人教版八年级上册全等三角形（28张）

第十二章全等三角形复习课全等三角形知识结构图1.能够完全重合的两个图形叫全等图形；能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.考点1.全等三角形的性质BCEF

3.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.1.如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．（1）求AC的长度；（2）试说明CE∥BF．解：（1）∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，则AB=DC，∵BC=2，∴2AB+2=8，∴AB=3，∴AC=3+2=5；（2）∵△ACE≌△DBF，∴∠ECA=∠FBD，∴CE∥BF．常见题型2.如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°．（1）求∠B；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解：（1）∵△ABD≌△ACD，∴∠B=∠C，又∵∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°；（2）AD⊥BC．理由：∵△ABD≌△ACD，∴∠BDA=∠CDA，∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AD⊥BC．考点2.三角形全等的判定方法(1)SSS(2)SAS:必须为夹角(3)ASA：必须为夹边(4)AAS(5)HL：只能用于直角三角形1.已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA

）.BCAD常见题型2.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF

B.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠D

D.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD3.如图所示，AB与CD相交于点O,∠A=∠B，OA=OB

添加条件

，所以△AOC≌△BOD

理由是

.

AODCB∠C=∠D或∠AOC=∠BODAAS或ASA4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.ABCDFEGABCDFEG证明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(ASA)，

∴GE=GC.

∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG，.ABCDFEG在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌

△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.5.如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC，∠BAO=∠CAO吗？为什么？OCBA解：∠BAO=∠CAO，理由：∵OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABO和Rt△ACO中，

OB=OC，AO=AO，∴Rt△ABO≌Rt△ACO

，（HL）∴∠BAO=∠CAO.6.如图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒.（1）求CP的长（用含有t的式子表示）；（2）若以点C、P、Q为顶点的三角形和以点B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a和t的值.CABQDP解：（1）由题意得：BP=3t.∵BC=8，

∴CP=BC-BP=8-3t.解：（2）①若△BDP≌△CPQ，∵AB=10，点D为AB的中点，∴BD=5.

根据题意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CPQ，

∴BD=CP，BP=CQ，∴5=8-3t，3t=at，解得t=1，a=3.②若△BDP≌△CQP，∵AB=10，点D为AB的中点，∴BD=5.

根据题意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CQP，

∴BP=CP，BD=CQ.∴3t=8-3t，5=at，解得t=，a=.1、作已知角的平分线？作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线OC即为所求.考点3.

角平分线的性质与判定角的平分线的性质2.图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E

角的平分线的判定1.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+∠BAP=180°，求证:PA=PC.BACN))12PEF常见题型证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵

∠PCB+∠BAP=180°,又∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，

PE=PF，∴△APE

≌△CPF(AAS)，2.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，

PA=PC

，求证:∠PCB+∠BAP=180°.BACN))12PEF证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.

PA=PC，

PE=PF，在Rt△APE和Rt△CPF中，∴Rt△PAE

≌Rt△PCF(HL).∴∠EAP=∠FCP.∵

∠BAP+∠EAP=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°.3.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，M是BC的中点，AM平分∠DAB.

（1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论.（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.（1）解：DM平分∠ADC.如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E.∵∠B=90°，

∴MB⊥AB.∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD，∴MB=ME.∵∠B=90°，AB//CD，∴∠C=90°，即MC⊥CD.∵M为BC的中点，∴MC=MB.∴ME=MC.∴DM平分∠ADC.┐E（2）解：DM⊥AM，理由如下：如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E.∵AB//CD，

∴∠CDA+∠BAD=180°.又∵∠EDM=∠CDM=∠CDA，∠EAM=∠BAM=∠BAD，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°.∴∠DMA=90°.∴DM⊥AM.┐E4.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，请你添加一个条件使得AD⊥EF.（1）你添加的条件是（），并证明AD⊥EF.（2）如图，AD为∠BAC的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为E、F.这时AD是否垂直于EF？（3）如图，当点G从点D出发沿着AD方向运动时，其他条件不变，这时AD是否垂直于EF？本题源自《教材帮》（1）①解：AD平分∠BAC，证明如下：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.

在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，

DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.

∴∠EDA=∠FDA.

设AD交EF于点O，

在△DOE和△DOF中，DE=DF，

∠EDO=∠FDO，

DO=DO，∴△DOE≌△DOF.

∴∠DOE=∠DOF.

∵∠DOE+∠DOF=180°.

∴∠DOE=∠DOF=90〫，则AD⊥EF.（2）AD⊥EF，证明方法同（1）；（3）AD⊥EF，证明方法同（1）.考点4.

全等三角形综合练习1如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.2如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．

（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．4将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF＋EF＝DE；（2）若将图①