值、化简与证明C72【答案解析】∵2tanA=tan（A+B），43tan(AB)tanAtanA1=∴tanB=tan（A+B-A）=1tan(AB)tanA12tan2=AtanA12tanA11≥2当且仅当时取“=”2tanA2＝2tanA∵A为锐角，∴tanA＞0,tanAtanA222号，即tanA=，∴0＜tanB≤∴tanB最大值是故答案为：．22444【思路点拨】通过tanB=tan[（）A+B-A]利用公式展开，把tan（）A+B=2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果．0x2【题文】13.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为▲．【知识点】函数与方程B9【答案解析】7当0≤x＜2时，令f（x）=x3-x=0，则x（x-1）（x+1）=0，解得x=0，或1；已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，故在区间[0，6]上，方程f（x）=0共有7个根，∴函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故答案为7．【思路点拨】先求出方程f（）x=0在区间[0，）2上的根的个数，再利用其周期为2的条件即f（x+2）=f（x），即可判断出所有根的个数．【题文】14.定义在R上的可导函数f(x),已知yef(x)的图象如图所示，则yf(x)的增区间是.【知识点】导数的应用B12（∞，）2由题意如图f'（）≥x0的区间是（-∞，），2【答案解析】-故函数y=f（x）的增区间（-∞，2），故答案为：（-∞，2）【思路点拨】由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于y=ef'（）是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图x象找出函数图象在直线y=1上面的那一部分的自变量的集合即为所求二、解答题：本大题共6小题，说明、证明过程或演算步骤．【题文】15.（本小题满分共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字14分）已知集合A{x|y12xx11},B{x|[x(a1)][x(a4)]0}.分别根据下列条件，求实数a的取值范围.4（1）ABA；（2）AB【知识点】集合及其运算A1【答案解析】（1）-4＜a≤-2（2）a≥-1或a≤-5．2x1x1xx1（1）由1-，可得≤0，0即x（x+1）≤0，且x≠-1，解得-1<x，故A=（-1，0]．∵B={x|[x-（a+4）][x-（a+1）]＜0}=（a+1，a+4）．∵A∩B=A，∴A⊆B，∴a+1≤-1，a+4＞0，解得-4＜a≤-2，故a的取值范围是（-4，-2]．（2）由上可得，A=（-1，0]，B=（a+1，a+4），当A∩B=φ，a+1≥0或a+4≤-1，解得a≥-1或a≤-5．故当A∩B≠φ时，-5＜a＜-1，故a的取值范围（-5，-1）【思路点拨】（）解分式不等式求出，再求出，由条件∩可得A⊆B，考1ABAB=A查集合的端点间的大小关系，求得实数a的取值范围．（2）求出当A∩B=φ时实数a的取值范围，再取补集，即得所求．1()a的【题文】16.（本小题满分14分）设a为实数，给出命题f(x)lg[ax2(a2)x9]的定义域为q：函数p：关于x的不等式|1|x2解集为，命题R，若命题“pq”8为真，“pq”为假，求实数a的取值范围.【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6B71[8，+∞）∪（，1]【答案解析】2由题意得p和q中有且仅有一个正确10＜()≤1①若p正确，则由|−1|，求得a＞1．x299−2x+＞08②若q正确，则ax2+(a−2)x+＞0解集为R当a=0时，不合，舍去；8a01当a≠0时，则解得a．＜＜802a1a11或1③∵p和q中有且仅有一个正确，∴或a8a8，2a211∴a≥8或．故a的取值范围为[8，+∞）∪（，1]．＜a≤1221若p正确，求得a＞1；②若q正确，求得．根据p和q中有＜a＜8【思路点拨】2a1a11或1或a8a8，2且仅有一个正确，故有a25解不等式组，求得a的取值范围．2xnR的函数f(x)2x1m是奇函数.【题文】17.（本小题满分15分）已知定义域为（1）求实数mn的值；,（2）若存在t[1,2]，不等式f(t2t)f(2t2k)0成立，求实数k的取值范围.2【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3B4【答案解析】（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）=20n2m2121211−x1(x)＝=0，可得n=1，∴f，取f（-1）=-f（1）得=，2mx12m2m202121xf(−x)＝x12122x1xx=-=-f（x），(x)＝解之得m=2因此，f22，满足22x1符合题意所以m=2，n=12111x(x)＝−+（2）由（1）得，f2222x1，x1=12211122112(2x22)x−+设x＜x，则f（x）-f（x）=−+1-（）=(21)(2x21)x11212xx12∵y=2在实数集上是增函数且函数值恒大于0，x2222x2∴-＞0，x+1＞0且+1＞0，可得f（x）-f（x）＞0，即f（x）＞f（x）x2x111212∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数∵f（x）是奇函数，∴f（t-2t）2+f（2t-k）＜0，等价于f（t-2t）＜2-f（2t-k）=f（k-2t），222∴由上式可得：t-2t＞k-2t．22即对任意t∈R有：3t-2t-k＞0，211∴△=4+12k＜0⇒k＜-，即实数k的取值范围是（-∞，-）．33【思路点拨】（）利用特殊值：（）且（）（），建立关于a、b的等式1f0=0f-1=-f1并解得m=2，n=1，再将其代入函数表达式加以检验即可；（2）根据单调性的定义，设x＜x，将f（x）与f（x）作差，再通分整理，可得1212这个差是一个正数，从而得到f（x）＞f（x），所以f（x）在（-∞，+∞）上是单12调减函数；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式恒成立转化为关于t的一元二次不等式3t-2t-k＞0恒成立，再利用一元二次不等式解法结合根的判别式，可求出k的取2值范围．f(x)sinx3cosx1.【题文】18.（本小题满分15分）设函数f(x)在的最大值与最[0,]（1）求函数小值；2bcosc对任意xR恒成立，求的值.,,abc使得af(x)bf(xc)1（2）若实数a6【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（2）（1）最大值为3；最小值为2-1（1）f（x）=sinx+cosx+1=2（sinx+cosx）+1=2sin（x++1133223∵x∈[0，]，∴x+∈[]∴512，≤sin（x+）≤1，23363∴2≤2sin（x+）+1≤3∴函数f（x）在[0，]的最大值为3；最小值为2．32（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+）+1]+b[2sin（x+-c）+1]=12asin（x+）333+2bsin（x+-c）+1=1-a-b2asin（x+）+2bsin（x+）cosc-2bcos（x+）sinc3333=1-a-b（2a+2bcosc）sin（x+）-（cos（x+）332sin（x++）=1-a-b(2a2bcosc)2(2bsinc)sin（x++φ）=1-a-b332(2a2bcosc)(2bsinc)2因为上式对一切的x恒成立，所以=02a2bcosc0bcosc∴由2a+2bcosc=0得：=-1．a∴2bsinc03=sinx+cosx+1化成标准形式，然后再求最值；【思路点拨】（1）先把函数f（x）（2）代入f（x）bcosc整理，化成标准形式，根据对任意x∈R恒成立，让系数等于0，的值．求得a19.（本小题满1成为10%），售出的数量就分16分）已知某种型号的电脑每台降价x成（增加mx成（m为常数，且m0）.（1）若某商场现定价为每台a元，售出b台，试建立降价后的营业额y与每台降价x成所成的函数关系式.并问当m5，营业额增加1.25%时，每台降价多少？4（2）为使营业额增加，当xx(0x10)时，求m应满足的条件.00【知识点】函数模型及其应用B101010x【答案解析】（2）（1）10%m＞（0＜x＜10）00xa元，(1−（1）每台降价x成后的价格为)10mx(1+)y＝a(1−)•b(1+b台，故）10xmx)．10降价后售出量变为107511当m＝时，y＝ab(1+x−x)2．44080x11.0125ab=ab（1+-x），解得x=1，即每台降价10%．24080营业额增加1.25%，即有m1mx（2）当x=x时，y=ab（1+x-02）．由题意知，必须使y-ab＞0，01010m1m0m1即x-m＞0．因为x＞0，所以-0x＞0，10100010100010所以m＞（0＜x＜10）．010x0【思路点拨】1（）根据营业额等于价格乘以售出量，即可建立降价后的营业额与xy之间的函数关系式；利用营业额增加1.25%，建立方程，即可求得结论；（2）由题意必须使y-ab＞0，由此，即可确定m应满足的条件．f(x)exaxa(aR)，其图像与x轴交于20.（本小题满分16分）设函数A(x,0),B(x,0)两点，且xx.1212（1）求a的取值范围；f(xx)0（f(x)为函数f(x)的导函数）；（2）证明：12x1x11C在函数yf(x)的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记t，求（3）设点2(a1)(t1)的值.【知识点】导数的应用B12【答案解析】（3）2（1）a＞e（2）略2（1）∵f（x）=e-ax+a，∴xf'（x）=e-a，x若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，f'（x）＜x＜lna，f（x）是单调减函数，当0时，当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，于是当x=lna时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）=e-ax+a（xa∈R）的图象与x轴交于两点A（x，0），B（x，0）（x121＜x），∴f（lna）=a（2-lna）＜0，即a＞e，此时，2存在1＜lna，f（1）=e＞0，2存在3lna＞lna，f（3lna）=a-3alna+a＞a-3a2+a＞0，33又由f（x）在（-∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e为所求取值范围．2eaxa0xeexx（2）∵1，∴两式a相减得＝21．1eaxa0xx2x221xx1＝s(s＞0)f′(xxex2ex1ex2ex1xxxxxx)＝e21−＝e21-记2，则21222xx2