湖南省益阳市石笋中学高三数学理测试题含解析

湖南省益阳市石笋中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，是实数，和是函数的两个极值点，设，其中，函数的零点个数（

）A．8

B．9

C．10

D．11参考答案：B试题分析：,由题意,和是方程的两根,所以有,求得,所以,若令,则,考查方程的根的情况,因为函数的图象是连续不断的,所以在内有唯一零点,同理可以判断在内各有唯一的零点,所以得到方程的根有个；再看函数的零点,当时,有三个不同的根,且,而有三个不同的根,故函数有个零点.考点：1.函数极值的条件；2.函数零点存在定理；3.函数零点.【思路点晴】本题主要考查函数零点的个数,属于中档题.先由和是函数的两个极值点，得出和是方程的两根,求出.讨论方程的根的情况,最后考虑函数的零点情况.考查分类讨论思想,难度大.

2.函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：D考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．解答： 解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．3.已知为R上的可导函数，且均有′（x），则（

）A．B．C．D．参考答案：D略4.函数在区间上是增函数，且则（

）A．

1

B．

C．-1

D．0参考答案：A略5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3+2π C． D．+参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是长方体、圆柱、三棱锥的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高；判断圆柱的底面半径与高；判断三棱锥的高和底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是长方体、圆柱、三棱锥的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为2、1、2；圆柱的底面半径为1，高为2；三棱锥的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=2×1×2+π×12×2+××1×1×2=4++=+．故选：D．6.若函数有极值，则a的取值范围是（

）A.(－∞,－2) B.(－2,2) C.(－∞,－2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)参考答案：D,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得本题选择D选项.7.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A． B． C． D．参考答案：D所以有化简可得，可得。

8.设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数k的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点。数形结合求出的范围。详解：由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合。，综上，，选A.点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题。画出这两个函数的图象是解题的关键。

9.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（

）A．若则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B10.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是A．(－∞，2)

B．(0,3)

C．(1,4)

D．(2，＋∞)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则的取值范围为________；参考答案：12.函数的定义域为

.参考答案：13.将6位志愿者分成4组，其中有2个组各2人，另两个组各1人，分赴2012年伦敦奥运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有

种.（用数字作答）参考答案：108014.已知是定义在上的奇函数，且当时，则_________.参考答案：015.函数的递增区间为

。参考答案：令，则在定义域上单调递增，而，在上单调递增，所以函数的递增区间为。16.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是

_.参考答案：，∴是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵，∴，又函数在区间上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知，，即函数在处取得最大值，可得，∴，综上，可得．17.设集合，，，则实数的值为_______.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆C:，离心率，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，,直线m：.（1）求椭圆C方程；（2）直线l过点F与椭圆C交于P、Q两点，直线PA、QA分别与直线m交于M、N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.参考答案：解：（1）

得所求椭圆方程：

…………4分（2）当直线斜率存在时，设直线：，、直线PA:令，得，

同理

以MN为直径的圆：整理得：

①

得，

②将②代入①整理得：

令，得或当直线斜率不存在时，、、、以为直径的圆：也过点、两点综上：以MN为直径的圆能过两定点、

…………12分

19.（本小题满分13分）已知函数（）.（Ⅰ）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；（Ⅱ）若存在，使，求a的取值范围．参考答案：解：（I）

………….……………1分

根据题意，

…3分

此时，,则.

令

-+↘↗………………………….6分

∴当时，最小值为.………7分

（II）

①若上单调递减.

又

…………..10分

②若

从而在（0，上单调递增，在（，+上单调递减.

根据题意，

……………..............................13分

综上，的取值范围是.20.已知函数的最大值是1，其图像经过点。求的解析式；已知，且求的值。参考答案：（1）依题意有,则将点，而故（2）依题意有，而略21.某校对高一年级学生暑假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合计MN（1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并估计该校高一学生参加社区服务超过20次的概率；（2）试估计该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数．参考答案：【考点】众数、中位数、平均数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）利用频率=，结合频率分布统计表和频率分布直方图能求出频率分布表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并能估计该校高一学生参加社区服务超过20次的概率．（2）中位数位于区间[15，20），设中位数为15+x，则0.125x=0.25，由此能求出该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数．【解答】解：∵[10，15）组的频数为10，频率为0.25，∴，解得M=40．∴n=，p=1﹣0.25﹣0.625﹣0.05=0.075，∴a==0.125．∴该校高一学生参加社区服务超过20次的概率为：0.075+0.05=0.125．（2）∵次数位于[15，20）的频率为0.625，∴中位数位于区间[15，20），设中位数为15+x，则0.125x=0.25，解得x=2，∴该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数为17次．【点评】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．22.（13分）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.

（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；

（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.参考答案：解析：（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（