线性变换和特征值

线性变换和特征值第1页，课件共65页，创作于2023年2月6.1n维空间的线性变换

定义6.1设X,Y是两个非空集合。若对于X

中的任一元素x,按照一定的对应法则T，总有Y中一个确定的元素y与之对应，则称T

为从集合X到集合Y的映射，记为或，称y是X在映射T下的像，x是y在映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作。第2页，课件共65页，创作于2023年2月

定义6.2设是实数域上的向量空间，

T是一个从到的映射，若映射T满足

1)2)

则称T为从到的线性映射，或称线性变换。线性映射就是保持线性组合的映射。第3页，课件共65页，创作于2023年2月例6.1

试证所有矩阵相乘的关系式即都是的线性映射。证：利用矩阵的数乘及乘法运算，是的映射。显然有及即T是的线性映射。第4页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.2向量空间V中的恒等变换是线性变换。

证明：设，则有所以恒等变换E是线性变换。第5页，课件共65页，创作于2023年2月6.2方阵的特征值和特征向量6.2.1特征值和特征向量的定义和计算定义6.3

设是阶方阵，若存在数和维非零列向量，使得

（6-1）成立，则称数为方阵A的特征值，称非零向量为方阵A对应于特征值的特征向量。将（6-1）式变形为

(或)（6-2）

第6页，课件共65页，创作于2023年2月

满足这个方程的和就是我们要求的特征值和特征向量。（6-2）式是含个方程的元齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是

（6-3)

记作（6-4）

称为方阵A的特征多项式，方程称为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程的根。由于是的次多项式，所以方程在复数域内有个根（重根按重数计算）。第7页，课件共65页，创作于2023年2月

矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤：

第一步：求特征值。先通过行列式（6-4）的计算，写出其特征多项式，这一步的难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需要很大的计算工作量；

第二步：并进行因式分解然后求出特征方程的全部根这就是A的所有特征值；

第三步：把每个特征值分别代入方程，求齐次线性方程组的非零解，它就是A对应于特征值的一个特征向量（不是惟一的）。第8页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.4求矩阵的特征值和特征向量。

解：

A的特征多项式所以A的全部特征值为对于特征值解齐次线性方程组，即可得它的一个基础解系第9页，课件共65页，创作于2023年2月

所以都不为零）是A对应于特征值的全部特征向量。对于特征值，解齐次线性方程组，得它的一个基础解系，所以是A对应于特征值8的全部特征向量。第10页，课件共65页，创作于2023年2月6.2.2方阵的特征值和特征向量的性质

性质1

阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值。性质2设是矩阵A的个特征值，则

1)2)

称为矩阵A的迹，记为第11页，课件共65页，创作于2023年2月

性质3

设为方阵A的特征值，则

1）当A可逆时，是的特征值

2）是A的伴随矩阵的特征值

3）是的特征值；进而有矩阵A的次多项式的特征值为第12页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.5设矩阵

1)求及的特征值；

2)进一步求矩阵的特征值。

解：

1）由A的特征方程可得A的全部特征值为1，2，-1。的特征值为，即-2,13,-8。第13页，课件共65页，创作于2023年2月2）

解法1：先计算，令，求出特征方程的根即可。

解法2：因为所以A可逆，为对应于A的特征值的特征向量，则又

所以

从而矩阵的特征值为，即第14页，课件共65页，创作于2023年2月

定理6.1设为方阵A的互不相同的特征值，分别为对应于特征值的特征向量，则线性无关。推论矩阵A的个互不相同特征值所对应的组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。第15页，课件共65页，创作于2023年2月6.2.3特征值和特征向量的MATLAB求法

MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向量各步骤的函数。这三个步骤是：（1）用f=poly(A)可以计算方阵A的特征多项式系数向量f；（2）用lamda=roots(f)可以求特征多项式f的全部根lamda（表示为列向量）；（3）用函数p=null([lamda*I-A])直接给出基础解p,将n个特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩阵。第16页，课件共65页，创作于2023年2月

取例6.4为典型，解题的程序ea604为

A=[3,2,4;2,0,2;4,2,3];f=poly(A), r=roots(f),r=real(r)B1=r(1)*eye(3)-A;B1=rref(B1,1e-12),p1=null(B1,‘r’)B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,‘r’)B3=r(3)*eye(3)-A;p3=null(B3,‘r’)第17页，课件共65页，创作于2023年2月

程序运行的结果为：

f=1.0000-6.0000-15.0000-8.0000(特征多项式系数向量)

r=8.0000(三个特征根即特征值,后两个是重根)

-1.0000+0.0000i (微小虚数可用r=real(r）去除)

-1.0000-0.0000i第18页，课件共65页，创作于2023年2月

实际上MATLAB已经把求特征根和特征向量的步骤集成化，其中也包括了处理计算误差的功能，所以一条命令就解决问题了。这个功能强大的子程序名为eig(特征值英文是eigenvalue,特征向量英文是eigenvector)，调用的形式是：

[p,lamda]=eig(A)

输出变元中的lamda是特征值，p是特征向量。把例6.4的系数矩阵A代入，即可得到：第19页，课件共65页，创作于2023年2月6.3相似矩阵与矩阵的对角化

定义6.4

设A和B是阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得，则称矩阵A与B相似，把A变成的变换称为相似变换，可逆矩阵P被称为把A变成B的相似变换矩阵。相似矩阵具有以下性质。设矩阵A与B相似

1)2)第20页，课件共65页，创作于2023年2月3)A与B的迹相同

4)若A可逆，则B必可逆，且也相似定理6.2设矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值.

推论若阶方阵A与对角矩阵相似，则是矩阵A的全部特征值。此时，必存在可逆矩阵P，使得，称为把矩阵A对角化，也称矩阵A可对角化。第21页，课件共65页，创作于2023年2月

定理6.3阶方阵A可对角化的充分必要条件A是有个线性无关的特征向量。证明：

必要性设阶方阵A可对角化，则存在可逆矩阵使，从而即于是有，所以是方阵A的特征值，是对应于特征值的特征向量。由于矩阵P可逆，det(P)0，必线性无关。第22页，课件共65页，创作于2023年2月

充分性设是A的个特征值，是与之对应的个线性无关的特征向量，令，则有即所以方阵A可对角化。推论若阶方阵A的特征值互不相同，则方阵A一定可对角化。第23页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.7判断矩阵能否对角化？解：由得A的特征值为求得对应的特征向量，再求对应的特征向量。把作行阶梯变换，得到相当于方程组它只有一个线性无关的特征向量,即A总共只有两个线性无关的特征向量，所以A不能对角化。第24页，课件共65页，创作于2023年2月

用MATLAB解此题时，要检验特征向量组的秩，判断独立的特征向量数。故程序如下：

A=[-1,1,0;-4,3,0;1,0,2],[p,lamda]=eig(A),rp=rank(p)运行的结果是：由于特征向量组的秩为2，说明只有两个线性无关的特征向量，因此不能对角化。

第25页，课件共65页，创作于2023年2月6.4实对称矩阵的对角化

定理6.4实对称矩阵的特征值必为实数。定理6.5

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交。证明：

设A为n阶实对称矩阵，是矩阵A的两个不同的特征值，是矩阵A对应的特征向量，即因为于是由于，所以，即正交。第26页，课件共65页，创作于2023年2月

定理6.6

设A为n阶对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得这里是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。推论1设A为n阶实对称矩阵，是A的重特征值，则A必有个对应于特征值的线性无关的特征向量.

推论2

实对称矩阵一定可对角化.

推论3n阶实对称矩阵A，存在n个正交单位特征向量。第27页，课件共65页，创作于2023年2月n阶实对称矩阵对角化的步骤第一步：解特征方程，求出A的全部互不相等的特征值它们的重数依次为

第二步：求出矩阵A的特征值对应的特征向量，得到个线性无关的特征向量；第三步：将每个特征值对应的个线性无关的特征向量正交化、单位化，这样得到n个两两正交的单位特征向量；第四步：令，P是正交矩阵，使得。必须注意：中对角元素的排列次序与P中列向量的排列次序要一致。第28页，课件共65页，创作于2023年2月例6.10

设解：

当时，，即解得单位特征向量可取为第29页，课件共65页，创作于2023年2月

解得为任意常数。基础解系中的两个向量恰好正交,只需单位化,可得两个单位正交的特征向量第30页，课件共65页，创作于2023年2月

从而得到正交矩阵有本例用MATLAB解时的程序为：A=[4,0,0;0,3,1;0,1,3];[p,lamda]=eig(A)程序运行的结果与笔算的相同，为：

第31页，课件共65页，创作于2023年2月6.5二次型及其标准形

6.5.1二次型的概念

定义6.5含有n个变量的二次齐次函数：

(6-10)

称为n元二次型，简称二次型。为实数时，称为实二次型；为复数时，称为复二次型。本章书仅讨论实二次型。第32页，课件共65页，创作于2023年2月

令，则二次型（6.10）可写成用矩阵形式表示为（6-11）其中第33页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.13写出下列二次型的矩阵

解：由已知的二次型系数，得矩阵元素为：

故得的矩阵为第34页，课件共65页，创作于2023年2月6.5.2二次型的标准形及惯性定理

定义6.6

若秩为r的二次型通过可逆线性变换x=Cy

可化为只含平方项的二次型，即

(6-12)

那么，此二次型称为的标准形，标准形中所含平方项的个数等于二次型的秩.

例6.15设二次型

分别作下列二个可逆线性变换，求新二次型.第35页，课件共65页，创作于2023年2月1)=2)解：

1）将线性关系直接代入并化简、整理

第36页，课件共65页，创作于2023年2月2）由于因此，此例表明：二次型的标准形不是唯一的。第37页，课件共65页，创作于2023年2月*实二次型的规范形的定义：对秩为r的实系数二次型，设它通过可逆线性变换x=Cy化为下面的标准形：其中()>0，若再作如下的可逆变换：

则上面的标准形可进一步化为如下的形式：这个二次型称为实二次型的规范形，显然它是唯一的.第38页，课件共65页，创作于2023年2月

定理6.7（惯性定理）设秩为r的实二次型，通过可逆线性变换，可化为如下的标准形：其中>0()，则数p称为实二次型的正惯性指数，q=r-p称为负惯性指数.

惯性定理是指：实二次型的标准形中正系数的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数也是唯一确定的，它就等于负惯性指数。第39页，课件共65页，创作于2023年2月6.5.3化实二次型为标准形的方法

1）正交变换法

正交变换法的具体步骤与求特征值和特征向量相仿第一步：写出二次型的矩阵A,并由特征方程求出全部互不相同特征值第二步：求出A的对应于的特征向量，即求齐次线性方程组的基础解系。如果某些是重根，则将其对应的特征向量正交化、单位化。这样便可得到n个两两正交的单位特征向量第40页，课件共65页，创作于2023年2月

第三步：令，则P是正交矩阵，二次型通过正交变换x=Py化为标准形上述步骤也可用eig函数来完成。其调用格式为：

[P,lamda]=eig(A)P和lamda将分别给出特征向量组（即正交矩阵）和特征向量。此外MATLAB中还提供了一个用以计算正交变换矩阵的函数Rorth(A)。它的结果和eig函数算出的特征向量矩阵是一样的，只是排列的顺序不同.第41页，课件共65页，创作于2023年2月2）配方法

如果二次型中含有变量的平方项，则先把含有的各项集中，按配方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项.

如果二次型中不含平方项，但某个则先作一个可逆线性变换：使二次型出现平方项，再按上面方法配方。第42页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.16

设令A的二次型等于常数，这是一个椭圆的方程，其图形如图6.1(a）所示。现要求将它变为标准形并画出图形。第43页，课件共65页，创作于2023年2月图6.1两种二次型经坐标变换到主轴方向

第44页，课件共65页，创作于2023年2月

（1）正交变换法

如果做一个基坐标的旋转变换，让坐标轴转过45度，这个椭圆的主轴就与新的坐标方向,相同，如图6.1（b）所示，其方程将变为标准形椭圆方程。从解析几何知此变换关系为：

cosθsinθ

sinθcosθ写成矩阵形式yPx

其中第45页，课件共65页，创作于2023年2月

或取其逆变换，写成xRy

其中用此变换式代入二次型的表达式，有本题的数据是45度，得到第46页，课件共65页，创作于2023年2月

便有及所以从几何图形上寻找二次型主轴的问题，在线性代数中就等价于：使矩阵A经过正交变换R实现对角化。（2）用配方法第47页，课件共65页，创作于2023年2月

令得到它所对应的变换图6.1中的（c）和（d）表示了对另一种双曲线二次型的坐标变换，它的方程为：第48页，课件共65页，创作于2023年2月

图6.2两种对角化方法的不同变换：正交变换法，图形相似（左），配方法，图形崎变（右）第49页，课件共65页，创作于2023年2月6.5.4二次型的正定和负定

图6.3二次型曲面的几种类型第50页，课件共65页，创作于2023年2月

一般的，二元变量的二次圆锥曲线在非退化（指它的二次项系数不全为零）情况下，它的类型决定于其二次项的对称矩阵A的特征值。具体如下：A的特征值

对应圆锥曲线的类型

驻点是否极值点

(正定或负定)

椭圆极值点

(不定)双曲线鞍点（费极值点）

或(半正定)抛物线极值线第51页，课件共65页，创作于2023年2月

定义6.8

若对任给定的

1）恒有，则称为正定（负定）二次型，此时对称矩阵A称为正定（负定）矩阵；

2）恒有，则称为半正定（半负定）二次型，此时对称矩阵A称为半正定（半负定）矩阵。

3）其它的二次型称为不定二次型。定理6.8n元实二次型正定的充要条件是它的标准形中的n个系数全为正，或的正惯性指数为n。

第52页，课件共65页，创作于2023年2月

证明：

设经过可逆线性变换化为标准形，充分性若，对任意有，所以必要性设为正定二次型。假设有,取时，从而，这与是正定的相矛盾。所以推论实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全大于零。第53页，课件共65页，创作于2023年2月

定义6.9设为n阶方阵，依次取A的前k行与前k列所构成的行列式称为A的k阶顺序主子式。定理6.9

设n元实二次型为正定，则下列结论等价：

1）对任意n维非零向量

2）的标准形中的n个系数全为正；

3）实对称矩阵A的特征值全大于0；

4）正惯性指数p=n；

第54页，课件共65页，创作于2023年2月5）实对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于0，即

结论5）称为霍尔维茨定理。类似地，n元实二次型为负定，则下列结论等价

1）的标准形中的n个系数全为负

2）实对称矩阵A的特征值全小于03）负惯性指数q=n4）实对称矩阵A的各阶顺序主子式中，奇数阶的全小于0，偶数阶的全大于0第55页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.19判断二次型的负定性.

解：

二次型的矩阵为由可知为负定二次型注:本题也可通过判断-A为正定矩阵来解决第56页，课件共65页，创作于2023年2月

例6.20

求的取值，使得二次型为正定二次型.

解：二次型的矩阵为由于为正定二次型，故所有顺序主子式全大于零，即解出，即为所求.第57页，课件共65页，创作于2023年2月6.6奇异值分解的简介

定义6.10设矩阵，若存在非负实数和n维非零向量m维非零向量v使得

(6-13)

则称为A的奇异值，u和v分别称为A对应于奇异值的右奇异向量和左奇异向量。

由式（6-13）可得

(6-14)

(6-15)第58页，课件共65页，创作于2023年2月

定理6.10（矩阵的奇异值分解）

设A是m×n矩阵，设是A的奇异值，则，其中U是m阶正交矩阵，V是n阶正交矩阵，

，而此式也可以表示为：

(6-16)

其中，是矩阵U的第i