地球流体力学第三章

第三章摩擦和粘性流Friction

and

ViscousFlow摩擦力一般来说相对coriolis力和压强梯度力要小得多，但有其非常重要的方面：非均匀的太阳辐射驱动的大气运动需要耗散机制来维持其平衡运动；海洋的风生环流的驱动需要摩擦；摩擦的耗散机制与惯性运动的守恒性截然不同。§3.1

湍流雷诺应力Turbulent

Reynolds

Stresses)2单位质量流体所受的分子粘性力为：)32m3nV

+

(

VV

+

(

V对于空气和水这样的牛顿流体，单位体积流体所受的分子粘性力为：n

=

m

/

r运动学粘性系数对于水：n

=10-6

m2

s-1对于空气在时：a1000

hP-5

2

-110

m

sn

=1.4

·fUnU

/

L2

n=fL2Ekman数:

E

=海洋：E

~10-14

大气：E

~10-13若取L

=

10

6

m,

f

=

10

-4

s

-1故分子粘性力相对coriolis力是非常小的量可以认为大尺度能量是通过小尺度的湍流运动（最终通过粘性）起到耗散作用。即大尺度运动首先通过能量串级传输过程将能量传给湍流，湍流可以看作是大尺度运动的能量耗散项（但也有小尺度运动向大尺度供给能量的过程（负粘性））。<u

>=0对于均质不可压缩流体设：u

=<u

>+u<>表示平均值¶z¶t

¶x

¶y

¶

¶

¶ ¶

+(<u

>

+u¢)

+(<v

>

+v¢)

+(<

w

>

+w¢)

(<u

>+u¢)r

¶x

r

¶x-

f

(<v

>

+v¢)=

-

1

¶<

p

>-

1

¶p¢注意连续方程：¶<u

>

+

¶<

v

>+

¶<

w

>

=

0¶x

¶y

¶z¶u

¶u

u

¶u

v

¶u

w+v¢

+w¢

=

+

+¶x

¶y

¶z

¶x

¶y

¶z¶u

¶u\

u¢¶u

+

¶v

+

¶w

=

0¶x

¶y

¶zX方向的动量方程成为：¶<

u

>+<

u

>

¶<

u

>+<

v

>

¶<

u

>+<

w

>

¶<

u

>¶t

¶x

¶y

¶zr

¶x

¶x

¶y

¶z-

f

<

v

>=-

1

¶<

p

>

-

¶<

u¢u¢>

+

¶<

u¢v¢>

+

¶<

u¢w¢>多了后三项<uu

>

<uv

>

<uw

>扰动动量通量xy<uu

><uu

><uv

><uv

>¶<u

u

>

如图所示¶x¶t¶<u

>所以

<

0仿照分子粘性力，记：rrzzVtyyH=¶<

w

>

tw¢w¢=r¶x¶<

v

>¶y¶<

u

>

=

txx-

<

>=

2A-

<

v¢v¢>=

2AH-

<

u¢u¢>=

2At

ttyz

tzytxy

tyxH=

=¶z

r

r+AV¶y-<v¢w¢>=AHxz

=

zx=+AV¶<w>

¶<u

>¶x

¶z

r

r¶<w> ¶<v

>-<u¢w¢>=AH=

=r

r¶y+¶x¶z¶<u

>

¶<v

>¢¢-<uv

>=A去掉<>若AH

=

AV

=

A则为Navier-Stokes方程但是AH和AV

很难确定大气中地面附近AV~

10m2

s-1

随离地面而减小HA

~

105

m2

s-1（更难确定）海洋中~

10-1

m2

s-1A

~

10-4VA

~

10

~

104

m2

s-1HVHVHVH(3.1c)(3.1b)(3.1a)222222¶z2+

A+¶x

¶y

¶2

w-

g

+

A¶w

¶w

¶w

1

¶p+

u

+

v

+

w

=

-¶z2¶2

w

¶2

w+

A¶2v

+¶x

¶y

¶2v+

A1

¶p+

u

+

v

+

w

+

fu

=

-¶z2¶2v¶2u+

A¶2u

+¶x

¶y

¶2u+

A1

¶p+

u

+

v

+

w

-

fv

=

-¶t

¶x¶v

¶v¶u

¶u

¶u

¶u¶y

¶z¶v

¶v¶t

¶x

¶y

¶z¶w¶t

¶x

¶y

¶z

r

¶zr

¶yr

¶x§3.2

Ekman层The

Ekman

LayerEkman层是指垂直于旋转轴的刚面之上，湍流摩擦力起重要作用的流体层。UzxgW上边界条件：下边界条件：zfi

¥

:

u

=

U

,

v

=

w

=

0z

=

0:

u

=

v

=

w

=

0仅在此处考虑了分子粘性作用大气情形¶prf

¶y注意U应该满足基本方程，即U

=-1设u

=u(z)v

=v(z)w

=w(z)即运动是定常、水平均匀的。这种假设是可以接受的，因为上下边界条件都没要求运动必须有水平变化。fi

w(z)=

0¶zfi

¶w

=

0

¶u

+

¶v

+

¶w

=

0¶x

¶y

¶zVVfu

=

- +

Ar

¶zr

¶yr

¶x0

=

-

1

¶p

-

g1

¶p-

fv

=

-

1

¶p

+

A

¶

u¶z2¶2v¶z22(

)¶

(¶p)

=

¶

¶p

=0¶x

¶z

¶y

¶z水平压强梯度力与深度无关利用上边界条件得：1

¶p

1

¶pfU

=- =

0r

¶y

r

¶x得方程组：V

¶z2fu~

=

A¶z2¶2v¶2u~-

fv

=

AV其中u~

=u

-U

)~4+

2

u

=

0f

2dz

Ad

4u~V4个根：=fE2

AVr1,

23

,

4

d

Er

=

–

(1

-

i

)/

d=

–(1

+

i

)/

d

EEEsin

(z

/

d

)cos

(z

/

d

))v

=

Ue

-

z

/

d

E利用边条件得解：

u

=

U

1

-

e

-

z

/

d

E风矢尖端随高度的变化为螺旋线（Ekman螺线）

z

=dE时为e折尺度\dE为Ekman层的厚度速度场指数地趋于自由大气的地转风当z

fi

¥时Ekman层是旋转与粘性共同作用下流体运动的一个特殊的层因为无旋流体

f

=0:d

=

nL/U而dE与U无关，只与AV

和f有关。E则d

~

1400mVf

~

10-4

s-1取A

~

10m2s-120.40.30.20.10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.UvUu.

1.

2.

5.

71

.1

.52

.2

.

53

.

5zd

E450

zfi

0

ulimv

=1

当z

=pdE时是离开地面后v=0的第一个高度，称为梯度风高度。这时风速与风向与地转风都很接近。zd

EvUuU当z

/dE

=p

/4时v最大摩擦的作用使得在摩擦层中空气微团有跨越等压线从高压到低压的运动(v

>

0)所以气压场对空气微团做功气压场对单位面积整个气柱中的做功率为：v2

AV

f22020rfU

2d

rU

2E=e

sin(z

/

dE

)dz

=dz

=

rfU¶p¶yW

=

-¥-z

/

dE¥抵抗摩擦所消耗的功率：vdz

dzVdz

=

-W¶p¶y

¶y

¶p

¶x

+v dz

=¥¥

¶p¥002

2d

2u d

2v

0+

rfuv dz

=-rfv

u

+rA

u即摩擦消耗的功率等于压力场做功率摩擦层中压力场做功的能源是Ekman层以上的地转运动的动能下传2AV

f单位面积整个气柱中的地转运动动能为：K

=

rDU

2

/

2Ekman层消耗动能K的时间（又称旋转减弱时间）：T

=K

/W

=D/Vf

~

10-4

s-1

则T

~

105

s取D

~

104

m

A

~

10m2

s-1单位面积整个气柱的非地转运动引起的体积通量（Ekman通量）ME为：[

(](dzeEEEE

-

i

+

j

)==

-Ui

u

+

jv

dzM

E

=

(

)¥¥2i

cos

z

/~00Udd

)-

j

sin(z

/

d

)-z

/

d¥¥=

1/

200e

cos

xdxe

sin

xdx

=-x-x地面施加给大气的摩擦力为：iEEV

(

+

)i

j(i

+

j

)=

-=

-V

j

¶z

¶z

¶u

+

¶v

2

z

=0

z

=0rfUddrA

Ut

=

-rAErf=

t

·

k即MxyEMt注意ME与AV

无关，即与湍流参数化的细节无关。§3.3

边界层理论Boundary-Layer

TheoryHVHVH(3.1b

)(3.1a

)22222

¶2

w

¶2

w+

+

A¶x

¶y

2

V

¶z

2

¶2

w1

¶p¶w¶w

¶w+

u

+

v

+

w

=

-

-

g

+

A¶t

¶x

¶y

¶z¶z

2+

A¶2

v

+¶x

¶y

¶2

v+

A¶y

¶z+

v

+

w

+

fu

=

-¶v

¶v

¶v¶x+

u¶t¶w¶z

2¶2

v¶2

u+

A¶2

u

¶x

¶y+

A

+1

¶p

¶2

u¶y

¶z¶x+

u

+

v

+

w

-

fv

=

-¶t¶v¶u

¶u

¶u

¶ur

¶zr

¶yr

¶x1

¶p(3

.2

c

)2(3

.2

b

)(3

.2

a

)22222

E2

¶z

2

+

V

H

¶

2

v

E

¶

2

v

+¶x

¶y

2

¶

2

v¶z¶p¶z

¶w

¶y¶w¶x¶w

¶t

¶w2

¶z

2

+

V

¶

2

v

E

¶

2

v+¶x

¶y

2+

H

¶y

2

+

u

=

-¶z

+

w¶y+

v¶x+

u

¶t2

¶z

2

+

V

+¶x

¶y

2E

¶

2

u

¶

2

u

E

¶

2

u+

H

¶x

2¶p

E

¶

2

v¶v

¶v¶z

¶y¶v¶x¶v+

u

+

v

+

w

-

v

=

-

¶t

¶u

¶u

¶u

¶u

¶pd

e

+

u

+

v

+

w

=

-

+

de

e

将以上边界层方程组无因次（量纲）化，取p

=-rgz

+rfUL

p(3.1c

)去掉撇号：fL2D

U2

AH

2

AV(水平Ekman数)EH

=(垂直Ekman数)EV

=fD2e

=

d

=fL

L无因次的连续方程：(3.3)¶u

+

¶v

+

¶w

=

0¶x

¶y

¶z另外还要满足边界条件注意E1/2

=d

/DV

E对于每一个变量例如：u

=u(x,y,z,t,e,d,EV

,EH

)展开：u

=

u0

(x,

y,

z,

t

)+

D(e,d,

EV

,

EH

)u1

(x,

y,

z,

t

)+

...其中D是小参数，是e、d、EV

和EH的函数()0

0

0¶u

/

¶x

+

¶v

/

¶y

+

¶w

/

¶z

=

0

(3.5)(3.4a

)(3.4b)(3.4c)代入方程(3.2)和(3.3)o

1

阶近似：u0

=

-¶p0

/

¶yv0

=

¶p0

/

¶x0

=

¶p0

/

¶z=

00

=

0¶z¶w

速度场不随深度变化，显然只是内区解。由于在边界层的法向各要素的梯度很大，因此在边界层内法向坐标的尺度应该改变，使得摩擦项的作用在摩擦边界层中得到体现。=

0¶u0

=

¶v0¶z

¶z¶u0

+

¶v0¶x

¶y0

V

H

1=uˆ

(x,

y,x,t)+D(e,d,

E

,

E

)uˆ

(x,

y,x,t)+...目的是使方程中与垂直粘性系数有关项成为o(1)展开：u

=uˆ(x,

y,x,t,e,d,EV

,

EH

)a)底摩擦边界层设x=z/l

x

为底边界层中垂直方向的新坐标

l

是无量纲的边界层厚度l*

=

Dl方程(3.2)和(3.3)成为：(3.7)代入方程(3.6)和(3.7)，取o(1)阶近似：22

22222

2

+2

¶++d

ee¶x

¶y l

¶x¶u

+

¶v

+

1

¶w

=

0(3.6c

)2l

2

¶xx

¶y

¶2

v

¶2

v

E

¶2

w

2

El

¶x

l

¶x¶x

¶y+

u

+

v

+

=

-

¶t

¶w

¶w

¶w w

¶w

1

¶p(3.6b)2l

2

¶x

2x

¶yE

¶2

v

¶2

v

E

¶2

v¶y

2

¶

+

u

=

-e

+

u

+

v

+

¶t

¶x

¶y

l

¶x

(3.6a

)2l

2

¶x

2x

¶y¶x

2

¶¶p¶p

E

¶2u

¶2u

E

¶2u+

-

v

=

-l

¶x

+

u

+

v

¶t

¶x

¶y

¶v

¶v

¶v w

¶v

¶u

¶u

¶u w

¶u

+

d

H

+

V

+

H

+

V

+

H

+

V

1/

2当取l

=EV()时垂直摩擦项为o

1EV=

Dl

=

Dl

=

DE=

d

V

fD

21/2*2

A

0

0

0

+

0

++ 0

=

0¶x¶x1

¶wˆE

1

/

2¶x

¶y¶uˆ

¶vˆ0

=

-

¶pˆ

01

¶2

vˆ¶y

2

¶x

2¶pˆuˆ0

=

-

0

+0¶x

2

¶x

2¶pˆ

1

¶2

uˆ-

vˆ0

=

-V+

¶x

¶y

=

-EV

¶vˆ

¶wˆ1/

2

¶uˆ¶x由连续方程的量级为知wˆ)1/

2Vo

E所以wˆ

需要重新展开1/

2wˆ

=

E

(V

H

1V

0e,d,

E

,

E

)wˆ

(x,

y,x,

t

)+...)wˆ

(x,

y,x,

t

)+

D(LL

DLV1/

2

UDw*

~

O

U=

U

=

EdE

D

dE边界层内(3.9

)(3.8c

)(3.8b

)(3.8a

)

0

0

=

0¶x2

¶x

2¶x

¶y

¶x¶uˆ0

+

¶vˆ0

+

¶wˆ

0¶y0

=

-

¶pˆ

0¶pˆ

1

¶2

vˆuˆ0

=

-

0

+¶x

2

¶x

2¶pˆ

1

¶2

uˆ-

vˆ0

=

-

0

+代入方程(3.6)和(3.7)，取o(1)阶近似：¶x

¶y由(3.8c)知 0

和

0

与x无关¶pˆ

¶pˆ00=

-u¶pˆ0

=

¶p0¶y

¶y=

v¶pˆ0

=

¶p0¶x

¶xfi00=

lim

pzfi

0而lim

pˆxfi

¥结合(3.4)=

-u0

0

-

uˆ0=

v0

0

+

vˆ01

¶2uˆ2

¶x

22

¶x

21

¶2

vˆ方程(3.8a,b)可写成：(3.10

) 0

+

4(vˆ0

-

v0

)=

0d

4

vˆdx

4vˆ0

fi

v0得解：ˆˆ0

0

2

12100c

cosvc

cosu(

x

-c

sinx)=

v

+e=

u

+e

(

x

+c

sinx)-x-x利用下边界条件x

=0:

uˆ0

=0

vˆ0

=0得解：ˆˆ000000-x-x-x-xx)+u

e

sinx=

v

(1-e

cosvx)-v

e

sinx=

u

1-e

cosu矢量形式：0

0

00

0

000

0ˆV

=

i

u

+

jv

Vˆ

=

i

uˆ

+

jvˆ1-e

cos

+V

=V

e

sinx(

x)

(·

)k

V-x-x(3.10

) 0

+

4(vˆ0

-

v0

)=

0d

4

vˆdx

4利用条件

x

fi

¥

:

uˆ0

fi

u0如果将坐标系的x方0果与上节一样向取作V

方向则结求wˆ0

:-x-x¶u0

=

-

e

sinx¶x

¶y

¶v0e

sinx=

-

+

=

-

+

(1-e

c¶wˆ0

¶uˆ0¶vˆ0

¶u0¶v0

-xosx)+

¶v0

-

¶u0

¶x

¶x¶y

¶x¶y

¶x¶y

00ˆ=

-

=

z

0-x2

¶x

¶y

21

¶v0

¶u0

1fi

w

(¥

)sinxdx¶u0

¥

¶v0dx

=

0

-

e¶x

¶x

¶y¥

¶wˆ0（量级为）构成次级环流，称作Ekman

Pumping

（抽吸），其物理原因就是穿越等压线的输送。因此边界层之上的相对涡度（量级为o(1)）在Ekman层顶产生垂直速度1/

2Vo

E

)在边界层顶垂直运动将满足匹配条件：V

0而wˆ

»

E1/

2

wˆ

filim

w

x,

y,

z)=

lim

wˆ

x,

y,x)zfi

0

xfi

¥(3

.11

)2z

0VE

1

/

2w

(0

)=(3.11)式为内区运动提供了考虑了底摩擦的下边界条件高压低压V0

>

0Ed穿越等压线流动高压b)斜面上的Ekman层结果：E1/

2

B

+

V

z

h

D

2w

x,y,

B

=

u

D

h

即下边界的垂直速度为无粘情况下的底坡产生的垂直速度，再加上平底下的Ekman抽吸速度。两者的贡献比为EdBVEDhB

h=-1/

2如果比数小主要是Ekman抽吸导致垂直速度如果比数大主要是地形坡度导致垂直速度c)海面Ekman层Ekman层ht*E1/2对方程取变换坐标x

=h

/D

-z(3.12

)(3.11c

)(3.11b

)(3.11a

)

0

0

0

0

+

0

-

0

=

00

=+¶x¶x

¶y

¶x¶uˆ

¶vˆ

¶wˆ¶pˆ

00¶y

2

¶x

2¶pˆ

1

¶2

vˆuˆ

=

-¶x

2

¶x

2¶pˆ

1

¶2

uˆ-

vˆ0

=

-

0

+V代入方程(3.6)和(3.7)，取o(1)阶近似：展开各变量00=

-u¶pˆ

0

=

¶p0¶y

¶y=

¶p0¶x

¶x¶pˆ

0fi =

vvˆ0

fi

v0利用条件

x

fi

¥

:

uˆ0

fi

u0解得：vuc

cosˆ(3.13a)(3.13b)c

cosˆ10

0

21

200x

-c

sinx)=

v

+e

(=

u

+e

(

x

+c

sinx)-x-x****

*HV(y

)(x

)¶y¶w*¶z¶v*¶z

¶x¶u*

¶w*+

rA=

rAt+

rAHt*

=

rAV上边界条件（有量纲）：(z*

=h)¶x» =

-» =

-E= +

d¶z¶v

trA

U¶w

¶u¶x

¶z¶w

¶v¶y

¶z= +

d¶z¶u

trA

U(y

)V(x

)VE

¶x1

¶vˆ1

¶uˆ1

/

2V2Dt01

/

2V2Dt0无量纲化：(z

=h

/D))

(

)

]

(

)vu(y

)

(x)(y

)

(x)(y

)

(x)[(

(y

)

(x)(3.14b)e

2ˆ3.14a2ˆ0

000sinxcos

t

+a[(t

-t

)

x

-(

t

)

]=

v

++t

cosxsinx

+

t=

u

+

a

t

-t-xe-x利用上边界条件得解：E

fd

Ua

=2t0

/

r

矢量形式：20

0

a[t(cosx

-sinx)-(k

·t)(cosx

+sinx)]e-xVˆ

=V

+表面流：a

E2(0)=0)-VˆV

(0)=V

(00[t

-

(k

·t)]

t-

k

·tVE（北半球）偏向风应力右方45度左图为Ekman速度矢随深度的变化廓线uEtvE0.00.20.40.60.81.00.20.40.80.61.0)VVVV

hE

VEE

((=-V

E=

D

V

dz

=

V

¥¥¥¥t

·kaEdxE

dx

=2k

·t

e-xt

cosx

+sinx

dx

=2e-xt

cosx

-sinx)dx

-2ˆˆaE1/

20aE1/

201/

201/

20 0

V001/

2非地转输送：M完全与风应力垂直EVErft

·

kt

·

k

=t

·

k

=有量纲：M

=

M UD

=*0

V

aE1/

2UD

E*rfd

U

2

2t

E1/

2UD

2求垂直速度：22ˆ1/

201/

2[

t

cosx

-

sin

x

-=1/

2

-x(

)

(k

·t

)(cosx

+

sin

x)]aE

ee-xV0

+

a

[t(cosx

-

sin

x)-

(k

·t

)(cosx

+

sin

x)]=

E¶wˆ¶xVV=

EV

Vtk

(

·t

)(k

·t

)=

0

rfUDaE1/

22wˆ(x,

y,

¥

)-

wˆ(x,

y,0)=

-

V

而wˆ(x,y,0)=d

h

dt

D

dt

D

rfUDd

h

tD

h

+

0

k (

·t

)

=

wˆ(x,

y,

¥

)=所以对内区的：w

x,y,积分得：§3.4

有摩擦和地形的准地转位涡方程QuasigeostrophicPotential

Vorticity

Equation

with

Friction

andTopography(3.2c

)2(3.2b

)(3.2

a

)22222222

E2

¶z

+

V

H

¶2

v

E

¶2

v

+¶x

¶y

¶2

v¶z¶w

¶p¶y

¶z

¶x

¶t

¶w

¶w

¶w2

¶z

2

+

V

¶2

v

E

¶2

v+¶x

¶yE

¶2

v+

H

¶y

2¶z

¶x

¶y

¶t2

¶z

2

+

V

+¶x

¶y

2E

¶2

u

¶2

u

E

¶2

u+

H

-

v

=

-¶z

¶x

2¶u

¶p+

u

+

v

+

w

¶t

¶x

¶y

¶v

¶v

¶v

¶v

¶p

¶u

¶u

¶u

=

- +

dd

e

+

u

+

v

+

we

+

u

+

v

+

w

+

u

=

-e(3

.3

)¶u

+

¶v

+

¶w

=

0¶x

¶y

¶z(3.15

c

)(3.