高考数小题专项综合练(三)

PAGE4-小题专项综合练(三)1．已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(∁UA)＝________.答案{x|2<x≤3}2．已知复数z1＝1＋i，z2＝eq\f(1,1＋i)在复平面内对应的点分别为P1，P2，O为坐标原点，则向量eq\o(OP1,\s\up6(→))，eq\o(OP2,\s\up6(→))所成的角为________．答案eq\f(π,2)解析因为z2＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,2)，eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，所以eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝0，故eq\o(OP1,\s\up6(→))，eq\o(OP2,\s\up6(→))的夹角为eq\f(π,2).3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≥eq\f(\r(6),2)”发生的概率为________．答案eq\f(1,3)解析因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx≥\f(\r(6),2)，,0≤x≤π，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(π,4)≥\f(\r(3),2)，,0≤x≤π，))即eq\f(π,12)≤x≤eq\f(5π,12).根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P＝eq\f(\f(5π,12)－\f(π,12),π)＝eq\f(1,3).4．设α表示平面，a，b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①a∥α，a⊥b⇒b⊥α；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥b⇒b∥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________．答案②④解析在①中，当a∥α，a⊥b时，b与α的位置关系无法确定；在③中，当a⊥α，a⊥b时，可得b∥α或b⊂α，故①③错，易证②④正确．5．下列不等式中，一定成立的是________．①lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)；②sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)；③x2＋1≥2|x|(x∈R)；④eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)．答案③的中点，P是上底面的棱AD上的点，AP＝eq\f(a,3)，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析如图所示，连结AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.13．某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该从高________学生中剔除________人，高一、高二、高三抽取的人数依次是________．答案二280,60,50解析总体人数为400＋302＋250＝952，∵eq\f(952,190)＝5…2，eq\f(400,5)＝80，eq\f(302－2,5)＝60，eq\f(250,5)＝50，∴从高二学生中剔除2人．从高一、高二、高三年级中分别抽取80人、60人、50人．14．设A，B为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m＝(1,0)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·m,|m|)＝3，则双曲线的离心率为________．答案2或eq\f(2\r(3),3)解析设eq\o(AB,\s\up6(→))与m的夹角为θ，则eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·m,|m|)＝6cosθ＝3，所以cosθ＝eq\f(1,2).所以双曲线的渐近线与x轴成60°角，可得eq\f(b,a)＝eq\r(3).