湖南省衡阳市 衡东县第二中学高三数学理测试题含解析

湖南省衡阳市衡东县第二中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

▲

)A．若l∥α，m?α，则l∥m

B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

D．若l⊥m，m?α，则l⊥α参考答案：C2.若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，0）∪（0，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）参考答案：B【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．3.已知的最小值为n，则二项式展开式中常数项是(

）

A．第10项

B．第9项

C．第8项

D．第7项

参考答案：B略4.已知F是抛物线的焦点，过点F且斜率为的直线与抛物线相交于A、B两点，则的值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：5.若集合,,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知变量满足条件则的最大值是(

)A．2

B．5 C．6 D．8参考答案：C略7.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是的离心率e等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.

给出计算

的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（

）．

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.定积分的值为（

）

参考答案：C10.若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是()A．(，b)

B．(10a,1－b)C．(，b＋1)

D．(a2,2b)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设sin，则

.参考答案：12.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要

个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．参考答案：24【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6∴V四棱锥P﹣ABCD=×6×6×6=72∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2413.已知函数，若函数有两个零点，则实数b的取值范围是

.参考答案：-1<b<014.函数f（x）=，则f()=

；方程f（﹣x）=的解是

．参考答案：﹣2；﹣或1【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式求出函数值，通过讨论x的范围，得到关于x的方程组，解出即可．【解答】解：f（）=log2=﹣2，由方程f（﹣x）=，得或，解得：x=1或x=﹣，故答案为：﹣2；﹣或1．15.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积为__________cm3，最长的棱长为__________cm.参考答案：16

6【分析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积公式，求得几何体的体积，并计算出最长的棱长.【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出原图如下图所示几何体.由三视图可知，四边形是直角梯形，且平面，，所以.，为三个直角三角形的公共直角边，所以，故最长的棱为.故答案为：16；6.【点睛】本小题主要考查根据三视图求原图的体积和最长的棱长，考查空间想象能力，属于基础题.16.设数列的前项和为，且，为等差数列，则的通项公式____________.参考答案：17.已知（其中a、b为非零实数）与圆相交于A、B两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为_________.参考答案：1

c===1【知识点】微积分基本定理B13∵直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d==，化为2a2+b2=8．∴=（）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+4）=1，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴的最小值为1．故答案为：1【思路点拨】先求出c，再由直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d=，可得2a2+b2=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=k（x﹣1）﹣2lnx（k＞0）．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；（2）设函数g（x）=xe1﹣x（其中e为自然对数的底数），若对任意给定的s∈（0，e），均存在两个不同的ti∈（）（i=1，2），使得f（ti）=g（s）成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知：当f（x）=0，则k（x﹣1）﹣2lnx=0，即（x﹣1）=lnx，若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，则直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即可求得实数k的值；（2）g（x）=xe1﹣x，求导知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，求得函数的单调递增区间，g'（x）＜0，求得函数的单调递减区间，求得其值域，对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，根据函数的单调性求得函数的最小值，h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，求导，利用导数求得其单调区间及最大值，则，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：（1）由于f（1）=0，则由题意，f（x）有且只有一个零点x=1，令f（x）=0，k（x﹣1）﹣2lnx=0，则（x﹣1）=lnx若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即k=2，综上，实数k的值为2．（2）由g（x）=xe1﹣x可知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，解得：x≤1，g'（x）＜0，解得：x＞1，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，从而g（x）在（0，e）上的值域为（0，1）；则原题意等价于：对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，，由于f（x）在上不单调，则，且f（x）在上单调递减，在上单调递增，则函数f（x）的最小值为，记h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，则h′（x）=﹣1+=，由h′（x）＞0解得：x＜2，从而函数h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，最大值为h（2）=0，即；另一方面，由；综上，实数k的取值范围为．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，导数与不等式的综合应用，考查构造法，考查计算能力，属于难题．19.（本题满分12分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．参考答案：20.

徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？参考答案：T

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（1）若，即时则当时，全程运输成本y最小.10分（2）若，即时，则当时，有.。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…….14分综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为千米/时；当时行驶速度应为v=100千米/时。……