1流体的发展史流体的物理性质流体的描述方法流线迹线课件

流体力学基础§1-1流体力学的发展简史§1-2流体的特征和连续介质假设§1-3流体的主要物理性质§1-4研究流体运动的方法§1-5流场的基本概念第一章绪论§1-1流体力学的任务及发展简史1.研究内容流、固体相互作用流动规律平衡规律绝对静止相对静止压力分布压力计算流体运动微团运动势流运动力与流动关系流体动力学流体运动学流体静力学能量方程动量方程掌握——基本概念、基本原理基本计算方法——公式推导的前提条件、适用范围各种系数的确定方法

结合实际灵活运用

明确2.学习目标流体力学也是众多应用科学和工程技术的基础。由于空气动力学的发展，人类研制出3倍声速的战斗机。F-153.流体力学的重要性

航空航天航海使重量超过3百吨，面积达半个足球场的大型民航客机，靠空气的支托象鸟一样飞行成为可能，创造了人类技术史上的奇迹。利用超高速气体动力学，物理化学流体力学和稀薄气体力学的研究成果，人类制造出航天飞机，建立太空站，实现了人类登月的梦想。排水量达50万吨以上的超大型运输船航速达30节，深潜达数百米的核动力潜艇

能源动力交通单价超过10亿美元，能抵御大风浪的海上采油平台

海洋石油钻井平台用翼栅及高温，化学，多相流动理论设计制造成功大型气轮机，水轮机，涡喷发动机等动力机械，为人类提供单机达百万千瓦的强大动力。大型水利枢纽工程，超高层建筑，大跨度桥梁等的设计和建造离不开水力学和风工程。长江三峡工程大型水利枢纽工程，超高层建筑，大跨度桥梁等的设计和建造离不开水力学和风工程。

环境与生态控制水污染大气污染灾害预报与控制龙卷风火山与地震预报★流体力学需要与其他学科交叉，如工程学，地学，天文学，物理学，材料科学，生命科学等，在学科交叉中开拓新领域，建立新理论，创造新方法。星云毛细血管流动流体力学需要与其他学科交叉，如工程学，地学，天文学，物理学，材料科学，生命科学等，在学科交叉中开拓新领域，建立新理论，创造新方法。天气预报4.流体力学发展史第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段

公元前250年流体力学第一部著作流体静力学阿基米德：古希腊数学家、力学家，静力学和流体静力学的奠基人论浮体第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段水力学沉浮、孔口出流、物体的运动阻力以及管道、明渠中水流等问题实验方法了解水流性态在流体静力学中应用了虚位移原理，并首先提出，运动物体的阻力随着流体介质密度的增大和速度的提高而增大。

1612年

流体静力学潜体的沉浮原理伽利略1643年孔口泄流公式1650年液体中压力传递定律托里切利帕斯卡1686年

流体黏性黏性《自然哲学的数学原理》

牛顿内摩擦定律

牛顿第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展——欧拉（理论）、伯努利（实验）1755年理想流体平衡微分方程

流体静力学理想流体运动微分方程

流体动力学基础欧拉：瑞士数学家、力学家、天文学家、物理学家，变分法的奠基人，复变函数论的先驱者，理论流体力学的创始人。N－S方程

流体动力学基础黏性流体运动微分方程斯托克斯纳维尔第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展理论分析与实验研究相结合量纲分析和相似性原理起重要作用

1883年雷诺——雷诺实验（判断流态）

1903年普朗特——边界层概念（绕流运动）

1933-1934年尼古拉兹——尼古拉兹实验（确定阻力系数）

……流体力学与相关的邻近学科相互渗透，形成很多新分支和交叉学科。层流、紊流

黏性流体的一维定常流动雷诺应力雷诺：英国力学家、物理学家和工程师。杰出的实验科学家。

1883年1904年边界层理论

不可压缩流体二维边界层概述德国力学家。现代流体力学的创始人之一。边界层理论、风洞实验技术、机翼理论、紊流理论等方面都作出了重要的贡献，被称作空气动力学之父。

普朗特1912年卡门涡街卡门：美国著名空气动力学家解释机翼张线的"线鸣"、水下螺旋桨的"嗡鸣"流体力学在中国真州船闸北宋（960-1126）时期，在运河上修建的真州船闸与十四世纪末荷兰的同类船闸相比，约早三百多年。潘季顺

明朝的水利家潘季顺（1521-1595）提出了“筑堤防溢，建坝减水，以堤束水，以水攻沙”和“借清刷黄”的治黄原则，并著有《两河管见》、《两河经略》和《河防一揽》。流量

清朝雍正年间，何梦瑶在《算迪》一书中提出流量等于过水断面面积乘以断面平均流速的计算方法。都江堰

（公元前302-235）李冰

钱学森（1911－）浙江省杭州市人，他在火箭、导弹、航天器的总体、动力、制导、气动力、结构、材料、计算机、质量控制和科技管理等领域的丰富知识，为中国火箭导弹和航天事业的创建与发展作出了杰出的贡献。1957年获中国科学院自然科学一等奖，1979年获美国加州理工学院杰出校友奖，1985年获国家科技进步奖特等奖。1989年获小罗克维尔奖章和世界级科学与工程名人称号，1991年被国务院、中央军委授予“国家杰出贡献科学家”荣誉称号和一级英模奖章。周培源（1902－1993)。

1902年8月28日出生，江苏宜兴人。理论学家、流体力学家主要从事物理学的基础理论中难度最大的两个方面即爱因斯坦广义相对论引力论和流体力学中的湍流理论的研究与教学并取得出色成果。吴仲华（WuZhonghua）在1952年发表的《在轴流式、径流式和混流式亚声速和超声速叶轮机械中的三元流普遍理论》和在1975年发表的《使用非正交曲线坐标的叶轮机械三元流动的基本方程及其解法》两篇论文中所建立的叶轮机械三元流理论，至今仍是国内外许多优良叶轮机械设计计算的主要依据。5.流体力学研究方法理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充理论研究方法力学模型→物理基本定律→求解数学方程→分析和揭示本质和规律实验方法相似理论→模型实验装置数值方法

计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一§1-2流体的特征和连续介质假设

1.流体的定义和特征任何一个微小的剪切力都能使流体发生连续的变形固体的变形与受力的大小成正比

流体与固体的区别固体流体流体与固体的区别原因：由于分子间的作用力不同造成的固体流体

流体所含的分子数少分子间隙大流体分子间作用力小分子运动剧烈流动性无固定形状液体与气体的区别

液体难于压缩；而气体易于压缩。

液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状的容器，无一定的体积，不存在自由液面。液体的分子距和分子的有效直径差不多是相等的;气体分子距比分子平均直径约大十倍。液体有力求自身表面积收缩到最小的特性;气体分子间的吸引力微小，分子热运动起决定性作用真实的流体微观：分子间存有空隙，在空间是不连续的。宏观：一般工程中，所研究流体的空间尺度要比分子距离大得多。流体是由大量做无规则运动的分子组成的，分子之间存在空隙，但在标准状况下，1mm3液体中含有3.3×1019个左右的分子，相邻分子间的距离约为3.1×10-8cm。1mm3气体中含有2.7×1016个左右的分子，相邻分子间的距离约为3.2×10-7cm2.流体的连续介质假设定义：不考虑流体分子间的间隙，把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质。

2.流体的连续介质假设必要性：连续介质假设后——物理量在流体中连续分布——可将流体的各物理量看作是空间坐标和时间的连续函数——解析方法等数学工具来研究流体的平衡和运动规律流体连续介质——物理量连续下图为时平均密度的变化情况当微团体积趋于宏观上充分小、微观上充分大的某体积时，密度达到稳定值，但当体积继续缩小达到分子平均自由程l3

量级时，其密度就不可能保持为常数。合理性：流体分子的间隙极其微小——可看做连续介质

避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。可以利用数学工具来研究流体的平衡与运动规律。

优点:1mm3液体3.3×10191mm3气体2.7×1016适用范围：

火箭在高空稀薄气体中飞行

激波

MEMS（微尺度流体机械系统）L/l>100适用L——物体特征尺寸l——流体质点特征尺寸不适用§1-3流体的主要物理性质1.流体的密度定义：单位体积流体所具有的质量;用符号ρ来表示。单位：kg/m3

均质流体：

非均质流体：常见流体的密度

水——1000kg/m3

空气——1.23kg/m3

水银——136000kg/m3流体重要属性，表征流体在空间某点质量的密集程度。2.流体的膨胀性和压缩性定义：在一定压强下，单位温升引起的体积变化率。(1)液体的膨胀性体积膨胀系数—流体的体积膨胀系数，1/℃，1/K；—流体温度的增加量，℃，K；—原有流体的体积，m3；—流体体积的增加量，m3。在一般情况下，液体的体积膨胀系数忽略不计。定义：在一定温度下，单位压强所引起的体积相对减小值。(2)液体的压缩性体积压缩系数—流体的体积压缩系数，m2/N；—流体压强的增加量，Pa；—原有流体的体积，m3；—流体体积的增加量，m3。在一般情况下，液体的体积压缩系数忽略不计。(2)液体的压缩性（续）体积模量K：压缩系数的倒数。说明：工程上常用体积模量衡量流体压缩性越大，越易被压缩流体的种类不同，其值不同。气体压缩性大于液体。同一种流体的

值随温度、压强的变化而变化。3、气体的压缩性和膨胀性理想气体状态方程R——气体常数空气R=8.31/0.029=287J/kg·K等温过程：压缩系数等压过程：膨胀系数绝热过程：压缩系数不可压缩流体：流体密度随温度、压强变化很小的流体不可压均质流体：可压缩流体：4、不可压缩流体和可压缩流体严格地说，不存在完全不可压缩的流体。

对于气体，当所受压强变化相对较小时，可视为不可压缩流体。

（锅炉尾部烟道）

气体对物体流动的相对速度比声速要小得多时，气体的密度变化也很小，可以近似地看成是常数，也可当作不可压缩流体处理。

一般情况下的液体都可视为不可压缩流体，管路中压降较大时，应作为可压缩流体（发生水击、水下爆破）。5.流体的黏性（1）粘性定义：在外力作用下，流体微元间出现相对运动时，产生阻抗相对运动的切向阻力的性质。a库仑实验(1784)普通板、涂腊板和细沙板，三种圆板的衰减时间b牛顿内摩擦定律dyduFF，与接触面的面积A成正比与流体的种类有关与接触面上压强P无关内摩擦力F与垂直于流动方向的速度梯度du/dy成正比F—流体层接触面上的内摩擦力，N；A—流体层间的接触面积，m2；du/dy—垂直于流动方向上的速度梯度，1/s；μ—动力黏度，Pa·s。结论牛顿内摩擦定律速度梯度则dyyuduu+dudcabxoyYu0Fdcd'c'udtaba'b'd(u+du)dt角变形率（2）粘度的表示方法

μ

——动力黏度，Pa·sν——运动黏度，m2/s反映流体粘滞性大小的系数（3）影响粘度的因素液体吸引力T↑

μ↓气体热运动T↑

μ↑（4）牛顿流体、非牛顿流体

牛顿流体：是指任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体，即遵循牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。

非牛顿流体：不符合上述条件的均称为非牛顿流体。o膨胀型流体牛顿流体拟塑性流体塑性流体1、宾汉型流体：00，n=1,=Const2、假(伪)塑性流体：0=0，n<13、牛顿流体：0=0，n=1,=Const4、膨胀流体：0=0，n>15、理想流体：0=0，=0流体分类

当系统各部分的物理性质如速度、温度或密度不均匀时，系统则处于非平衡态。在不受外界干预时，系统总是要从非平衡态向平衡态过渡。这种过渡称为输运过程。流体输运现象是一种自发过程。

从微观角度看，流体输运性质是由分子热运动以及分子之间的碰撞产生的，使流体宏观性质趋于一致。输运过程有三种：动量输运、热量输运、质量输运。流体的这三种输运性质分别对应粘滞现象、导热现象和扩散现象。流体的输运性质6.流体中的输运现象（1）粘性----动量输运流体内部质点间或流层间因相对运动而产生内摩擦力以反抗相对运动的性质，称之为动量输运，或称为粘性（粘度）。此内摩擦力称为粘滞力。宏观物质由大量的分子组成。每个分子都在不停的运动──热运动。由于分子间频繁的碰撞，分子的运动是杂乱无章的。分子在无规则运动中，将原来所在区域的流体宏观性质输运到另一区域，再通过分子的相互碰撞、交换、传递了各自的物理量，从而形成了新的平衡。流体粘性成因

流体内摩擦是两层流体间分子内聚力和分子动量交换的宏观表现。

当两层液体作相对运动时，两层液体分子的平均距离加大，分子之间的引力克服它们之间的相对运动。a液体

气体分子的随机运动范围大，流层之间的分子交换频繁。

两层之间的分子动量交换表现为力的作用，称为表观切应力。气体内摩擦力即以表观切应力为主。一般认为：液体粘性主要取决于分子间的引力，气体的黏性主要取决于分子的热运动。b气体

流体的黏度随温度和压力而变化，分别称为黏温特性和黏压特性。黏度一般随温度变化较大，随压力变化不大。

液体：分子之间的引力是产生粘度的主要因素温度↑→分子间距↑→分子吸引力↓→内摩擦力↓→粘度↓

气体：分子热运动引起的动量交换是产生粘度的主要因素。温度↑→分子热运动↑→动量交换↑→内摩擦力↑→粘度↑

影响粘度的因素粘滞性实验规律的微观解释：气体的内摩擦现象是热运动分子通过dS面交换定向动量的结果，在dt时间内从下向上垂直越过dS面的分子数为：热运动过程中分子带着动量、能量、质量从一处转到另一处,这样相互“搅拌”的结果,使原来存在着不均匀性的气体,逐渐地趋于一致.输运的定量分析：平均而言，这些分子经历最后一次碰撞时离dS的距离都等于平均自由程，故在dt时间内从下而上带过dS面的定向动量为同理，同一时间内从上而下带过dS面的定向动量为两式相减，得dS面上方气体的定向动量增量为根据牛顿笫二定律，内摩擦力内摩擦系数气体的热传导和扩散现象的系数微观表示式可采取类似的方法处理。例1：汽缸内壁的直径D=12cm，活塞的直径d=11.96cm，活塞长度L=14cm，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑油的μ=0.1Pa·s。求作用在活塞上的粘性力。注意：面积、速度梯度的取法dDL例题2:直径为150mm的圆柱，固定不动。内径为151.24mm的圆筒，同心地套在圆柱之外。二者的长度均为250mm。柱面与筒内壁之间空隙充以甘油。转动外筒，每分钟100转，测得转矩为9.091N.m。假设空隙中甘油的速度按线性分布，也不考虑末端效应。计算甘油的动力粘度μ例题3：一底面积为40cm×45cm，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已知v＝1m/s,δ=1mm,求润滑油的动力粘度13125GvααG例题4：如图所示，转轴直径=0.36m，轴承长度=1m，轴与轴承之间的缝隙＝0.2mm，其中充满动力粘度＝0.72Pa.s的油，如果轴的转速200rpm，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。(2)热传导----能量输运热传导现象：当物体各部分温度不同时，由于分子间的相互碰撞和相互掺和而使热量将从温度较高处向温度较低处传递，这种现象称为热传导现象。OTzdQT1T2热传导现象的宏观规律热传导现象的微观机制：由于分子的热运动，使得不同部分的分子相互碰撞和搀和，由此导致分子热运动的能量从温度高处向温度低处输运，产生宏观上的热量传递。(3)扩散----质量输运扩散现象：当物体中密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从密度较大处向密度较小处迁移的现象，即流体的质量就会从高密度区迁移到低密度区的现象。自扩散：单组份的流体中，由于其自身密度差所引起的扩散。互扩散：两种组份的混合介质，由于各组份的各自密度差在另一组分中所引起的扩散。工程问题中，互扩散较自扩散更为重要。扩散现象的宏观规律OzdM12扩散现象的微观机制：由于分子的热运动，使得不同部分的分子相互搀和，从而导致粒子从密度较大处向密度较小处迁移。一维定常的第一菲克扩散定律

当流体分子进行动量、能量（热能）交换且伴随有质量的交换时，质量输运的机理与动量、热能输运的机理完全相同。对于由双组分A、B所组成的混合物系统，各组分均由其各自的高密度区向低密度区扩散。假设仅考虑组分A在组分B中的扩散，则组分A的定常扩散率与他的密度梯度和截面积成正比，即单位时间每单位面积的质量流量与密度梯度成正比。A.从微观的角度看，它们的形成机理都是通过分子的热运动及分子的相互碰撞，输运了它们原先所在区域的宏观性质，从而使原先区域的状态不平衡渐渐趋向状态平衡。B.均为不可逆过程，同时这些输运现象都按照在层流流动中考虑。流体的动量、热能和质量三种输运性质的共同特点液体表面具有一种不同于液体内部的特殊性质：即在液体内部相邻液体间的相互作用表现为压力；而在液体表面，界面液体间的相互作用表现为张力。由于张力的存在，引起弯曲液面内外出现压力差以及常见的毛细现象。内聚力：是分子间的相互吸引力。

附着力：是指两种不同物质接触部分的相互吸引力。表面张力：液体表面由于分子引力不均衡而产生的沿表面作用于任一界线上的张力。7.液体的表面张力和毛细现象表面张力水滴成球形以使其表面积最小

汞在玻璃表面的形状，小的汞滴成几乎完美的球形,而大的汞滴成扁平状液体表面有自动收缩的趋势；表面张力的物理本质是不同介质之间的分子间作用力；温度升高时，表面张力通常减小；弯曲液面下的压强差由于表面张力的存在，液面内、外有一压强差，形成附加压强。在凸液面时，附加压强为正，即液面内的压强大于液面外的压强（常为大气压）；在凹液面时则反之，此附加压强可通过对液面的受力分析计算。弯曲液面下的压强差如左图所示,液体表面层分子所受合力不为零,而是受到一个指向液体内部的拉力,导致液体表面有自动收缩的趋势.

Laplace公式：毛细现象毛细现象：将细管插入液体后管内水面会升高或下降的现象，即浸润液体在细管里升高的现象和不浸润液体在细管里降低的现象。能够产生明显毛细现象的管把几根内径不同的细玻璃管插入水中,可以看到,管内的水面比容器里的水面高，管子的内径越小,里面的水面越高。把这些细玻璃管插入水银中，出现的情况正好相反，管子里的水银面比容器里的水银面低，管子的内径越小，里面的水银面越低。

液体沿固体上升：内聚力大于附着力液体沿固体下降：内聚力小于附着力§1-4研究流体运动的方法流场：充满运动流体的空间1.基本概念流体质点：流体中可以忽略线性尺度的最小单元。空间点：是几何位置点，无大小和形状，不随时间改变。系统：无数个流体微团的集合。

控制体：由空间点组成。流体微团：流体中宏观尺寸非常小而微观尺寸又足够大的任意一个物理实体，具有自己的体积和质量。流体微元——具有流体宏观特性的最小体积的流体团理想流体不考虑粘性的流体不可压缩性ρ=c拉格朗日简介法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。

1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。

1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。欧拉简介

瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。(1)Lagrange法（拉格朗日法）

2.研究流体运动的两种方法基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。跟踪法初始时刻的位置坐标任意时刻的运动坐标区分不同流体质点流体质点的位移a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号。速度表达式加速度表达式(2)Euler法（欧拉法）

独立变量：

基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。空间点坐标，时间(t)的函数，布哨法

运动要素表示为：加速度或当地加速度欧拉坐标下的质点加速度：迁移加速度第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度。第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度。★★随体导数★★任何流体质点物理量，不管是标量还是矢量，其随体导数都可写为例如：Lagrange法优缺点√直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程×数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用

Euler法的优越性：iii在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。i利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。ii采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。两种方法对比分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法两种方法的比较Lagrange法Euler法拉格朗日与欧拉描述之间的转化由于两种方法描述的是同一个流场的同一物理量，例如，速度v，压强p，温度T等。….v(x,y,z,t)v(a,b,c,t);p(x,y,z,t)p(a,b,c,t);T(x,y,z,t)T(a,b,c,t)……若已知拉格朗日描述下或者欧拉描述下的流场，则另外一种方法描述的该流场也应能够求出。求解分析例如：某一物理量在欧拉以及拉格朗日描述下的函数分别为F，f；知x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);

z(a,b,c,t);有x(a,b,c,t)=x;y(a,b,c,t)=y;

z(a,b,c,t)=z;

则F(x,y,z,t)的值即为f(a,b,c,t),此为两者的关联性。依据此关系，下面给出两者描述下物理量表达式的互求方法。A.已知拉氏描述结果r(a,b,c,t),f(a,b,c,t),求欧拉下的描述由x=x(a,b,c,t);y=y(a,b,c,t);

z=z(a,b,c,t);反解得a=(x,y,z,t);b=b(x,y,z,t);c=c(x,y,z,t);将其代入

f(a,b,c,t)；则得到f[a(x,y,z,t),b(x,y,z,t),c(x,y,z,t),t],即为F(x,y,z,t)。B.已知欧拉描述结果v(x,y,z,t),F(x,y,z,t),求拉氏下的描述求解r(a,b,c,t)是关键，因为它也是欧拉描述下的位置点由得积分得（注意这个积分里面的x,y,z是相互耦合的）：考虑到t=t0

时刻，是赋值拉格朗日描述坐标的依据，则由上式可解得：代入本页第一个式子可得：再代入F(x,y,z,t)中，即得到f(a,b,c,t)。例题1已知，拉格朗日描述

求速度与加速度的欧拉描述解：拉格朗日下的速度，加速度分别为：由得代入速度、加速度表达式得由得代入速度、加速度表达式得利用随体导数依据速度u=x,v=-y,

亦可得例题2已知，欧拉描述，初始t=0，x=a,y=b

求速度与加速度的拉格朗日描述解：由由初始条件，代入t=0，x=a,y=b确定c代入到已知欧拉的描述中，得到速度求导可得加速度………….§1-5流场的基本概念1.恒定流与非恒定流恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，即非恒定流：流场中所有空间点上运动要素随时间变化，即恒定流非恒定流对于恒定流，只存在迁移加速度2.迹线：流体质点在空间运动所经过的轨迹。拉格朗日法迹线的微分方程独立变量（1）迹线微分方程迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线.（2）迹线性质【例1】已知用拉格朗日变量表示的速度分布为u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a，

y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3）质点加速度。【解】根据迹线定义：将上式积分，得上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2x=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2(1)将t=3代入上式得

x=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8(2)a=2，b=2时

x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)流体质点的加速度为：【例2】在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？【解】由已知条件得到：

进一步求导，得到流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线.3.流线流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。(1)流线的基本特性a.在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。3.流线

而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。b.通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。

c.流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。

d.流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。(2)流线微分方程现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量，通过该点流线上的微元线段。由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即即上式又可写成：此为流线的微分方程，式中时间t是个参变量。【例3】有一流场，其流速分布规律为：u=-ky，v=kx，w=0，试求其流线方程。【解】由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为将两个分速度代入流线微分方程，得到即xdx+ydy=0积分上式得到x2+y2=c即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。试求：（１）ｔ＝２时刻流体质点的分布规律；（２）ａ＝１，ｂ＝２时这个质点的运动规律；（３）流体质点的加速度；例4已知拉格朗日变数下的速度表达式为：

vx=(a+1)et-1vy=(b+1)et-1ａ、ｂ为ｔ＝０时流体质点所在位置的坐标。注意到在t=0时，x=a、y=b，即有解（1）C1=-1C2=-1进一步求得流体质点的一般运动规律为:t=2时流体质点的分布规律:（2）a=1，b=2的特定流体质点，其运动规律为：（3）质点的加速度为:例4已知流场的速度分布为ｖx＝x+t，ｖy＝-y+t（４）ｔ＝1，过点（1,2）的加速度。解：（1）迹线微分方程为:试求：（１）ｔ＝0，过点（-1,-1）的迹线；（２）ｔ＝0，过点（1,2）的迹线；（３）ｔ＝0，过点（-1，-1）的流线；将t＝0，x=-1，y=-1代入上式得Ｃ1＝0Ｃ2＝0此非齐次常系数线性微分方程组的通解为ｘ＝Ｃ1ｅt-ｔ-１ｙ＝Ｃ2ｅ-t+ｔ-１故经过点(-1,-1)的轨迹线方程为:

Ｘ=-ｔ-1Ｙ=ｔ-1消去t后得:x+y=-２为一条过点(-1,-1)的直线。（２）将ｔ＝0，ｘ＝１，ｙ＝２代入通解得:C1＝２C2＝３故过点（1，2）的轨迹线方程为:

ｘ＝2et-ｔ-１ｙ＝3e-t+t-1（３）流线微分方程为:积分后得:ln（x+t）=-ln（-y+t）+C或为：(x+t)·（-y+t）=Ｃ代入t=0，ｘ=-１，ｙ=-1得Ｃ=-1则过点(-1,-1)的流线方程为：ｘy=1（４）加速度公式为：所以ax=1+（x+t）·１＋（-y+t）·０＝3ｍ／s2ay=1+（x+t

）·０＋（-y+t

）·（-１）＝2m／s2例6:试求点(1,2,3)处流体加速度的三个分量小结：流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于流线上的液体质点之速度矢量都和流线相切，是与欧拉法观点相对应的概念。迹线是流体质点运动的轨迹线，与拉格朗日观点相对应的概念迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格朗日观点对应);流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线(与欧拉观点相对应)。4.流管、流束和总流

在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。

过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。当流束的横截面积趋近于零时，则