山东省东平县第一中学2023年高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）

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考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则集合真子集的个数为（）

A．3B．4C．7D．8

2．已知i为虚数单位，则（）

A．B．C．D．

3．设，，，则（）

A．B．C．D．

4．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（）

A．，B．C．，D．，

5．已知（i为虚数单位，），则ab等于（）

A．2B．-2C．D．

6．设全集U=R，集合，则（）

A．{x|-10.

所以，|1-4ab|＞2|a-b|.

18、（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据，，成等比数列，有，结合公差，，求得通项，再解不等式.

（2）根据（1），用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.

【详解】

（1）由题意，可知，

即，

∴.

又，，∴，

∴.

∴，

∴，

故满足题意的最大自然数为.

（2），

∴.

.

.

从而当时，单调递增，且，

当时，单调递增，且，

所以，

由，知不等式成立.

【点睛】

本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19、（1）见解析；（2）

【解析】

（1）要证平面平面，只需证平面，而，所以只需证，而由已知的数据可证得为等边三角形，又由于是的中点，所以，从而可证得结论；

（2）由于在中，，而平面平面，所以点在平面的投影恰好为的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】

（1）由，所以平面四边形为直角梯形，设，因为.

所以在中，，则，又，所以，由，

所以为等边三角形，

又是的中点，所以，又平面，

则有平面，

而平面，故平面平面.

（2）解法一：在中，，取中点，所以，

由（1）可知平面平面，平面平面，

所以平面，

以为坐标原点，方向为轴方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设平面的法向量，由得取，则

设直线与平面所成角大小为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：在中，，取中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，

所以平面，

过作于，连，则由平面平面，所以，又，则平面，又平面所以，在中，，所以，设到平面的距离为，由，即，即，

可得，

设直线与平面所成角大小为，则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.

20、(1)见证明；(2)

【解析】

(1)取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证，即可；(2)以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.

【详解】

（1）取的中点，连接，

因为均为边长为的等边三角形，

所以，，且

因为，所以，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（2）因为，为等边三角形，

所以，又因为，所以，，

在中，由正弦定理，得：，所以.

以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则平面的一个法向量为，

依题意，平面的一个法向量

所以

故二面角的余弦值为.

【点睛】

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

21、（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间，递减区间，（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由，令，得增区间为，令，得减区间为，所以有极大值，无极小值；

（Ⅱ）由，分，和三种情况，考虑函数在区间上的值域，即可得到本题答案.

【详解】

当时，，，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

故当时，函数取得极大值，没有极小值；

函数的增区间为，减区间为，

，

当时，，在上单调递增，即函数的值域为；

当时，，在上单调递减，即函数的值域为；

当时，易得时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，

故当时，函数取得最大值，最小值为，中最小的，

当时，，最小值；

当，，最小值；

综上，当时，函数的值域为，

当时，函数的值域，

当时，函数的值域为，

当时，函数的值域为.

【点睛】

本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.

22、（1）；（2）

【解析】

（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；

（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最