黑龙江省黑河市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

黑龙江省黑河市2021届新高考数学模拟试题（3）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结

束为止．某考生一次发球成功的概率为p0p1，发球次数为X，若X的数学期望EX1.75，

则p的取值范围为(

)

B．0,12

7

A．2

0,1

【答案】A

【解析】

【分析】

C．2,1

1

D．12,1

7

根据题意，分别求出PX1，PX2，PX3，

再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可

【详解】

由题可知PX1p，PX21pp，PX31p2p1p31p2，则

EXPX1+2X2+3X3p21pp31p21.75

P

P

解得

p5或p1，由p0,1可得p0,1，

2

2

2

答案选A

【点睛】

本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功

2．设集合Ax2xa，B0,2,4，若集合AIB中有且仅有2个元素，则实数a的取值范围

为

A．0,2

C．4,

【答案】B

【解析】

【分析】

B．2,4

D．,0

由题意知0，A且4A，结合数轴即可求得a的取值范围.

2

【详解】

由题意知，AIB=0，，则0，A，故a2，

2

2

又4A，则a4，所以2a4，

所以本题答案为B.

【点睛】

本题主要考查了集合的关系及运算，

以及借助数轴解决有关问题，

其中确定AIB中的元素是解题的关键，

属于基础题.

3．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业

里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：

万公里）的折线图，以下结论不正确的是（

）

A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著

B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关

C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上

D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

【答案】D

【解析】

【分析】

由折线图逐项分析即可求解

【详解】

选项A，B显然正确；

对于C，

2.91.60.8

，选项C正确；

1.6

1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D错.

故选：D

【点睛】

本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题

4．已知函数

f(x)sin(2019x)cos(2019x)的最大值为M，若存在实数m,n，使得对任意实

4

4

数x总有f(m)f(x)f(n)成立，则Mmn的最小值为（

A．

）

D．

2019

B．

2

2019

C．

4

2019

4038

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的两角和差公式得到fx2sin(2019x)，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度

4

要大于等于半个周期，最终得到结果.

【详解】

函数

fxsin2019xcos2019x2sin2019xcos2019xcos2019xsin2019x

4

4

2

2sin2019xcos2019x2sin(2019x)

4

则函数的最大值为2，Mmn2mn

存在实数m,n，使得对任意实数x总有fmfxfn成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周

期，即mn

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较

综合.

2019

2mn

min

2

2019

5．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosAacosBc2，b3，3cosA1，

则a（

A．5

【答案】B

【解析】

）

B．3

C．10

D．4

由正弦定理及条件可得2sinBcosAsinAcosBcsinC，

即2sinAB2sinCcsinC.

QsinC0，

∴c2，

由余弦定理得a2b2c22bccosA2232223

19

。

3

∴a3.选B。

6．已知复数z1cos23oisin23o和复数z2cos37oisin37o，则z1z2为

A．

13i

22

B．

31i

22

C．

13i

22

D．

31i

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．

【详解】

z1z2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝

13i．

22

故答案为C．

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数

的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

7．已知双曲线x2y21(a0,b0)的左右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，以线段F1F2为直径的圆与

2

2

a

b

PF2与圆E:xcy2b2相切，则双曲线的渐近线方程是

2

双曲线在第二象限的交点为P，若直线

2

16

（

）

A．yx

【答案】B

【解析】

【分析】

B．y2x

C．y3x

D．y2x

先设直线PF2与圆E:

xc2y2b2相切于点M，根据题意，得到EM//PF，再由F2E1，

2

16

1

F2F14

根据勾股定理求出b2a，从而可得渐近线方程.

【详解】

PF2与圆E:xcy2b2相切于点M，

2

设直线

2

16

因为PF1F2是以圆O的直径F1F2为斜边的圆内接三角形，所以F1PF290o，

又因为圆E与直线PF2的切点为M，所以EM//PF1，

F2E1

又FF

4，所以

PF14bb，

4

21

因此PF22ab，

因此有b2(2ab)24c2，

所以b2a，因此渐近线的方程为y2x.

故选B

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

8．己知集合M{y|1y3}，N{x|x(2x7)„0}，则MN（

A．[0,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简

N{x|x(2x7)剟0}x|0x?7，再求MN.

2

）

B．2

0,7

C．

1,7

2

D．

【详解】

因为

N{x|x(2x7)剟0}x|0x?7，

2

又因为M{y|1y3}，

所以MN1,2，

故选：C.

7

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.

9．i为虚数单位,则

2i3的虚部为（

1i

）

A．i

【答案】C

【解析】

【分析】

B．i

C．1

D．1

利用复数的运算法则计算即可.

【详解】

2i32i2i1ii1i1i

，故虚部为1.

1i1i1i1i

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数abia,bR的虚部为b，不是bi，本题为基础题，

也是易错题.

10．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率

为（

A．

）

B．

2

5

13

25

C．

3

5

D．

19

25

【答案】D

【解析】

【分析】

三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的

概率和为1即可解决.

【详解】

由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有

C52C32A3C53C12A3

A223

A223

150种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有C1C32A22种情况；若为第二

3

种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有C1C1A22种，故甲、乙两人在同一个单位的概率

33

为

366

，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为P1

619

15025

2525.

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事

件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.

11．已知函数f(x)3x2cosx，若af(32)，bf(2)，cf(log27),则a，b，c的大小关系是

（

）

A．abc

【答案】D

【解析】

【分析】

B．cba

C．bac

D．bca

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得f(x)在R上为增函数，又由

2log24log27332，分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，函数f(x)3x2cosx，其导数函数f(x)32sinx，

则有f(x)32sinx0在R上恒成立，

则f(x)在R上为增函数；

又由2log24log27332，

则bca；

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．

12．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（

）

A．24

【答案】A

【解析】

【分析】

B．86

C．

43

3

D．12

将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．

【详解】

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，

∵四面体所有棱长都是4，

∴正方体的棱长为22，

设球的半径为r，

则2r

224

2

2

，解得r

6，

所以S4r224，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为

正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，F1、F2分别是双曲线

x2y21的左、右焦点，过F的直线与双曲线C的两条渐近线分别

a2b2

2

uuuuuuuuuuruuuu

r

r

r

交于A、B两点，若F2AAB，F1BF2B0，则双曲线C的离心率是______.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据三角形中位线证得

AO//BF1，结合FBFB0判断出AO垂直平分BF2，由此求得b的值，结合

uuuruuuu

r

1

2

a

c

c

2a2b2求得

a的值.

【详解】

uuuuuuu

r

r

uuuruuuu

r

∵F2AAB，∴A为BF2中点，AO//BF1，∵F1BF2B0，∴AO垂直平分BF2，

∴

AOF2AOBBOF160，即btan603，∴b3a，c23a2a24a2，即

a

ec2.

a

故答案为：2

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

|x1|,x0

14．已知函数f(x)2

，若函数yf(x)a有3个不同的零点x1,x2,x3(x1x2x3)，则

4x,x0

x1x2a的取值范围是___________．

x3

【答案】(2,0]

【解析】

【分析】

【详解】

作出函数yf(x)的图象及直线ya，如下图所示，因为函数yf(x)a有3个不同的零点

x1,x2,x3(x1x2x3)，所以由图象可知x1x22，0x31，af(x3)4x32，所以

2

x1x2a24x(2,0]．

x3

3

15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余

两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种.

【答案】156

【解析】

【分析】

先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两

者作差即可得到不同安排的方案数.

【详解】

安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有C1C1C42C22180种，

65

刘老师和王老师分配到一个班，共有C1C1A2224种，

43

所以18024156种.

故答案为：156.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，

可通过"正难则反"的思想进行分析.

16．在VABC中，a4，b5，c6，则cosA________，VABC的面积为________．

3

【答案】

4

【解析】

【分析】

157

4

利用余弦定理可求得cosA的值，进而可得出sinA的值，最后利用三角形的面积公式可得出VABC的面

积.

【详解】

由余弦定理得cosA

b2c2a25262423，则

sinA1cos2A7，

2bc

256

4

4

因此，VABC的面积为SVA