作业02：整式的乘法与因式分解-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业（含解析）

第第页作业02：整式的乘法与因式分解-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业（含解析）中小学教育资源及组卷应用平台

作业02：整式的乘法与因式分解-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．下列多项式不能进行因式分解的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据因式分解的方法，注意判断，即可解答．

【详解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合题意；

无法因式分解，故B符合题意；

利用完全平方公式，可得，故C不符合题意；

利用平方差公式，可得，故D不符合题意，

故选：B．

【点睛】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键．

2．我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的（）

A．①②B．③④C．①③④D．①②③④

【答案】B

【分析】根据幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减，进而得出答案即可．

【详解】解：

（利用积的乘方得到），

（利用幂的乘方得到），

故运算过程中，运用了上述的运算中的③和④，

故选：B．

【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂除法，掌握相关运算法则是解题的关键．

3．下列式子运算正确的是()

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据幂的运算法则及多项式乘法运算公式对每一选项进行计算，即可得到解答．

【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；

B、，故此选项正确，符合题意；

C、，故此选项错误，不符合题意；

D、，故此选项错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则或公式是解题关键．

4．有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先用含有、的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．

【详解】解：由题意可得：

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故选：C．

【点睛】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．

5．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（）

A．B．2C．D．

【答案】C

【分析】计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可．

【详解】解：∵第次输出的结果为，

第次输出的结果为，

∴第次输出的结果为，

第次输出的结果为，

∴输出结果以、、为一个循环组依次循环，

∵，

∴第2023次输出的结果为，

故选：C．

【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．

6．在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（）

A．边长为a的正方形的面积

B．边长为b的正方形的面积

C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和

D．边长a与b之差

【答案】B

【分析】通过“割补法”分别表示出、，进而可得到．

【详解】解：设，则

由可得：

由图可得：

故若边长为b的正方形的面积，即可求出的值．

故选：B

【点睛】本题考查利用“割补法”求解不规则图形的面积，以及“设而不求”的数学思想．在图中，作出辅助线是解决问题的关键．

7．下列计算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据幂的乘方，同底数幂的除法，多项式乘多项式的法则，同底数幂的乘法运算即可求解．

【详解】A、，故此选项错误，不符合题意；

B、，故此选项错误，不符合题意；

C、，故此选项错误，不符合题意；

D、，故此选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查整式的混合运算，同底数幂的运算，幂的乘方运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．

8．已知三个实数满足，则（）

A．≥0B．≤0C．≥0D．≤0

【答案】C

【分析】把变形得到再代入中计算即可．

【详解】∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得，

故选：C．

【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、完全平方公式等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．

9．如图，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、正方形．这两个正方形的面积和为20，的面积为，则的长度是（）

A．2B．3C．D．

【答案】B

【分析】设正方形的边长为，，则，根据题意，列出方程，求解即可．

【详解】解：设正方形的边长为，，则，

的面积为，

，

，

两个正方形的面积和为20，

，

，

，

将代入得，，

，

解得：或（不合题意，舍去），

的长度为3，

故选：B．

【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，正方形的面积，三角形的面积，正确得出方程是解题的关键，注意整体代入思想的运用．

10．下列运算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方法则进行计算即可解答．

【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；

B、，故本选项不符合题意；

C、，故本选项不符合题意；

D、，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是正确解答的前提．

二、填空题

11．分解因式：________．

【答案】

【分析】先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式即可．

【详解】解：，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了综合运用提取公因式和公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

12．已知，，则________；如图，在正方形ABCD中，，，长方形BGLF的面积为4，其中四边形AFLJ，GCIL，KLMN均为正方形，则图中阴影部分的面积之和为________．

【答案】624

【分析】根据完全平方公式进行计算即可求出的值；设大阴影正方形的边长为，小阴影正方形的边长为，根据最大正方形面积两个阴影正方形面积两个空白长方形面积，小空白正方形边长相等列出等量关系，再运用完全平方公式进行求解即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

∴；

在正方形中，设大阴影正方形的边长为，小阴影正方形的边长为，

∵，，长方形的面积为4，四边形为正方形，

根据题意有，，

∴，，

∴，

即图中阴影部分的面积之和为24．

故答案为：6；24．

【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的运用，灵活运用完全平方公式并结合图形列出等量关系是解题的关键．

13．已知，则代数式的值为_____．

【答案】8

【分析】利用完全平方公式变形，可得答案．

【详解】解：∵，

∴

故答案为：8．

【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式是解题关键．

14．的三边a，b，c为互不相同的整数，且，则的周长为______．

【答案】13

【分析】将原式变形后进行因式分解可得到，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．

【详解】解：

∴

，，为互不相同的整数，且是的三边

，，也是互不相同的正整数，且都大于1．

故可分为以下3种情况：

（1），即的三边长分别为1，6，8；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．

（2），即的三边长分别为2，5，6；由三角形的三边关系可知符合题意．

（3），即的三边长分别为1，2，20；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．

∴综上所述：的周长为

综上可知，的周长为13．

故答案为13．

【点睛】本题是一道结合因式分解和三角形三边关系的综合性题目，有一定难度，能将原式变形后进行因式分解是解出此题的关键．考生们也应该多加练习这种形式的因式分解习题，做到熟能生巧．

15．如图，大长方形中放5张长为a，宽为b的相同的小长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，则小长方形的面积为________．

【答案】6

【分析】根据阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，列式整理求得，然后根据完全平方公式求出，进而可得的值，问题得解．

【详解】解：由图可知：大长方形的长为，宽为，

∵阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，

∴，

整理得：，

∴，

∴，

∴，即小长方形的面积为6，

故答案为：6．

【点睛】本题考查了整式乘法和完全平方公式的应用，根据长方形的面积公式和周长公式列出等式是解题的关键．

16．已知，则________．

【答案】1

【分析】根据题意可得，即，然后把整体代入所求式子中进行求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查了平方差公式，正确根据题意得到是解题的关键．

17．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）．

…

请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______．

【答案】

【分析】根据资料提示确定展开式中与的指数关系，再确定系数的关系，由此即可求解．

【详解】解：根据材料提示可知，，其中的指数从逐次递减直到次数为，的指数从逐次递增直到次数为，

∴，

∴，

∴含项的系数是，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键．

18．如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为____平方单位．

【答案】

【分析】设设，，则根据题意可得，，，故，，再由，即可求出阴影部分的面积．

【详解】解：设，，

由题意得，，，

即，，

∵长方形的面积为平方单位，

∴，

又∵，

∴

，

∴阴影部分的面积和为平方单位，

故答案为．

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列式和掌握完全平方公式是解题的关键．

19．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，此多项式的值为___________．

【答案】46

【分析】将和时，分别代入多项式，根据值相等得出，再根据得出，最后代入求解即可．

【详解】解：

当时，，

当时，，

∵当和时，多项式的值相等，

∴，则，

∴或，

整理得：或

∵，

∴，则，

∴当，，

故答案为：46．

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，得出关于p和q的关系式，掌握整式的运算法则．

20．下列四个结论，其中正确的是___________．

①若，，则可表示为；

②若的运算结果中不含项，则；

③若，，则；

④若，则x只能是2．

【答案】①②/②①

【分析】①利用同底数幂的乘法运算法则可知，此选项是正确的；

②利用整式乘法法则展开后可知，此选项是正确的；

③根据已知，利用完全平方公式可知，此选项是错误的；

④幂结果是1，则有两种情况，要么底数是1，要么指数为0，此选项错误．

【详解】解：①若，，

则

，

故此选项正确；

②

∵不含有项，

∴，

∴，

故此选项是正确的；

③∵

，

∴，

故此选项是错误的

④，

当时，，成立；

当时，，成立，

故此选项是错误的．

故答案为：①、②．

【点睛】本题考查幂的运算法则，多项式乘法，完全平方公式，乘方运算；掌握相关运算法则是解题的关键．

三、解答题

21．先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】根据整式的运算法则，将代数式化成最简形式，将字母值代入求解．

【详解】解：原式

．

当时，原式

【点睛】本题考查整式的运算，求代数式值，掌握法则是解题的关键．

22．利用因式分解说明：当n为自然数时，能被24整除．

【答案】见解析

【分析】将和分别看做整体，用平方差公式进行因式分解，所得的结果中含有因式24，即可求证．

【详解】解：

，

∴能被24整除．

【点睛】本题主要考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式．

23．[阅读材料]分解因式：．

解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．

根据以上阅读材料，完成下列问题：

(1)请完成下列因式分解：

__________；__________．

(2)请你用“试根法”分解因式：；

(3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；

②若多项式含有因式和，求的值．

【答案】(1)，

(2)

(3)①；②100

【分析】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案；

（2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案；

（3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．

【详解】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），

则，

，

，

把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，

可设（为常数），

则，

，

，

故答案为：，；

（2）解：当时，，

设，

则，

，

，

∴，

；

（3）解：①根据题意得，时，，

把代入，得，

∴，

∴；

②根据题意得，和时，

把和代入得，

，

整理得：，

解得：，

．

【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解．

24．甲、乙两商场对某商品进行促销，已知甲商场原售价为元，乙商场原售价为b元．

(1)甲商场将该商品降价后销售，乙商场将该商品降价2元，若在甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，请用含的代数式表示；

(2)在（1）的条件下，若甲商场降价后的售价为12元，求的值；

(3)若，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次降价，降价的百分比如下表所示，其中．

商场第一次降价百分比第二次降价百分比

甲

乙

如果你是消费者，你会选择去哪家商场更划算请说明理由．

【答案】(1)

(2)16

(3)去甲商场更划算，理由见解析

【分析】（1）根据甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，列出式子，即可求解；

（2）先求出a的值，代入即可求出b的值；

（3）表示出甲、乙商场按原价进行了两次降价后的价格，然后比较大小，即可求解．

【详解】（1）由题意得：购买的件数为，

乙商场将该商品降价2元后的单价为

整理得：

（2）由题意得：，解得：，

∴，

（3）由题意得：甲商场按原价进行了两次降价后的价格为：

乙商场按原价进行了两次降价后的价格为：

∴

∵，

∴

∴

∴甲商场的价格便宜，

∴去甲商场更划算．

【点睛】本题考查列代数式和完全平方公式，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件列出代数式．

25．先化简，再求值：，其中．

【答案】，54

【分析】先根据完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．

【详解】解：

，

当，原式．

【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．

26．著名数学教育家G波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”．这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．

①；

②；

③；

④；

⑤

……………

(1)等式⑥是___________．

(2)___________（n为正整数）．

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)（n为正整数）

(3)11375

【分析】（1）根据所给式子可直接写出第⑥个式子；

（2）根据规律计算即可；

（3）根据前面式子的特点，通过变形可以求得计算出结果即可．

【详解】（1）观察规律可得等式⑥是，

故答案为：；

（2）

=

=（n为正整数）．

故答案为：（n为正整数）

（3）

=

=

=11375

【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，探索出式子的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．

27．【问题情景】

将下列完全平方式进行因式分解，将结果直接写在横线上．；；______；

【探究发现】观察以上多项式，发现：；；；

【归纳猜想】若多项式（，）是完全平方式，则，，之间存在的数量关系为；

【验证结论】小明验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全小明的验证过程；______．

∵是完全平方式，

∴______，即．

【解决问题】

①若多项式是一个完全平方式，求的值；

②若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式．

【答案】问题情境：；验证结论：；；；解决问题：①；②，或

【分析】问题情境：根据完全平方公式分解因式即可；

验证结论：利用配方法进行验证即可；

解决问题：①利用题目中得出的结论列出关于n的方程，解方程即可；

②分两种情况进行讨论，写出所有满足条件的单项式即可．

【详解】解：问题情境：，

故答案为：．

验证结论：

∵是完全平方式，

∴，即．

故答案为：；；；

解决问题：①∵多项式是一个完全平方式，

∴，

解得：；

②当添加的含字母y的单项式为中间项时，

∵，

∴此时需要添加的单项式为或；

当添加的含字母y的单项式为平方项时，

∵，

∴此时需要添加的单项式为；

综上分析可知，需要添加的含y的单项式为，或．

【点睛】本题主要考查了应用完全平方公式分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．

28．先化简，再求值：，其中，．

【答案】，

【分析】先根据乘法公式算乘法，然后合并同类项，最后代入计算即可．

【详解】解：原式

当，时，

原式．

【点睛】本题考查整式乘法的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．

29．【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________；

【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值；

【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．

【答案】（1），；（2）；（3）48

【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系；

（2）利用（1）中关系，整体代入求值即可；

（3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得影音部分的面积即可．

【详解】解：（1）图2中，阴影部分的边长为的正方形，因此面积为，

也可以从边长为的正方形面积减去图1的面积，即,则

故答案为：，；

（2）由（1）可得

∴，

∴，解得：；

（3）∵两块直角三角板全等，

∴，

∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，

∴，

设，

∴，

∵，即

∴

∵，

∴，解得：，

∴,

∴阴影部分的面积为．

【点睛】本题主要考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的性质等知识点，熟练地运用完全平方公式的几何变形是解答本题的关键．

30．阅读理解以下材料内容：

完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例：若，，求的值．

解：∵，，∴，．

∴．∴．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展；

(2)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据材料提示，将变形为，即可求解；

（2）设，可得，，，，由此即可求解．

【详解】（1）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（2）解：设，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∵

∴．

【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，理解并掌握完全平方公式的变形，几何图形面积与完全平方公式的计算是解题的关键．

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）

21世纪教育网()中小学教育资源及组卷应用平台

作业02：整式的乘法与因式分解-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．下列多项式不能进行因式分解的是（）

A．B．C．D．

2．我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的（）

A．①②B．③④C．①③④D．①②③④

3．下列式子运算正确的是()

A．B．C．D．

4．有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（）

A．B．C．D．

5．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（）

A．B．2C．D．

6．在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（）

A．边长为a的正方形的面积

B．边长为b的正方形的面积

C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和

D．边长a与b之差

7．下列计算正确的是（）

A．B．C．D．

8．已知三个实数满足，则（）

A．≥0B．≤0C．≥0D．≤0

9．如图，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、正方形．这两个正方形的面积和为20，的面积为，则的长度是（）

A．2B．3C．D．

10．下列运算正确的是（）

A．B．C．D．

二、填空题

11．分解因式：________．

12．已知，，则________；如图，在正方形ABCD中，，，长方形BGLF的面积为4，其中四边形AFLJ，GCIL，KLMN均为正方形，则图中阴影部分的面积之和为________．

13．已知，则代数式的值为_____．

14．的三边a，b，c为互不相同的整数，且，则的周长为______．

15．如图，大长方形中放5张长为a，宽为b的相同的小长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，则小长方形的面积为________．

16．已知，则________．

17．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）．

…

请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______．

18．如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为____平方单位．

19．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，此多项式的值为___________．

20．下列四个结论，其中正确的是___________．

①若，，则可表示为；

②若的运算结果中不含项，则；

③若，，则；

④若，则x只能是2．

三、解答题

21．先化简，再求值：，其中．

22．利用因式分解说明：当n为自然数时，能被24整除．

23．[阅读材料]分解因式：．

解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．

根据以上阅读材料，完成下列问题：

(1)请完成下列因式分解：

__________；__________．

(2)请你用“试根法”分解因式：；

(3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；

②若多项式含有因式和，求的值．

2