2022-2023学年湖北省荆门市掇刀职业高级中学东校区高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖北省荆门市掇刀职业高级中学东校区高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5π B．π C．20π D．4π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半径R=PB=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．2.下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果剩下的同学只能一个一个地离开教室，则第二位走的是男同学的概率是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则(

)(其中为自然对数的底)A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知命题，则是（

）A．B．C．D．参考答案：C略5.在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况(

)A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，求解即可．【解答】解：由正弦定理得：即，解得sinB=，因为，sinB∈，故角B无解．即此三角形解的情况是无解．故选A．【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．6.如果复数在复平面内的对应点在第二象限，则A.B.C.

D.参考答案：D7.设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是：A、， B、， C、， D、，参考答案：A略8.圆与直线的位置关系是（）A．相交

B.相切C.相离D.直线过圆心参考答案：A略9.已知中，，，的对边分别为三角形的重心为.，则

（

）

参考答案：B略10.设全集，集合，则=（

）．（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将某班的60名学生编号为01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为03，则剩下的四个号码依次是．参考答案：15，27，39，51【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．【解答】解：用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列，公差为12，随机抽得的一个号码为03则剩下的四个号码依次是15，27，39，51，故答案为：15，27，39，5112.函数y=的导数为

．参考答案：【考点】导数的运算．【分析】根据函数的导数公式进行求导即可．【解答】解：函数的导数y′==，故答案为：13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为＿＿＿＿＿.参考答案：以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故14.函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．参考答案：{x|0＜x＜1}【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}15.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；(i)；(ii)对任意，当时,恒有．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：①；②；③；④其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是_________(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．参考答案：②③④略16.若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，则其标准方程为

.参考答案：或17.已知，则▲参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆（）经过点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过椭圆内的一点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别为，，若对任意实数，存在实，使得，求实数的取值范围．参考答案：（1）设的焦点，，∵，面积为，∴，∴，由，得∴椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，由·得，设，，则.

.由对任意成立，得，∴，又在椭圆内部，∴，∴，即.19.（14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．参考答案：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC．----------------------------------------------------------1分∴平面PBC⊥平面PCD．∵PD＝DC，PF＝FC，∴DF⊥PC．又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴DF⊥平面PBC于F．易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．

由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积V＝S△ABC·PD＝．∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC．又∴PD＝DC＝1，∴PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．∵VA-PBC＝VP-ABC，∴S△PBC·h＝V＝，得h＝．故点A到平面PBC的距离等于．20.已知圆若圆的切线在轴和轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.参考答案：解：圆当直线截距相等且不为0时，设直线方程为：，即，则

解得，所以方程为：当直线截距互为相反数且不为0时，设直线为：同理可求得：.所以直线方程为：当直线截距为0时，过坐标原点，y轴不合题意.设直线为解得：所以直线方程为：综上可知：直线方程为：或或略21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（I）求角A的大小；

（II）若，△ABC的面积为，求的值.参考答案：（Ⅰ）

由正弦定理得：

------------2分即

-------------------------------5分

-------------------------------6分（Ⅱ）由，得-------------------------7分由及余弦定理得，

-------------------------------------------10分

------------------------12分22.求曲线y=x3的过（1，1）的切线方程．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】①若（1，1）为切点，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=2处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；②若不是切点，设出切点坐标，求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，即可求出切线方程．【解答】解：y=x3的导数y′=3x2，①若（1，1）为切点，k=3?12=3，∴切线l：y﹣1=3（x﹣1）即3