金融经济学中文课件fe第4章之二

第4章均值——方差分析4.3

证券组合前沿4.3.1

投资的可行集由上一小节知道，不论投资者可以用于投资的W0有多少，只需要关心投资的期望回报率和回报率方差（标准差也一样）即可。那么，个体（投资者）如何做最优的选择呢？先给出选择的环境。假定：在一个经济中有N

(‡2)只风险证券（也就是说这N个证券的回报率都分别是取多个可能值，而且是随机取值，而不是一个常数）。所有证券的未来回报率都具有彼此差异的期望回报率和有限的方差。投资者可以向其他投资者借证券卖，即允许卖空（被卖空的证券在投资者的证券组合中的权重为负数）。定义4.1

N个证券可以形成无穷多个组合，由N种证券所形成的所有期望回报率和方差（或者标准差）的组合的集合就是可行集。它包括了现实中所有可能的组合，也就是说，所有可能的证券组合将位于可行集中，显示投资者可能获得的所有可能的期望回报率和方差（或者标准差）。两个证券形成的组合的可行集例如有两个证券，注：标准差等于方差的开方，它们都可以做为风险的衡量。证券期望回报率回报率的标准差A16.2%12.1%B24.6%29.2%当回报率的相关系数分别为-1，0，1时，组合的期望回报率与回报率的标准差分别是多少？组合w1w2期望回报率ρ=-1ρ=0ρ=1单证券E(r)单证券的σP1100.1620.120830.120830.1208316.20%12.10%P20.750.250.1830.017330.11640.16371P20.50.50.2040.085640.158110.20656P40.250.750.2250.188950.221250.2494P5010.2460.292230.292230.2922324.60%29.20%允许卖空，则投资比例可以大于1、小于零。在期望回报率——标准差平面表示证券组合标准差0.26期望回报率0.240.220.20.180.160.140.12ρ=-1ρ=0ρ=10

0.1

0.2

0.3

0.4注：一个证券组合对应于期望回报率——标准差平面上唯一的一个点。所以一个证券组合既可以一个用权重向量，可以用一个点表示。如点(0.116,0.183)和向量(0.75,0.25)都可以表示一个证券组合。可行集在期望回报率——标准差平面上，就是一些点的集合。可见，两个证券的可行集是一条有端点的曲线。两端点分别代表证券A和证券B

。允许卖空的话，可行集是上述曲线及向两端点外延伸，上延伸是卖空证券A买更多的证券B，下延伸是卖空证券B

买更多的证券A

。AB回报率标准差期望回报率三种证券的可行集三种证券的可行集是一个区域。如何理解？期望回报率BCA回报率标准差若允许卖空，则各曲线可以向端点外延伸。N种证券的可行集报率标准差21NN-1可以推出，N种证券的可行集是一个区域。期望回若允许卖空，则区域可以向端点外延伸。4.3.2

不具有无风险资产的有效证券组合前沿本小节有三个重要概念：前沿证券组合、证券组合前沿、有效证券组合期望回报率标准差21NN-1定义4.2

前沿证券组合：如果在所有具有相同期望回报率的证券组合中，有一只证券组合具有最小的方差值，则这只证券组合就定义为前沿证券组合。不论哪个个体，都不会选择非前沿的证券组合去投资。看图，可行集中，哪些是前沿证券组合？由定义，证券组合p是一只前沿证券组合的充分必要条件是它的证券组合权重向量wp

是下面问题的解•表示证券组合的期望回报率，1表示各元素为1的N维列向量。pwmin

s

2

=

wTVwp约束条件为

wT

r

=

E[rˆ

]和

wT

1

=1的列向量，E[rˆp

]其中：r

表示N只风险证券的期望回报率组成是以下函数式的解：是两个正值的常数。）其中1ˆ2TTTp{w,l,g}min

L

=

w

Vw

+l(E[r

]-

w

r

)+g(1-

w

1)构造一个拉格朗日函数，wp（其中，l

和求解可得gDCE[rˆp

]

-

Al

=DB

-

AE[rˆp

]g

=A

=1T

V

-1r

=

r

TV

-11B

=

r

TV

-1rC

=1T

V

-11D

=

BC

-

A2p-1-1w

=

l(Vr

)

+g(V

1)其中变换一下，可以得出期望回报率为E[rˆp

]的前沿证券组合的权重wp

=

g

+

hE[rˆp

]

(4.13)g

=1

D[B(V

-11)

-

A(V

-1r

)]h

=1

D[C(V

-1r

)

-

A(V

-11)]明显有期望回报率取某一个值对应有一个前沿证券组合.从（4.13）式可以看出性质4.1：g是期望回报率为0的前沿证券组合的权重向量；g

+h是期望回报率为1的前沿证券组合的权重向量。例4.3.2.1：3个证券形成的前沿证券组合如何求3个证券形成的前沿证券组合，已知条件是这3个证券有如下特征：方法：先求出V-1

，再求出A、B、C、D、g、h，然后代入p

pw

=

g

+

hE[rˆ

]

1

6

.2

%

r

=

2

4

.6

%

2

2

.8

%

0.0146V

=

0.0187

0.01450.0187

0.01450.0854

0.01040.0104

0.028916.2%

22.8%

A

=1TV-1r

=

r

TV-1

24.6%

称为A的伴随矩阵.注：矩阵有逆要求原矩阵的行列式不为零。

A11

A21A22A*

=

A12

A

1n

2nnn

An1

An2

A

A余子式，矩阵中元素aij

的代数定义设Aij

是矩阵A

=(aij

)n·n矩阵V的逆怎么求？A

*，其中A*为伴随矩阵。A1-

1一般地，有

A

=。

a b

例1

已知A

=

c d

解：|A|＝ad－bc≠0，故A可逆。且易得,且ad

-

bc

„

0.

求A－11

d

-b

.A-1

=a

ad

-bc

-c例2的逆矩阵.3

3

1

2

3

求方阵A

=

2

2 1

41

2

3解

A

=

2

2

13

4

3„

0,

\A-1存在.4

311A

=

2 1

=

2,3

312A

=

-

2 1

=

-3,同理可得A13

=

2,

A21

=

6,

A22

=

-6,

A23

=

2,A31

=

-4,

A32

=

5,

A33

=

-2,5

,

2-

2

2

6

-

4得

A*

=

-

3

-

62故*A1-1

2

6

-

4=

A

A

=

2

-

3

-

6

2

2

-

21

11-

1

3

-

2

5

=

-

3

2

-

3

5

2.1求逆------

A-1(EXCEL方法）Microsoft

Excel在矩阵运算方面的使用方法：启动Excel，点击工具栏上的“粘贴函数”如下图选择“数学与三角函数”函数名功

能MINVERSE求逆矩阵MMULT计算两矩阵相乘TRANSPOSE转置例 求矩阵A的逆。2

1

2

3 4

2

3

1

1

1

1

-11

0

-2

-6A

=

1、选定A1：D4区域输入矩阵的数据；2、选取某一区域如C6：F9存放逆矩阵，保持该区域为选中状态在公式输入栏输入公式=MINVERSE（A1：D4），按下Ctrl+Shift+Enter

即可，注意，不能直接回车键；如何手算或者用EXCEL于本小节的例题？概念二：证券组合前沿证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的集合，我们称之为证券组合前沿。证券组合前沿有下面两个性质：性质4.2全部证券组合前沿上的证券组合都可以由两个前沿证券组合

g和

g

+

h

组合得出。（对证明有兴趣的同学可看书）性质4.3整个证券组合前沿可以由任意两个期望回报率不同的前沿证券组合得出。（对证明有兴趣的同学可看书）性质4.4

前沿证券组合p的期望回报率与标准差的关系式：下面是证明：先来看任意两个证券组合p与q的回报率的协方差。其中，证券组合p、q的权重向量分别为(

)ˆ

ˆp

qqcov

r

,

ri

=1

j

=1N

N=

w

p

wqs

=

wT

Vwi

j

ij

p1pNwwp

wp

=

qNw

wq

1

wq

=

(22ˆppr1/

C D

/

C2s(E[rˆ

]-

A

/

C-

=1因为p、q是前沿证券组合，所以p的权重向量满足则前沿证券组合p、q的回报率的协方差ˆppw1)]E[r

]-1

-1-1=

B

A[

(V

1)

-

A

(V

-1r

)]

+

CD

D[

(V

r

)

-

(VD

Dˆp

qqTTqq

pq

q

pp

qACADDDACA1

(V

V

)w

]E[r

][

1

(V

V

)wD

qDDD

D

D

DD

C

C

C(V

-11)]E[rˆ

]

VwT

-1T

-1-1-1cov

(rˆ

,

rˆ

=

wTVwp

q

BT=

[(V

-11)

-

(V

-1r

)]

+[(V

-1r

)

-

Dp

=

B-

r

(V

V

)w

]

+[

rD(V

V

)wq

-=

B

-

A

E[rˆ

]

+[

C

E[rˆ

]-

A

]E[rˆ

]=

C

(E[rˆ

]-

A)(E[rˆ]-

A)

+

1(4.14)代入（4.14）式到下式有：容易看到，期望回报率与回报率的标准差形成的是一条双曲线（下页兰色的线）。p

pCs

2

(rˆ

)

=

cov(rˆ

,

rˆ

)

=

w

TVwp p p p

p=

C

E[rˆ

]-

A

E[rˆ

]-

A

+

1D

C

C

（注：橙色的是渐进

线。）有一个特殊的前沿证券组合，它具有最小的方差，称为最小方差组合（mvp），对应坐标如图。投资者如何做选择投到哪个证券组合呢？我们在期望回报率与标准差坐标轴平面上，引入一个投资者的无差异曲线族如下，无差异曲线族这样弯曲的理由是回报率的期望越大越好，标准差越小越好。E(rp

)σ(rP

)无差异曲线位置越高，得到的期望效用越大。•概念三：有效证券组合定义4.3

有效证券组合：在整个证券组合前沿曲线中，所有那些期望回报率严格大于最小方差证券组合期望回报率A/C的证券组合称之为有效证券组合。不论哪个个体，都只会在有效的证券组合中做选择。无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合的证券组合称之为无效证券组合。对于每一个无效证券组合，存在一个具有相同方差但更高期望回报率的有效证券组合。有效证券组合形成的集合称为有效证券组合前沿，也称有效集。个体会选择无差异曲线族和有效集的切点位置对应的证券组合。不同的个体由于无差异曲线族不同，所以切点位置不同，相应最优的证券组合也就不同，但肯定都在有效集上面。性质4.6

有效证券组合的组合仍然是一支有效证券组合。例4.3.2.2:求3个证券形成的有效证券组合前沿•。

C

16

.2%

r

=

24

.6%

22

.8%

0.0146V

=

0.0187

0.01450.0187

0.01450.0854

0.01040.0104

0.0289(方法：先求出A、B、C、D，然后代入22ˆppr1/

CD

/

C2s(E[rˆ

]-

A

/

C-

=1,1

A

有效集为双曲线

开始以上的一段。C

C

,1

A

线的双曲线，最小方差组合为C

C

ppCDs

(rˆ

)为渐进这是以

0,

A

为中心，E[rˆ

]

=

A

/

C

–4.3.4

具有无风险资产的有效证券组合前沿引入一个无风险证券情况下(现在有N+1个证券)进行讨论。现假定组合p

是一支由所有N＋1种证券组合而成的前沿证券组合，wp

表示这支前沿证券组合中的风险证券权重的N

维向量。这样，wp

是以下问题的解pwmin

s

2

=

wTVws.t.

wTr

+

(1-

wT

1)r

=

E[rˆ

]f

p其中

r

仍然表示N个风险证券的期望回报率的N维向量，rf

表示无风险证券的回报率。可以这样写的原因是，无风险证券不影响组合的风险。是以下函数式的解：是正值的常数。）1ˆ2TT

Tp

f{w,l}min

L

=

w

Vw

+l(E[r

]-

w r

-

(1-

w

1)r

)构造一个拉格朗日函数，wp（其中，l求解可得f

fffr

+

Cr

2H

=(r

-r

1)

VT

-1(r-r

1)=B-2AH[E[rˆ

]

-

r

]2p

fp回报率的方差为

s

2

(rˆ

)

=

w

TVw

=p

p

pˆpfpfE[rH-1]-

rw

=

V其中(r

-

r

1)即(4.22)pfp

fHpHE[rˆp

]-rfE[rˆp

]-rfs

(rˆ

)

={if

E[rˆ

]‡r-

if

E[rˆ

]<rH也即是，在s

(rˆp)与E[rˆp

]坐标平面上，包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿H和-是以

(0,

rf

)

为顶点，斜率分别为的两条射线。分三种情形。<

A

C情形1：rf蓝色的实线是不包括无风险证券的证券的证券组合前沿；橙色的线是包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿。•这是图4－6表示的图形。（图见上页）在图中与风险证券的组合前沿相切的切点。的投资行为。如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有rf

<

A

Ce

点是射线rf

+

Hs

(rˆp

)线段rf

e

上任意一支证券组合都是风险证券组合e和无风险证券的组合。在线段rf

e

之外的射线rfHs

(rˆp

)

上证券组合都+涉及卖空无风险证券并运用回报买入风险证券组合e券组合

e

，同时以其回报买入无风险证券的投资行为。在射线rf-Hs

(rˆp

)上的证券组合涉及卖空风险证效集位于射线rf+Hs

(rˆp

)。投资者会选择无差异曲线族和有效集的切点位置对应的证券组合。不同的个体由于

无差异曲线族不

同，所以切点位

置不同，相应最

优的证券组合也

就不同，但肯定

都在有效集上面。>

A

C情形2：rf情形2：这是图4－7表