方向导数与梯度课件

684方向导数与梯度6、露凝无游氛，天高风景澈。7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。8、吁嗟身后名，于我若浮烟。9、陶渊明（约365年—427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。10、倚南窗以寄傲，审容膝之易安。684方向导数与梯度684方向导数与梯度6、露凝无游氛，天高风景澈。7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。8、吁嗟身后名，于我若浮烟。9、陶渊明（约365年—427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。10、倚南窗以寄傲，审容膝之易安。6.8.4方向导数与梯度DirectionalDerivativesandGradientVectors方向导数Directionalderivatives讨论函数沿某个方向的变化率：沿方向的平均变化率沿方向的增量函数在点沿方向的方向导数：是函数在点沿方向对的变化率是曲面在点沿方向的倾斜程度（坡度）方向导数与偏导数若偏导数存在则其中则其中因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在。方向导数是单向导数（因为）而偏导数是双向导数（因为可正负）类似于一元函数的单侧导数例求函数在原点沿任何方向的方向导数解设方向向量为即函数(圆锥面)在原点沿任何方向的方向导数均为1但是在原点的偏导数不存在上半圆锥面无偏导数无导数圆锥面在顶点无切平面定理8.1读书利用偏导数计算方向导数的公式证明由可微性若不是单位矢量，则方向导数是梯度在方向上的投影三元函数在点沿方向的方向导数：例8.5解例8.7解梯度Gradientvectors当即，与矢量方向相同时，方向导数取到最大值：因此矢量是使函数在一点的方向导数达到最大值的方向矢量是使函数在一点增加得最快的方向称矢量为函数在点处的梯度矢量，简称梯度(gradient)记作梯度是一个矢量它是函数在点处取得最大方向导数的方向最大方向导数为：梯度的几何解释函数的等值线：由隐函数的讨论，知梯度是等值线在点处的法矢。教材p.89故，梯度矢量在任何点都垂直于函数的等值线并且从函数值较小的等值线指向函数值较大的等值线。在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等值线梯度为等值线上的法向量contourplot(x/(x^2+y^2+1),x=0..4,y=-3..3,contours=15,thickness=3,color=brown);

plot3d(x/(x^2+y^2+1),x=0..4,y=-3..3,contours=15,thickness=3,color=brown);反梯度方向梯度方向最速增曲线最速降曲线with(plots):p1:=contourplot(x/(x^2+y^2+1),x=0..2,y=-2..2,contours=15,thickness=2,color=brown):

p2:=gradplot(x/(x^2+y^2+1),x=0..2,y=-2..2,arrows=thin,thickness=2,color=black):display(p1,p2);函数的等值线及其梯度场：正交梯度的几何解释三元函数的等值面：由切平面的讨论，知梯度是等值面在点处的法矢。故，梯度矢量在任何点都垂直于函数的等值面并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。例8.8例8.8

的一个等值面with(plots);implicitplot3d({x^2*y+x*z=3},x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,style=patchcontour,axes=boxed);例8.8的一个等值面gradplot3d(x^2*y+x*z,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,color=red);6.8矢量分析例8.6最陡的方向是梯度方向最大的坡度为：with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=5-x^2-2*y^2,x=-2.5..2.5,y=-2..2,z=0..6,style=patchcontour,numpoints=2000):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-3..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..6,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[23,66]);Thecontourscontourplot(5-x^2-2*y^2,x=-3..3,y=-3..3,contours=30,color=red);例一只蚂蚁不幸落在一块发烫的铁板上。铁板上的温度场为：蚂蚁落在点M(1,1)处,此处温度高达76度。蚂蚁差一点被烫死。蚂蚁想：我不能就这样死去。我一定得设法逃出去。家里上有老、下有小，全家人还在等我找东西回去给它们吃呢！怎么办？蚂蚁突然想起那天在教室觅食时（因为学生经常在教室吃面包）好奇地听到微积分老师在讲梯度。虽然没有完全听懂，但是蚂蚁对老师讲的一句话印象很深：温度下降最快的方向是梯度的反方向。当时，蚂蚁凭直觉，觉得这个知识将来可能有用，就把它暗暗地记了下来。于是，聪明的蚂蚁决定选择梯度的反方向逃命。解蚂蚁选择温度最速降曲线来逃命这是梯度的反方向：设蚂蚁的逃跑曲线为则该曲线的切线方向是：又令得积分积分得将x=1,y=1代入上式：C=5蚂蚁的逃跑曲线：抛物线with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=80-2*x^2-y^2-x,x=-20..20,y=-20..20,z=0..80,style=patchcontour,numpoints=20000):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-8..8,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-10..10,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..90,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[23,66]);温度场：有等温线的立体图有等温线的俯视图with(plots):dengwenxian:=contourplot(80-2*x^2-y^2-x,x=-3..3,y=-3..3,contours=30,color=red):tidu:=gradplot(80-2*x^2-y^2-x,x=-3..3,y=-3..3,color=black,arrows=slim):paowuxian:=implicitplot(5*y^2=4*x+1,x=-3..3,y=-3..3,color=brown,thickness=3):display(dengwenxian,tidu,paowuxian);等温线逃跑曲线

事后，大难不死的蚂蚁语重心长地对它的孩子说：“孩子们，你们长大了也要学一点微积分，尤其是梯度。有时，你觉得没有什么用处的知识，关键的时候可以救你一命呀。”“要不是那天，你爹我去拣面包屑，听到老师讲梯度的知识，我的老命早就没啦。真的好感谢那位微积分老师（还有他的上课吃面包的学生）。他们都是我的救命恩人呀！”后记本故事纯属虚构切勿对号入座声明梯