北京延庆县沈家营中学2021年高三数学文期末试卷含解析

北京延庆县沈家营中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知若，称排列为好排列，则好排列的个数为参考答案：C略2.已知等差数列中，，记，S13=(

)A．78

B．68

C．56 D．52

参考答案：D略2.设全集，集合，，则（

）A．(－5,－2]

B．[4,5)

C．(－5,－2)

D．(4,5)参考答案：A4.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点=λ，若?≥?，则λ的最大值是（）A． B． C．1 D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件运用向量的数量积的坐标表示和二次不等式的解法，即可求出λ的最大值．【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），=（﹣1，1），由=λ，∴λ∈[0，1]，=（﹣λ，λ），=（1﹣λ，λ），=﹣=（λ﹣1，1﹣λ），若?≥?，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：1﹣≤λ≤1+，∵λ∈[0，1]，∴λ∈[1﹣，1]．则λ的最大值是1．故选：C．5.已知点是双曲线的右支上一动点，，分别是圆和的动点，则的最大值为（

）A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：D略6.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.在平面直角坐标系中，已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足=(a+b).曲线C={P|=acos+bsin,0＜2},区域={P|0＜r||R,r＜R}．若C∩为两段分离的曲线，则（A）1＜r＜R＜3

（B）1＜r＜3≤R（C）r≤1＜R＜3

（D）1＜r＜3＜R参考答案：A8.若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．120参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．【解答】解：∵Cn°+Cn1+…+Cnn=2n=64，∴n=6．Tr+1=C6rx6﹣rx﹣r=C6rx6﹣2r，令6﹣2r=0，∴r=3，常数项：T4=C63=20，故选B．【点评】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．9.已知直线与，若，则

（

）A．2

B．

C．

D．

参考答案：C因为，得当时两直线重合．10.已知数列中，，，若利用如图所示的程

序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有三张卡片，分别写有1和3，1和5，3和5.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是3”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是8”，若这三个人的说法都与事实相符，则甲的卡片上的数字是_______.参考答案：12.在的展开式中的系数为

．参考答案：－8013.在等差数列中，已知，则_________.参考答案：2014.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，记切点分别为，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的离心率

▲；参考答案：略15.若函数，则 .参考答案：2

16.已知x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：考点：函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=0得=2a，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．解答： 解：由得=2a，①若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知＜a≤，②若x＜0，设g（x）=，则当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此时g（x）=﹣，此时g（x）≥1，当﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜2，当﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知≤a＜，综上：＜a≤或≤a＜，故答案为：．点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．17.已知复数若为实数，则实数的值为_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，四棱锥中，⊥底面，

⊥．底面为梯形，，.，点在棱上，且．（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的大小．参考答案：解析：证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴．又AB⊥BC，，∴⊥平面．

2分又平面，∴平面⊥平面．

4分

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．

5分在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，∴．又AC⊥AD，故为等腰直角三角形．∴．连接，交于点，则

7分在中，，∴又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．

9分

（Ⅲ）在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴．在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故．∴就是二面角A—CE—P的平面角．

12分在中，设，则，，，，由，可知：∽，∴代入解得：．在中，，∴．

13分即二面角A—CE—P的大小为．

14分解法二：（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．设，则，，，，.5分设，则，，∴，解得：．．连结，交于点，则.7分在中，，∴．又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．

9分（Ⅲ）设为平面的一个法向量，则，∴解得：，∴．

11分设为平面的一个法向量，则，又，，∴解得：，∴．

12分．

13分∴二面角A—CE—P的大小为．

14分19.（本小题满分12分）已知函数（其中、），是奇函数（1）求的表达式。（2）讨论的单调性，并求在上的最值。参考答案：解：（1） 由为奇函数可得：令，当

时， 当 时， 当

时， 当上时，为减函数；

当上时，为增函数；

当上时，为减函数当上时，的最大值，最小值只能在，，处取得。又，，因此，，

略20.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．21.已知集合（1）能否相等？若能，求出实数的值，若不能，试说明理由？（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；参考答案：略22.如图所示，三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为4的正三角形，△BCD是顶角∠BCD=120°的等腰三角形，点P为BD的上的一动点.（1）当BD=3BP时，求证：AP⊥BC；（2）当直线AP与平面BCD所成角为60°时，求二面角P-AC-B的余弦值.

参考答案：（1）证明；取中点为，连接，，由为正三角形知，……………………2分在中，可得，中，由余弦定理可得，从而，即，

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