第5章-离散傅里叶变换课件

第5章

离散时间傅立叶变换TheDiscrete-TimeFourierTransform基本内容1.离散时间傅立叶变换；2.常用信号的离散时间傅立叶变换对;3.离散时间周期信号的傅立叶变换；4.傅立叶变换的性质；5.系统频率响应与系统频域分析方法；注释:CFS(TheContinuous-TimeFourierSeries):

连续时间傅立叶级数DFS(TheDiscrete-TimeFourierSeries):

离散时间傅立叶级数CTFT(TheContinuous-TimeFourierTransform):

连续时间傅立叶变换DTFT(TheDiscrete-TimeFourierTransform):

离散时间傅立叶变换DFT(TheDiscreteFourierTransform)

离散傅里叶变换

5.0

引言

Introduction本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数,其系数,具有周期性。

在采用相同方法研究如何从DFS引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的区别。抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。5.1

非周期信号的表示RepresentationofAperiodicSignals:TheDiscrete-timeFourierThransform

当N→∞时，有ω0=(2π/N)→0，而从时域看，当周期信号的周期N→∞时，就变成了一个非周期的序列。可以预见，对一个非周期序列，它的频谱应该是一个连续的频谱。

一.从DFS到DTFT:

在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期N增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。当时,令对周期信号由DFS有即说明:显然对是以为周期的。DTFT有:将其与表达式比较有于是:

当在一个周期范围内变化时，在 范围变化，所以积分区间是。当时,

表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上分布的、幅度为的复指数分量的线性组合。

DTFT对结论：得定义回顾一下CTFS的定义：

设x(t)是周期函数。周期是T0。另一种眼光看世界：

既然，连续时间的傅里叶级数建立起了连续时间周期信号与其傅里叶级数系数间的对应关系。那么借助同样的映射关系，对于任意离散时间信号x[n]，可以把它看成是一个周期为2π

的连续变量函数X(ejω)的傅里叶级数展开系数。称其为DTFT变换对。通常是复函数，用它的模和相位表示:

二.常用信号的离散时间傅立叶变换1.时，低通特性,时，高通特性,单调指数衰减摆动指数衰减由图可以得到:2.可以得出结论:实偶序列实偶函数3.矩形脉冲:当时，可得到:有同样的结论:实偶信号实偶函数两点比较:1.与对应的周期信号比较显然有关系成立2.与对应的连续时间信号比较如图所示:如图所示:4.三.DTFT的收敛问题

当是无限长序列时，由于的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。收敛条件有两组：则存在，且级数一致收敛于。则级数以均方误差最小的准则收敛于。5.2

离散时间傅立叶变换的性质

DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。

通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。PropertiesoftheDiscrete-TimeFourierTransform则若一、周期性(periodic):比较：这是与CTFT不同的。二.线性

(linearity):三.时移与频移(shifiting):若则时移特性频移特性若则四.时间反转(reflaction):五.共轭对称性

(symmetryproperties):若则由此可进一步得到以下结论:即1.若

是实信号，则2.若是实偶信号，则于是有:即是实偶函数。3.若是实奇信号，则于是有:表明是虚奇函数。4.若则有:说明:这些结论与连续时间情况下完全一致。六.差分与求和

(DifferencingandAccumulation):说明:在DTFT中对应于CTFT中例:七.时域内插

(Interplation):定义k为n的整数倍其他n信号时域与频域特性间有一种相反的关系。八.频域微分(DifferentioninFrequency):九.Parseval定理:称为的能量谱密度函数。比较:在DFS中,有称为周期信号的功率谱。5.3

卷积特性(TheConvolutionProperty)

若则即是系统的频率特性。说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。例：一LTI系统，单位脉冲响应

输入，求系统输出y[n]。解：方法一：方法二：由于和都是以为周期的，因此上述卷积称为周期卷积。5.4相乘性质（TheMultiplicationProperty)如果则5.5

周期信号的DTFT

考察下列ω的以2π为周期的周期函数的DTFT反变换：TheFourierTransformforPeriodicSignals由此得到DTFT变换对：对一般的周期序列x[n],设它的周期为N按照DFS我们有：因此，周期信号x[n]可用DTFT表示为我们得到一般离散时间周期信号的DTFT如下：比较:可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。例1.它不一定是周期的。当ω0=2πk/N时才具有周期性。如图所示:例2.均匀脉冲串比较:与连续时间情况下对应的一致。5.8由LCCDE表征的系统

相当广泛而有用的一类离散时间LTI系统可由一个线性常系数差分方程LCCDE来表征:SystemsCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferenceEquations方法一:可以从求解x[n]=δ[n]时的差分方程得到h[n],进而将h[n]作变换而求得H(ejω).一.由LCCDE描述的系统的频率响应:方法二:可以通过求出x[n]=ejωn时方程的解得到H(ejω)，因为是LTI系统的特征函数，有：y[n]=H(ejω)ejωn方法三:对方程两边进行DTFT变换，可得:

可见，H(ejω)是一个有理函数。当需要求h[n]时,往往是先从方程得H(ejω)到进而通过反变换得到h[n]。

如果，则存在。即：稳定系统可以由其频率响应来描述。

由所表征的系统应该是稳定系统。

二.系统的频率响应:

H(ejω)刻画了LTI系统的频域特征，它是系统单位脉冲响应的傅立叶变换。但并非所有的LTI系统都一定存在频率响应。例：考虑一因果LTI系统，其差分方程为：求系统的单位脉冲响应。三.