河北省石家庄市野草湾中学高三数学理测试题含解析

河北省石家庄市野草湾中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()参考答案：A略2.已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）参考答案：C3.已知等比数列的前项和为，若，且满足，则使的的最大值为（

）（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

参考答案：D略4.计算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的结果为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°=﹣sin47°（﹣cos17°）﹣cos47°sin17°=sin（47°﹣17°）=sin30°=，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．5.已知向量，则与垂直的单位向量的坐标是（ ）A、或

B、或

C、

D、参考答案：B略6.下列命题中，真命题是A．

B．C．

D．参考答案：D

7.已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若，且，则双曲线C的离心率为A． B． C． C．参考答案：B8.cos等于（）A．B． C．D．参考答案：C【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式利用余弦函数为偶函数化简，将角度变形后利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：cos=cos（3π﹣）=cos（π﹣）=﹣cos=﹣．故选：C．9.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（）A．这14天中有7天空气质量优良 B．这14天中空气质量指数的中位数是103 C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好 D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日参考答案：B解：由图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确，空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立，C，正确，D，正确，偏差最大，故选：B．10.的值等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则

．参考答案：.6312.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为．参考答案：8【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】设出BD=x，利用余弦定理建立方程，整理后求得x，进而利用正弦定理求得BC．【解答】解：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠BDA，即142=x2+102﹣2?10x?cos60°，整理得x2﹣10x﹣96=0，解之得x1=16，x2=﹣6（舍去）．在△BCD中，由正弦定理：=，∴BC=?sin30°=8．故答案为：8【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用．13.设则的值等于__

参考答案：14.已知向量与方向相同，，，则___________。参考答案：2.【分析】根据题干得到，进而得到.【详解】∵，∴，∵与方向相同，且，∴，∴.故答案：2.【点睛】这个题目考查了向量的模长的计算，以及向量共线的应用，属于基础题.15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线，且这条直线与双曲线的一个交点为，已知，则双曲线的渐近线方程为____

__

.参考答案：16.已知为第一象限角，，则

．参考答案：,因为，所以1-因为＞0，为第一象限角，所以，所以故答案为：

17.设函数=

。参考答案：答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，角所对的边分别为，且满足，

．

（I）求的面积；

（II）若，求的值．参考答案：略19.已知数列中，，前n项和为Sn，且。（1）求a1；（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由。参考答案：(1)令n=1，则a1=S1==0．

…………2分(2)由，即，

①得

．

②②－①，得

．

③于是，．

④③+④，得，即．

………6分又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．

………………8分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．

…………10分所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．

…………12分当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列，于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．……14分综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．……………16分20.已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；参考答案：解：（1）f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a).由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a).

6分（2）由（1）知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜.

所以，a的取值范围是.

12分21.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD， 且AE⊥平面CDE，AE=1． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE； （Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值． 参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知得AD⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥面ADE． （Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，则∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值． 【解答】（本小题满分15分） 证明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分） ∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分） 又∵AE∩AD=A， ∴CD⊥面ADE．过E作EF⊥AD交AD于F，连BF， ∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分） ∴EF⊥平面ABCD， ∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，（12分） ∵BE=，，∴， ∴． ∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为．（15分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认