新高考总复习数学第5节第1课时椭圆及简单几何性质习题

多维层次练48[A级基础巩固]x2y21的左、右焦点，1．设F，F分别是椭圆＋＝P为椭圆上251612一点，M是FP的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()1A．4B．3D．5C．21解析：由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，所以|PF2|＝6，2所以|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.答案：Ax2y22．(2020·南昌三中期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右a2b233焦点为F、F，离心率为，过F的直线l交C于A、B两点，若122△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x＋＝2y21B.x3＋y2＝1232x2y2x2y21C.＋＝1D.＋＝124128解析：因为△AF1B的周长为43，且△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a，所以4a＝43，所以a＝3，因为离心率为33，所以c＝33，解得c＝1，a所以b＝a2－c2＝2，所以椭圆C的方程为x＋＝1.2y232答案：Ax2y23．(2020·青岛十六中周考)若曲线＋＝1表示椭圆，则k1－k1＋k的取值范围是()A．k>1B．k<－1C．－1<k<1D．－1<k<0或0<k<1y2＝1表示椭圆，x2＋解析：因为曲线1－k1＋k1－k>0，所以解得－1<k<1，且k≠0，1＋k>0，1－k≠1＋k，则－1<k<0或0<k<1.答案：Dx2y24．(2020·东营市联考)设F1，F2是椭圆＋＝1(0<b<2)的左、4b2右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF|＋|BF2|最大值2为5，则椭圆的离心率为()A.12B.225－13D.2C.2x2y2＋＝1，则a＝2，解析：因4b2由0<b<2可知，焦点在x轴上，因为过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝2a＋2a＝4a＝8，所以|BF2|＋|AF2|＝8－|AB|，当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|＋|AF2|值最大，2b2此时|AB|＝＝b2，则5＝8－b2，解得b＝3，a12则椭圆的离心率e＝c＝1－b＝2.aa2答案：A5．(2020·聊城市调研)过点(3，2)且与椭圆3x＋8y2＝24有相同2焦点的椭圆方程为()A.x＋＝2y21B.＋＝1015x2y21510x2y2x2y2C.＋＝1D.＋＝115102510解析：椭圆3x2＋8y2＝24化为x＋＝1，它的焦点为(±5，0)，2y283可得c＝5，设椭圆的方程为：x＋＝1(a>b>0)，2y2a2b294可得：＋＝1，a2－b2＝5，解得a＝15，b＝10，a2b2故所求的椭圆方程为x＋＝1.2y21510答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过55点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为xa22y2＋＝1(a>b>0)．由离心率b25可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＝1，将x2y＋2e＝55c24c2x2y2P(－5，4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.4536答案：x＋＝2y214536x2y227．如图所示，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F、F，点Pa212在椭圆上，若|PF|＝4，∠FPF＝120°，则a的值为________．112解析：由题意知|F1F2|＝2a2－2，因为|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－4，在△F1PF2中，由余弦定理得cos120°＝42＋（2a－4）2－（2a2－2）2＝－12，2×4×（2a－4）化简得8a＝24，即a＝3.答案：3x2y28．(2020·雅礼中学质检)已知点F，F分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一已知∠FPF＝120°，且|PF1|12a2b2点，12＝3|PF2|，则椭圆的离心率为________．解析：点P是椭圆xa22y2＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别为椭b2圆的左、右焦点，因为∠F1PF2＝120°，且|PF1|＝3|PF2|，如图所示，设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，4m＝2a，则4c2＝m2＋9m2－2·m·3mcos120°，c134可得4c2＝13×a42，解得e＝a＝.13答案：49．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为xa22y2＋＝1(a>b>0)，b22a＝10，依题意得因此a＝5，b＝4，c＝3，a2＝b2＋c2，所以椭圆的标准方程为x＋＝1.2y22516(2)易知|y|＝4，又c＝3，P1212所以S△F1PF2＝|y|×2c＝×4×6＝12.P10．(2020·青岛二中月考)已知椭圆xa＋by＝1(a>b>0)的左右焦点22221分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝.2(1)求椭圆的标准方程；→→(2)若P是椭圆上的任意一点，求PF1·PA的取值范围．1，解：(1)由题意，因为|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝2所以c＝1，a＝2，所以b＝3，所以椭圆的标准方程为x＋＝1.2y243(2)设P(x0，y0)，A(－2，0)，F1(－1，0)，→→所以PF＝(－1－x·PA0)(－2－x0)＋y＝x＋3x0＋2＋y，2220001因为P点在椭圆上，所以x＋＝1，y2y234＝3－x，00224300→→14所以PF＝·PAx＋3x0＋5，21014由椭圆方程得－2≤x0≤2，二次函数x＋3x0＋5的开口向上，20对称轴x0＝－6<－2，当x0＝－2时，取最小值0，当x0＝2时，取最大值12.→→所以PF的取值范围是[0，12]．·PA1[B级能力提升]x2y211．(2020·菏泽市期末)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)ab22的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B＝53，则椭圆E的离心率为()A.12B.2332D.2C.2解析：设|BF1|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，所以|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k，因为cos∠AF2B＝53，在△ABF2中，由余弦定理得：|AB|2＝|AF＋|BF－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，|2|222所以(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，所以|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，|AB|＝4k，所以|BF＝|AF＋|AB|2，|2|222所以AF1⊥AF2，且AF1＝AF2＝3k，所以△AF1F2是等腰直角三角形，(2c)2＝2a2，2a，所以椭圆的离心率e＝22.所以c＝c＝2a答案：Dx2y212．(2020·青岛实验高中测试)方程－＝1表示焦点在ym－2m1轴上的椭圆，则m的取值范围是______________________________．x2y2m－1－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，因为方程2m解析：y21－mx22m所以该椭圆的标准方程为＋＝1，满足1－m>2m>0，解之得0<m<13.答案：0<m<1313.如图所示，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆→→→的右焦点，且AF·FB＝1，|OF|＝1.(1)求椭圆的(2)记椭圆的上存在直线l，使得点标准方程．顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为xa22y2＋＝1(a>b>0)，则c＝1.b2因为AF→·FB→＝1，即(a＋c)(a－c)＝1＝a2－c2，所以a2＝2，故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为M(0，1)，F(1，0)，故kPQ＝1，于是可设直线l的方程为y＝x＋m.y＝x＋m，联立得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，x2＋2y2＝2，2m2－2.4m，x则x1＋x2＝－1x2＝33因为MP→·FQ→＝0＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)，又yi＝xi＋m(i＝1，2)，得x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0，2－2－4所以2·2m3m(m－1)＋m2－m＝0，3解得m＝－43或m＝1(舍去)．经检验m＝－34符合条件，所以直线l的方程为y＝x－4.3故存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心，此时l的方程为y＝x－34.[C级素养升华]x2y211(a>b>0)的离心率为，以原214．(多选题)已知椭圆C：＋＝a2b2点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切，C的方程为则椭圆()A.x＋＝2y21xy22B.＋＝112986C.x＋＝2y21D．3x2＋4y2＝1243ca2－b2＝12，所以e2＝＝＝，即a2＝，144b2解析：由题意知e＝ac2a2a23以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2.62由题意可知b＝＝3，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x42＋y32＝1，即3x2＋4y2＝12.答案：CD素养培育数学运算——离心率求解面面观(自主阅读)离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化．近年来，涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外，还要常常综合运用其他有关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性．1．巧求离心率的值[典例1]我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为()33B.2A.32D.21C.2解析：设|F1P|＝m，|F2P|＝n，|F1F2|＝2c，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，即4c2＝m2＋n2－mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2，代入上式得4c2＝3a＋a，又它2221们的离心率互为倒数，cc＝1，即c＝a·1a2，代入4c2＝3a＋a得3a2222212aa12－4a1a2＋a＝·3c＝1，即3eccc＝0，a1＝3a2，e1·e2＝·＝1，所以2aaa1a121121e1＝33.答案：A2．求离心率的取值范围x2C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上ab22y2[典例2]设椭圆→→A、B关于原点对称，且满足FA·FB＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，的两点C的离心率的取值范围是(则椭圆)255，1A.B.，2332C.31D．[3－1，1)，－2解析：设椭圆左焦点为F′，连接AF′、BF′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又FA→·FB→＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在直角三角形AF′F中m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，①得mn＝2b2，②2c12c2.①÷②得＋＝2，令＝t，得t＋＝mnmnmbntb2