2022-2023学年北京师范大学密云实验中学高二数学理下学期摸底试题含解析

2022-2023学年北京师范大学密云实验中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从（其中）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在轴上的双曲线方程的概率为（

）A．

B． C． D．参考答案：B2.在各项为正实数的等差数列{an}中，其前2016项的和S2016=1008，则的最小值为（）A．6 B．4 C． D．参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的前n项和公式求出a1+a2016=1，由等差数列的性质得a1001+a1016=1，利用“1”的代换和基本不等式求出的最小值．【解答】解：∵等差数列{an}中，S2016=1008，∴，则a1+a2016=1，即a1001+a1016=1，∵等差数列{an}的各项为正实数，∴==2+≥2+=4，当且仅当时取等号，∴的最小值是4，故选B．3.与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣=1 D．x2﹣3y2=1参考答案：B【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线方程，求解即可．【解答】解：椭圆+y2=1的焦点坐标（，0），设双曲线方程为：，双曲线经过点P（2，1），可得，解得a=，所求双曲线方程为：﹣y2=1．故选：B．4.复数的虚部是(

) A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算和有关概念进行化简即可．解答： 解：===+i，故复数的虚部为1，故选：B点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．5.如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，当k=9时，S=11+9=20，k=8，当k=8时，S=20+8=28，k=7，当k=7时，S=28+7=35，k=6，此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，故选：D．6.如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（） A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论． 【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种； ∴所求的概率为= 故选D． 【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单． 7.函数的导数是

（）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略8.在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=（）A． B． C． D．2参考答案：B考点：正弦定理．

专题：解三角形．分析：由条件求得c=4，再利用余弦定理求得a，利用正弦定理可得=2R=的值．解答：解：△ABC中，∵A=60°，b=1，S△ABC==bc?sinA=?，∴c=4．再由余弦定理可得a2=c2+b2﹣2bc?cosA=13，∴a=．∴=2R===，R为△ABC外接圆的半径，故选：B．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．9.已知点M（4，t）在抛物线x2=4y上，则点M到焦点的距离为（）A．5 B．6 C．4 D．8参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（4，t）代入抛物线方程，解得t．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=t+1．【解答】解：把点M（4，t）代入抛物线方程可得：16=4t，解得t=4．∴点M到抛物线焦点的距离=4+1=5．故选A．10.若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系是（）

A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点处的切线方程为_____________.参考答案：12.执行如右图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为_____________.参考答案：15略13.有一山坡，其倾斜角为，如在斜坡上沿一条与坡底线成的道上山，每向上升高10米，需走路

米.参考答案：14.设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为凸函数，已知f（x）=x4﹣mx3﹣x2，若当实数m满足|m|≤2，函数f（x）在（a，b）上为凸函数，则b﹣a的最大值是

．参考答案：2【考点】导数的运算．【分析】利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．【解答】解：由函数得，f″（x）=x2﹣mx﹣3，当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立?当|m|≤2时，mx＞x2﹣3恒成立．当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立．当x＞0，，∵m的最小值是﹣2．∴．从而解得0＜x＜1；当x＜0，，∵m的最大值是2，∴，从而解得﹣1＜x＜0．综上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2，故答案为：2．15.函数f(x)=lnx－x的单调递增区间为

.参考答案：（0，1）函数有意义，则：x＞0，且：f′(x)=－1，由f′(x)＞0结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为（0，1）.

16.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，

则=

参考答案：1

略17.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为

▲.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知数列的前项和为，，若成等比数列，且时，．（Ⅰ）求证：当时，成等差数列；（Ⅱ）求的前n项和．参考答案：（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）利用和已知条件可得，即，可得出结论.19.某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），（1）求成绩在[70，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图的意义可得：第四小组的频率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10．（2）利用频率分布直方图的意义可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10．（3）[40，50）与[90.100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，可得基本事件构成集合Ω共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为6个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）第四小组的频率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10=0.25．（2）依题意可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10=72.5，（3）[40，50）与[90，100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω={（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}共有15个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共6个，故概率P==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用、列举法求古典概率及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．(1)若，求直线l的斜率；(2)过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．参考答案：（1）（2）见解析.试题分析：（1）设直线,代入椭圆方程得由，有，可得出直线的斜率；（2）设直线l斜率为k，联立方程组分别求出AP，AQ，MN，代入计算化简即可得出结论．试题解析：（1）依题意，椭圆的左顶点，

设直线的斜率为，点的横坐标为，则直线的方程为．①

又椭圆：，

②由①②得，，

则，从而．因为，所以．所以，解得（负值已舍）．（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③由②③得，．

从而，即证．

21.设函数f（n）=，其中n∈N*，若有f（n）＞都成立．（1）求正整数a的最大值a0；（2）证明不等式f（n）＞（其中n∈N*）．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意可得f（1）取得最小值，即有f（1）＞，解不等式可得正整数a的最小值；（2）运用数学归纳法证明：＞．注意验证n=1，不等式成立；证明n=k+1，不等式也成立，注意运用假设和不等式的性质．【解答】解：（1）函数f（n）=，其中n∈N*，若有f（n）＞都成立，当n=1时，++＞，即＞，即有a＜26，正整数a的最大值a0=25；（2）下面运用数学归纳法证明：＞．①当n=1时，++＞成立；②假设当n=k时，不等式成立，即++…+＞，则当n=k+1时，++…+=++…++++﹣＞++﹣?