第四章三角函数解三角形学案

探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1求值：(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－2cos10°－sin变式迁移 求值

sin (2)tan(6－θ)＋tan(6＋θ)＋探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值 例 已知0<β<4<α<4

＝13变式迁移 (1)tanαsinα＋β－2sinαcos

2sinαsinβ＋cos

探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值 2例 已知0<α<2<β<π，tan2＝2，cos(β－α)＝10sinα的值；(2)β＝变式迁移 (2011·岳阳模拟)若sin 5＝

sinB＝

A、B

5 10例(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sin 2 求cos(α－β)

＝5 若－2<β<0<α<2sinβ＝－13sinα解(1)∵|a－b|＝25，∴a2－2a·b＋b2＝4[2分 又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sina·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分 ＝故 3[6分＝ 2 又∵sinβ＝－5

，∴cosβ＝12.[9分 －5

13＝65.[12分5本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知α变为(α－β)＋β.(满分：75分一、选择题(525分1(2011·)已知sinα＋πsin

4 ，则

＝－

3

2 cos＋6－sin

则sinα－6的值 2 2 ．－ B. 3．(2011·宁波月考)已知向量a＝sin＋6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b ＋3 A．－

3 ．函数y＝ x＋ 图象的一条对称轴方程 ＝

＝ 6或 12345二、填空题(412分)P(点PC上)iα(i＝1,2,3)，则cosα1cosα2＋α3sinα1·sin

3 7．设sinα＝52<α<π，tan(π－β)＝2，则 2

8．(2011·惠州月考)tanαtanβx＋33x＋4＝0α则 ，α＋β的值 三、解答题(38分

9．(12分)(1)α∈，2，β∈2，πsin(α＋β)＝65，cosβ＝－13.sin tan

2α－β10．(12分)(2010·)(1)①证明两角和的余弦C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcossinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsin（2）已知△ABC的面积S=1，→→＝3，且cos

cos2

11．(14分)(2011·济南模拟)f(x)＝a·ba＝(2cosx,1)，b＝(cosx (1)f(x)＝1－3x∈－3，3[0π]答案1．(1)cosαcosβ－sinαsin cosαcosβ＋sinαsin(2)sinαcosβ＋cosαsin sinαcosβ－cosαsintanα＋tan1－tanαtan

tanα－tanβ1＋tanαtan

1解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角解(1)＝2sin50°＋sin10°·1＋3sin10°·2sin cos10° cos10°＋3sin2＝2sin50°＋sin2

cos

sin 2cos10°＋2sin10°·2cos

cos ＝2sin50°＋2sin10°sin40°·2cos cos ＝2sincos10°·2cos10°＝22sin×＝2 3＝6.×(2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－＝

32sin(θ＋45°)＋2cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－2cos(θ＋45°)－22cos30°－20°－sin变式迁移 解(1)原式

sin3cos20°＋sin20°－sin 3cos20° ＝

sin

sin tan[(6－θ)＋(6＋θ)][1－tan(6－θ)·tan(6＋θ)]＋3tan(6－θ)tan(6＋θ)＝例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一解 0<β<4<α<4π 3π∴2<4＋α<π，4<4

变式迁移 解(1)由

1＋tan ， 1－tan1＋tanα＝2－2tanα，∴tansinα＋β－2sinαcos2sinαsinsinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcos＝2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsin－sinαcosβ－cosαsin ＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝

tanα－tan1＋tanαtan- - 2 例 解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下 解

∴sin

α

2cos12sin2cos

2tan

1sin2

1＋

(2)∵0<α<π，sinα＝4，∴cos cos(β－α)＝2sin(β－α)＝7 ∴sin＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sin＝7 2 25 210×5＋10×5＝50＝2由 2<β<π(或求cosβ＝－2 变式迁移 解∵A、B均为钝角且sinA＝5，sinB＝ ∴cos 1－sin2A＝－2＝－2 cos 1－sin2B＝－3＝－3 10∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsin＝－2 3 5

25×－

－5×10＝24由①②4 3 3 9．解(1)∵β∈π，π，cosβ＝－5 ∴sin (2分又 ∴2<α＋β2 (4分 ∴sin＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin＝33－5 －56

(6分(2)∵tantanα－β＋tan＝

＝ 7 (8分1－tanα－βtan

＋＋tan＝

(10分1－tan

∵α，β∈(0，π)，tan ，tan

4 (12分4①证明如图，在直角坐标系xOyO，并作出角α、β与－β，使角α的始－βOP1，终边交⊙OP1(1,0)，P2(cosα，sin (2分＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsin∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin (4分②解由①易得，cosπ－α＝sin sinπ－α＝cos ＝sinαcosβ＋cosαsin∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsin (7分2(2)解由题意，设△ABCB、Cb、22bcsin

→AB·AC＝bccos∴A∈0，π，cosA＝3sin (9分 ∴sinA＝10，cosA＝3 cosB＝3sin 10∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝10 10cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝