平面向量的数量积与平面向量应用举例-课件

[知识梳理]一、两个向量的夹角1．定义2．范围向量夹角θ的范围是

，a与b同向时，夹角θ＝

；a与b反向时，夹角θ＝

.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是

，则a与b垂直，记作

.0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝

.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

的乘积．|a||b|cosθ0|b|cosθ三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥b⇔

.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|

|a||b|.a·b＝0|a|2≤四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝

.2．分配律：(a＋b)·c＝

.3．对λ∈R，λ(a·b)＝

＝

．b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝

.2．a⊥b⇔

.3．|a|＝.a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0[小题能否全取]1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(

)A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．答案：

B2．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为 (

)答案：

D答案：

B3．(2019·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝ (

)5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________.平面向量数量积的运算[例1]

(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝ (

)A．6

B．5C．4 D．3[答案]

(1)C

(2)18

平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．[典例总结][巩固练习]答案:

B答案：－6两平面向量的夹角与垂直[例2]

(1)(2019·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为(

)A．150°

B．90°C．60° D．30°(2)(2019·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.[自主解答]

(1)∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.∴a与c的夹角为90°.(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1.∴k＝1.[答案]

(1)B

(2)1若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．1．求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．[典例总结]2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是 (

)A．x＝0或2 B．x＝2C．x＝1 D．x＝±2(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则 (

)[巩固练习]A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30°D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线解析：(1)

a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．答案:

(1)B(2)D平面向量的模[答案]

B[答案]

D利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；[典例总结](1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．[巩固练习]平面向量数量积的综合应用(1)求f(x)的周期和单调递减区间；向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．[典例总结]4．(1)(2019·朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 (

)[巩固练习]A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形答案：（1）A（2）B

平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思考，一是利用“数”的特征，我们可以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问题来解决；二是利用其“形”的特征，可以通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果.[典例总结]A．2

B．4C．5 D．101．特殊化法该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果．[答案]

D[题后悟道]该题中四个选项都是定值是选择特殊化方