2021-2022学年北京市大兴区高一(上)期末数学试卷及答案

2021-2022学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1．4分）已知a＞0，则a•ᵄ=（

（

A．ᵄ2

1

）

C．a2

D．a3

B．ᵄ2

3

2．4分）已知集合A＝{x|x＝2k，kZ}，则（

（

）

C．2ᵃ

）

D．y＝x3

A．﹣1A

B．1A

D．2A

3．4分）下列函数中在定义域上为减函数的是（

（

A．y＝x

B．y＝lgx

C．y＝2﹣x

4．4分）当0＜x＜2时，x（2﹣x）的最大值为（

（

A．0

B．1

C．2

）

D．4

5．4分）化简ᵆᵅᵅᵰ+3ᵅᵅᵆᵰ=（

（

A．2ᵆᵅᵅ(ᵰᵰ)

6

）

C．2ᵆᵅᵅ(ᵰ+ᵰ)

6

D．2ᵆᵅᵅ(ᵰ+ᵰ)

3

B．2ᵆᵅᵅ(ᵰᵰ)

3

6．4分）ᵱ=ᵰ"是"函数y＝sin（x+）为偶函数"的（

（

"

2

）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

）

7．4分）已知函数ᵅ(ᵆ)=4ᵅᵅᵅ2ᵆ，下列区间中包含f（x）零点的区间是（

（

ᵆ

A．0，1）

（

B．1，2）

（

C．2，4）

（

D．4，5）

（

8．4分）在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12

（

分钟转动一周．若M的初始位置坐标为（2，2）

，则运动到3分钟时，M′的位置坐标

1

3

是（

）

B．(23，1)

2

C．(1，23)

2

D．(1，23)

2

A．(23，1)

2

9．4分）下列不等关系中正确的是（

（

A．ᵅᵅ2+ᵅᵅ3＞2ᵅᵅ5

2

）

B．ᵅᵅ3ᵅᵅ2＞1

2

D．ᵅᵅ2＜2

ᵅᵅ3

3

C．ln2•ln3＜1

2ᵆᵄ，ᵆ＜1

10．4分）若函数ᵅ(ᵆ)={

（

ᵆ(ᵆᵄ)，ᵆ1

恰有2个零点，则a的取值范围是（

）

学大教育倾情奉献

A．

（﹣，1）

B．0，2）

（

C．0，+）

（

D．[1，2）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．5分）函数y＝tanx的最小正周期是

（

12．5分）集合A＝{1，2}的非空子集是

（

ᵰ

．

．

的图象，

的图象．

13．5分）将函数y＝sinx的图象先向右平移4个单位长度，得到函数y＝

（

再把图象上各点横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变）

，得到函数y＝

1

14．5分）能说明命题"如果函数f（x）与g（x）的对应关系和值域都相同，那么函数f

（

（x）gx）

和（是同一函数"

为假命题的一组函数可以是（x）

f

＝

，（x）

g

＝

．

15．5分）已知任何一个正实数都可以表示成a×10n（1a＜10，nZ）

（

，则lga的取值范

围是

；2100的位数是

．

（参考数据lg20.3010）

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．14分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2x＜4}．

（

（1）求集合AB，∁RB；

（2）若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为AB，求a，b的值．

17．14分）已知ᵆᵅᵅᵯ=3，ᵯ(ᵰ，0)．

（

5

2

（1）求sin2，cos2的值；

（2）求ᵆᵄᵅ(2ᵯ+ᵰ)的值．

4

18．14分）已知函数f（x）＝2sin（x+）＞0，0＜＜）在一个周期内的图象如图

（

（

所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）直接写出f（x）在区间[0，]上的单调区间；

（3）已知xR，f（a﹣x）＝f（a+x）都成立，直接写出一个满足题意的a值．

2

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19．14分）已知函数ᵅ(ᵆ)=ᵅᵅᵅ2(1ᵆ2)．

（

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）设0＜x1＜x2＜1，证明：f（x1）＞f（x2）

．

20．14分）已知函数f（x）＝sin2x，g（x）＝Acos2x．

（

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）令函数h（x）＝f（x）﹣g（x）

，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

已知，求h（x）在区间[0，ᵰ]上的最大值及取得最大值时x的值．

2

条件①：A＝1，＝2；

条件②：A＝2，＝1．

21．15分）用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留

（

的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为f（x）

，且f（0）＝1．已知用1个单位量的

水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的2，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还

1

有农药残留在蔬菜上．

（1）根据题意，直接写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；

1

（2）设ᵅ(ᵆ)=1+ᵆ2，现用a（a＞0）个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成

2份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由；

ᵅ

（3）若ᵅ(ᵆ)=1+ᵅᵅᵅᵆ满足题意，直接写出一组参数k，c，r的值．

3

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2021-2022学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1．

【解答】解：a＞0，则a•ᵄ=a•a

故选：B．

2．

【解答】解：集合A＝{x|x＝2k，kZ}，

则集合A为偶数集，

1

2

=a

1+1

2

=a

3

2．

2属于偶数，

故选：D．

3．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝x，是正比例函数，在定义域上为增函数，不符合题意；

对于B，y＝lgx，是对数函数，在定义域上为增函数，不符合题意；

对于C，y＝2﹣x＝（2）x，是指数函数，在定义域上为减函数，符合题意；

1

对于D，y＝x3，是幂函数，在定义域上为增函数，不符合题意；

故选：C．

4．

【解答】解：因为0＜x＜2，

所以x（2﹣x）（

ᵆ+2ᵆ2

2）＝1，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时取等号，此时x（2﹣x）

取得最大值1．

故选：B．

5．

【解答】解：ᵆᵅᵅᵰ+3ᵅᵅᵆᵰ

＝2×（2sin+23cos）

1

＝2（cos3sin+sin3cos）

＝2sin（ᵰ+ᵰ）

3．

ᵰ

ᵰ

故选：D．

6．

【解答】解：由=ᵰ，可得y＝sin（x+）＝sin（x+ᵰ）＝cosx为偶函数，故充分性成

2

2

立；

4

学大教育倾情奉献

由函数y＝sin（x+）为偶函数，可得＝k+ᵰ，kZ，不能推出=ᵰ，故必要性不成

2

2

立，

故"ᵱ=ᵰ"是"函数y＝sin（x+）为偶函数"的充分而不必要条件，

2

故选：A．

7．

【解答】解：函数函数ᵅ(ᵆ)=4ᵅᵅᵅ2ᵆ是减函数，又f（2）＝2﹣1＝1＞0，

ᵆ

f（4）＝1﹣log24＝﹣1＜0，

可得f（2）f（4）＜0，由零点判定定理可知：函数ᵅ(ᵆ)=4ᵅᵅᵅ2ᵆ包含零点的区间是：

ᵆ

（2，4）

．

故选：C．

8．

【解答】解：每12分钟转动一周，

则运动到3分钟时，转过的角为12

3

×2ᵰ=

ᵰ

2，

设点M的初始位置坐标为（cos，sin）

，

则ᵅᵅᵆᵯ=1，ᵆᵅᵅᵯ=23，

2

运动到3分钟时，M′的位置坐标是M'（cos（ᵯ+ᵰ）ᵆᵅᵅ(ᵯ+ᵰ)）

2

，

2

，即M'（23，）

2．

1

故选：A．

9．

【解答】解：对于A，ln2+ln3＝ln6＜2ln2=ln4，故A错误；

5

25

对于B，ln3﹣ln2＝ln2＜2=ᵅᵅᵅ，故B错误；

对于C，∵2

1

3

1

=ᵅᵅ

ᵅ＜ᵅᵅ2＜ᵅᵅᵅ3

4

6

=，

4

3

1＝lne＜ln3＜lnᵅ5=1.2，

∴ln2•ln3＜1，故C正确；

对于D，由C得ᵅᵅ2＞2，故D错误．

ᵅᵅ3

3

故选：C．

10．

【解答】解：因为f（x）＝x（x﹣a）（x1）时至多有一个零点，单调函数f（x）＝2x

，

﹣a，x＜1至多一个零点，

2ᵆᵄ，ᵆ＜1

而函数ᵅ(ᵆ)={

恰有2个零点，

ᵆ(ᵆᵄ)，ᵆ1

5

学大教育倾情奉献

所以需满足f（x）＝x（x﹣a）（x1）有1个零点，f（x）＝2x﹣a，x＜1有1个零点，

，

所以{ᵅᵅᵅ2ᵄ＜1，解得1a＜2，

ᵄ1

故选：D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．

【解答】解：函数y＝tanx的最小正周期是，

故答案为：．

12．

【解答】解：∵集合A＝{1，2}，

∴集合A＝{1，2}的非空子集是{1}，{2}，{1，2}，

故答案为：{1}，{2}，{1，2}．

13．

【解答】解：将函数y＝sinx的图象先向右平移4个单位长度，得到函数ᵆ=ᵆᵅᵅ(ᵆᵰ)的

4

图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变）得到函数ᵆ=ᵆᵅᵅ(2ᵆᵰ)的

，

4

1

ᵰ

图象．

故答案为：ᵆᵅᵅ(ᵆᵰ)；ᵆᵅᵅ(2ᵆᵰ)

4

4

14．

【解答】解：如果两个函数的对应关系和值域都相同，那么这两个函数不一定是同一函

数，

如：f（x）＝x2，x（﹣1，1）g（x）＝x2，x[0，1）

，

，它们的定义域不同，不是同一

函数．

（答案为不唯一）

故答案为：x2，x（﹣1，1）x2，x[0，1）

；

．

15．

【解答】解：∵1a＜10，∴0＝lg1lga＜lg10＝1，即0lga＜1，

∵lg2100＝100lg2100×0.3010＝30+0.10，

∴2100＝1030+0.10＝a×1030，共有31位．

故答案为：[0，1）31．

；

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．

【解答】解：1）因为B＝{x|2x＜4}，

（

所以B＝{x|x＜2}，

因为A＝{x|1＜x＜3}，

所以AB＝{x|x＜3}，

6

学大教育倾情奉献

∁RB＝{x|x2}，

（2）因为AB＝{x|1＜x＜2}，

所以x2+ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，

所以x2+ax+b＝0的解为1，2，

所以{1+ᵄ+ᵄ=0，

4+2ᵄ+ᵄ=0.

解得a＝﹣3，b＝2．

17．

【解答】解：1）sin2+cos2＝1，

（

∵ᵯ(ᵰ，0)，∴cos＞0．

2

∵ᵆᵅᵅᵯ=3，∴ᵅᵅᵆᵯ=1ᵆᵅᵅ2ᵯ=4．

5

5

∴sin2＝2sincos=2×(3)×4=24，

5

5

25

cos2＝1﹣2sin2=12×(3)2=25；

7

5

（2）由（1）知ᵆᵅᵅ2ᵯ=24，ᵅᵅᵆ2ᵯ=25，

7

25

∴ᵆᵄᵅ2ᵯ=ᵆᵅᵅ2ᵯ=24×25=24．

ᵅᵅᵆ2ᵯ

25

7

7

ᵰ)=ᵆᵄᵅ2ᵯ+ᵆᵄᵅᵰ=24+1=17．

则ᵆᵄᵅ(2ᵯ+4

4

7

1ᵆᵄᵅ2ᵯᵆᵄᵅ4

ᵰ

1+24

31

7

18．

【解答】解：1）如图可知，2=12(12)=2，所以T＝．

（

2ᵰ

因为ᵄ=|ᵱ|，且＞0，所以＝2．

ᵰ

因为图象过点(12，2)，

ᵄ

5ᵰ

ᵰ

ᵰ

所以，2ᵆᵅᵅ(2×(12)+ᵱ)=2，即ᵆᵅᵅ(ᵰ+ᵱ)=1，∴ᵰ+ᵱ=2ᵅᵰ+ᵰ，ᵅᵄ，

ᵰ

6

6

2

即ᵱ=2ᵅᵰ+2ᵰ，ᵅᵄ．

3

因为0＜＜，所以，ᵱ=2ᵰ，ᵅ(ᵆ)=2ᵆᵅᵅ(2ᵆ+2ᵰ)．

3

3

（2）在区间[0，]上，函数f（x）的增区间为[5ᵰ，11ᵰ]，减区间为[0，5ᵰ]，[11ᵰ，ᵰ]．

12

12

12

12

（3）∵xR，f（a﹣x）＝f（a+x）都成立，故函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，

结合图象可得函数f（x）的图象的一条对称轴为x=5ᵰ，即a=5ᵰ．

12

12

19．

【解答】解：1）根据题意，函数ᵅ(ᵆ)=ᵅᵅᵅ2(1ᵆ2)，

（

7

学大教育倾情奉献

必有1﹣x2＞0，解可得﹣1＜x＜1，

所以函数ᵅ(ᵆ)=ᵅᵅᵅ2(1ᵆ2)的定义域是（﹣1，1）

．

（2）函数f（x）为偶函数，

证明：因为x（﹣1，1）

，都有﹣x（﹣1，1）

，

且ᵅ(ᵆ)=ᵅᵅᵅ2(1(ᵆ)2)=ᵅᵅᵅ2(1ᵆ2)=ᵅ(ᵆ)，

所以函数ᵅ(ᵆ)=ᵅᵅᵅ2(1ᵆ2)为偶函数．

（3）证明：因为0＜x1＜x2＜1，

所以0＜ᵆ12＜ᵆ22＜1．

所以1＜ᵆ22＜ᵆ12＜0．

所以0＜1ᵆ22＜1ᵆ12＜1．

因为y＝log2x是增函数，

所以ᵅᵅᵅ2(1ᵆ12)＞ᵅᵅᵅ2(1ᵆ22)．

因为ᵅ(ᵆ1)=ᵅᵅᵅ2(1ᵆ12)，ᵅ(ᵆ2)=ᵅᵅᵅ2(1ᵆ22)，

所以f（x1）＞f（x2）

．

20．

【解答】解：1）函数y＝sinx的单调增区间为[ᵰ+2ᵅᵰ，ᵰ+2ᵅᵰ]（kZ）

（

，

2

2

由ᵰ+2ᵅᵰ2ᵆᵰ+2ᵅᵰ，kZ，

2

2

解得ᵰ+ᵅᵰᵆᵰ+ᵅᵰ，kZ，

4

4

所以f（x）的单调增区间为[ᵰ+ᵅᵰ，ᵰ+ᵅᵰ]，kZ．

4

4

（2）选择条件①：A＝1，＝2．h（x）＝sin2x﹣cos22x＝sin2x﹣（1﹣sin22x）＝sin22x+sin2x

﹣1，

令u＝sin2x，

因为ᵆ[0，ᵰ]，

2

所以2x[0，]，

所以u[0，1]，

所以y＝u2+u﹣1，u[0，1]，

因为y＝u2+u﹣1在区间[0，1]上单调递增，

所以当u＝1时，y＝u2+u﹣1取得最大值1，

所以当ᵆ=ᵰ时，h（x）取得最大值1；

4

8

学大教育倾情奉献

选择条件②：＝2，＝1．（x）sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1=2ᵆᵅᵅ(2ᵆᵰ)1，

A

h

＝

4

令ᵆ=2ᵆᵰ，

4

因为ᵆ[0，ᵰ]，

2

所以ᵆ[ᵰ，3ᵰ]，

4

4

所以当ᵆ=ᵰ时，即ᵆ=3ᵰ时，h（x）取