河北省衡水市南京堂中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

河北省衡水市南京堂中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在处的切线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时，（）A．λ先变小再变大 B．当M为线段BC中点时，λ最大C．λ先变大再变小 D．λ是一个定值参考答案：D【分析】利用正弦定理求出两圆的半径，得出半径比，从而得出两圆面积比．【解答】解：设△ABP与△ACP的外接圆半径分布为r1，r2，则2r1=，2r2=，∵∠APB+∠APC=180°，∴sin∠APB=sin∠APC，∴=，∴λ==．故选D．3.（

）

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在X轴上的双曲线C.焦点在Y轴上的椭圆

D.焦点在y轴上的双曲线参考答案：D4.某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤服务人员24名，今从中抽取一个容量为20的样本，采用(

)较为合适．A．简单随机抽样

B．系统抽样

C．分层抽样

D．其他抽样参考答案：C5.用反证法证明命题“若，则”时,反设正确的是()A.假设 B.假设

C.假设 D.假设参考答案：D6.在△ABC中，已知，则角A为

(

)(A)

(B)

(C)

(D)或参考答案：C7.已知某算法的流程图如图所示，输入的数x和y为自然数，若已知输出的有序数对为，则开始输入的有序数对可能为A.

B.

C.

D.参考答案：B8.设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（

）A.45个

B.81个

C.165个

D.216个参考答案：解析：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211

共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。

综上，。9.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（） A．12种 B． 20种 C． 24种 D． 48种参考答案：C10.已知是定义在R上的奇函数，对任意，都有，若，则等于（

）

A、-2 B、2 C、2013 D、2012参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线平分圆的周长，则__________。参考答案：－512.一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为．参考答案：2500m2考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：设出宽，进而可表示出长，利用矩形面积公式求得面积的表达式，进而利用二次函数的性质求得矩形面积的最大值．解答：解：设每个小矩形的高为am，则长为b=（200﹣4a），记面积为Sm2则S=3ab=a?（200﹣4a）=﹣4a2+200a（0＜a＜50）∴当a=25时，Smax=2500（m2）∴所围矩形面积的最大值为2500m2故答案为：2500m2点评：本题主要考查了函数的最值在实际中的应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，设出自变量和因变量，将实际问题转化为函数模型是解答本题的关键．13.已知点P（1，0）在圆x2+y2﹣4x+2y+5k=0的外部，则k的取值范围是．参考答案：（，1）【考点】圆的一般方程．

【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据圆的标准方程的特征可得k＜1，再根据点在圆的外部可得k＞，综合可得实数k的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+2y+5k=0，即（x﹣2）2+（y+1）2=5﹣5k，∴5﹣5k＞0，即k＜1．∵点P（1，0）在圆x2+y2﹣4x+2y+5k=0的外部，∴12+02﹣4+5k＞0，∴k＞．综上可得，＜k＜1，故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查圆的标准方程、点和圆的位置关系，属于基础题．14.已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的图象在点处的切线方程为

▲

.参考答案：略15.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD的底面ABCD内取一点E,使AE与AB、AD所成的角都是60°,则线段AE的长为

.参考答案：16.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……

照此规律，第个等式为

。参考答案：略17.已知a＞0，b＞0，ab﹣（a+b）=1，求a+b的最小值为

．参考答案：2+2【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，ab﹣（a+b）=1，∴1+a+b=ab，化为（a+b）2﹣4（a+b）﹣4≥0，解得，当且仅当a=b=1+时取等号．∴a+b的最小值为2+2．故答案为：2+2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知四棱锥(图5)的三视图如图6所示，为正三角形，垂直底面，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥的体积；（3）求证：平面；参考答案：解：（1）过A作，根据三视图可知，E是BC的中点，

且，

又∵为正三角形，∴，且

∴

∵平面，平面，∴

∴，即

正视图的面积为

（2）由（1）可知，四棱锥的高，

底面积为

∴四棱锥的体积为

（3）证明：∵平面，平面，∴

∵在直角三角形ABE中，

在直角三角形ADC中，

∴,∴是直角三角形

∴

又∵，∴平面

略19.已知圆和直线．（1）求圆C的圆心坐标及半径．（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值．参考答案：见解析．（1）圆，转化为：，则：圆心坐标为，半径．（2）利用（1）的结论，圆心到直线的距离．最大距离为：．20.如图所示的某种容器的体积为90πcm3，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为rcm.圆锥的高为h1cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为元/cm2.（1）将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径r为多少？参考答案：（1），定义域为.（2）【分析】（1）由题由圆柱与圆锥体积公式得，得即可；（2）由圆柱与圆锥的侧面积公式得容器总造价为，求导求最值即可【详解】（1）因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，圆锥的体积为，圆柱的体积为.因为，所以，所以.因为，所以.因此.所以，定义域为.（2）圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，底面积.容器总造价为.令，则.令，得.当时，，在上单调减函数；当时，，在上为单调增函数.因此，当且仅当时，有最小值，即有最小值，为元.所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为.【点睛】本题考查圆柱圆锥的表面积和体积公式，考查利用导数求函数最值，方程思想的运用，是中档题21.（16分）已知圆O：x2+y2=4．（1）直线l1：与圆O相交于A、B两点，求|AB|；（2）如图，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m?n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（1）先求出圆心（0，0）到直线的距离，再利用弦长公式求得弦长AB的值．（2）先求出M1和点M2的坐标，用两点式求直线PM1和PM2的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论．【解答】解：（1）由于圆心（0，0）到直线的距离．圆的半径r=2，∴．…（2）由于M（x1，y1）、p（x2，y2）是圆O上的两个动点，则可得，，且，．…根据PM1的方程为=，令x=0求得

y=．根据PM2的方程为：=，令x=0求得y=．…∴，显然为定值．…（14分）【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题．22.某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．

（ⅰ）将S表示为x的函数；

（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；函数解析式的求解及常用方法；频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=