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三面角余弦定理数学术语01证明第二形式目录02基本信息在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：cosBOC=cosAOBcosAOC+sinAOBsinAOCcosOA或cosOA=(cosBOC-cosAOBcosAOC)/sinAOBsinAOC文字叙述为：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所对面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以这两个面角的正弦之积。根据这个定理，结合三正弦定理就可以求直线和平面所成角或二面角。证明方法二方法一证明方法一三面角余弦定理在OA上取一点D，过D作OD的垂线DE、DF分别交OB、OC于E与F。接着使用向量证明。考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF。易知：cos∠OA=DE·DF/(DEDF)sin∠AOB=DE/OEsin∠AOC=DF/OFcos∠AOB=OD/OEcos∠AOC=OD/OFcos∠BOC=OE·OF/(OEOF)；则实际是要证明：DE·DF/(DEDF)DE/OEDF/OF+OD/OEOD/OF=OE·OF/(OEOF)整理得(DE·DF+OD²)/(OEOF)=OE·OF/(OEOF)方法二三面角余弦定理将三面角O-ABC放入单位球中，并设三面角与球面的交点分别为A、B、C。过A作球面的切平面，射线OB、OC与切平面交点为B'、C‘。则：∠OA=∠B'AC'=A，AB'=tan∠AOB=tanc，AC'=tan∠AOC=tanb，OB'=1/cos∠AOB=1/cosc，OC'=1/cos∠AOC=1/cosb在△AB'C'中，由余弦定理得B'C'²=tan²c+tan²b-2tanctanbcosA在△OB'C'中，由余弦定理得B'C'²=1/cos²c+1/cosb-2cos∠BOC/(cosccosb)∴sin²c/cos²c+sin²b/cos²b-2sincsinbcosA/(cosccosb)=1/cos²c+1/cos²b-2cos∠BOC/(cosccosb)两边乘以cos²ccos²b得sin²ccos²b+sin²bcos²c-2sinccoscsinbcosbcosA第二形式证明第二形式第二形式第二形式在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：证明将三面角O-ABC的顶点与单位球的球心重合，并设三边与球面分别交于A、B、C。根据球面三角形的定义，在球面△ABC中，∠AOB=c，∠BOC=a，∠AOC=b；∠OA=A，∠OB=B，∠OC=C。则余弦定理的第一形式可化为：余弦定理的第二形式可化为：由于球面三角形与其极对称三角形之间存在定量的边角关系，因此不妨设球面△ABC的极对称三角形为△A'B'C'，则在△A'B'C'中，由余弦定理的第一形式得

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