教学课件第7章习题详解

将循环小数

写成无穷级数形式并用分数表示=0.250.00250.000025 1

14

1(11

)1

1004

41

(n33

44

nn（1）

123

5n13n

（2）

11111

n

2

2345 1111 a （1）

n

观察知

77

na

a3a

a5

n1

) 11)(1

收敛，且和为

5

13

1 41111

此级数为等比级数且公比q1

33n2n n2n3n2nliman ，所 发散3n2n

1( 3

n

n233n3

n

nn

6n

sinn1(3n2)(2n1)(n

n1nn

（1）

3n21，而级数

1发散，所以级数

n2

n1

n13n3n 2，而级数

n收敛，所以级数

n

n2

n1

n13

n341，而级数

1发散，所以级数

n2

n6n

n1

n1n3(3n2)(2n1)(n 6n nnnnn

n1

2(3n2)(2n1)(nnn 1，而级数nn

发散，所以级数

nsin

n1

3n1，而级数收敛，所以级数 收敛

n1

2n

2n

(2)

n3

n12n

（1）

an1

1

2nn

n2n (n

n

，所以级数

3n3

an1

(n1)3sin

11，所以级数n3sin

na

n3sin 2n1(n1)!(n1)n1

2nlimn1

lim2(n )n )

1，所以级数n

n

n

收敛(1)

(1)n1

(1)n

1sin

(2n

n1

(1)n1(1cos1

1

(1)nn6n

(1)n 3n（1）

1，而级数

2

11

n

n1所以

(1)n1 绝对收敛；(2nn

n1从而

(1)nn1sin

1101(1)101101(1)10n1

1111

(1)n1

2n0，故该级数收敛；1sin

1111 n1

级数2n1的敛散性与级数n相同，又级数n故级数

n

1sin

发散

nn12n

n1 所以级数1sinn条件收敛n1 11cos 1

lim 2n

2(2n)

(1)n1(1cos1

n

n

n

nlimalim(1)nnn

不存在，从而

(1)nn2发散

6n

6n

(1)n 为交错级数，3nu

n

n3n所以级数

(1)n 收敛；3n又由于| |

相同，发散

3n

n13n

n1所以级数

(1)n 条件收敛.3nnx

n xnn

nn12nn

n1n21

2n

2n

x

(xnn解 nxliman1

n11所以收敛区间为(1,1n nx1x1时级数发散，所以幂级数nxn的收敛域为(1,1 xn2（2）2

12n1(n n

2n

所以收敛区间为(2,22x2x2所以幂级数nxn的收敛域为[2,2 n1 n1

(n1)2n2

2所以收敛区间为

1,1)2x1x1 1n所以幂级数n

x的收敛域为1

,]2

2n

x2(n2(n

x2若级数

2n

x21，所以收敛起区间为(1,1x1x1所以幂级数

2n

2n1x

2n1x2n1x

1x22若级数2n1x2n1x21 所以收敛起区间为(

2)2x2

x

2所以幂级数

2n1x2n的收敛域为(

2)

(xnn

tn令x2t，则原幂级数为 n1liman1limn11此级数的收敛区间为(1,1n

nx1x1时级数发散，所以幂级数nxn的收敛域为(1,1n

n1n

xn，n1(3)

(4)2nx2n1n14n(5)nxn1

(6)n1xn

(x.2nn（1）n1

|an1|

n

1，所以级数

n1

x

n

x

1时，幂级数为

(1)n11n

时，为

(1)2n11

(1n所以级数

n1nn1

s(x)

n x

n1

x n1s(x)0(s(x))'dx0

)'dx0 x((1)n1x0x1dxln(1x)，x(1,1]01（2）

n1

解由于

n

1R

n

n

nn

x1处，幂级数成为n1x1处，为

n xnn故幂级数 的收敛域为I(1,ns(x)s(x)

xn，x[1,nxs(x)

n1[xs(x)] [xs(x)]

xn1

n1

x，x(1,1]

n

n

1x从而xs(x)x

x1dxln(1x)，x(1,1][xs(x)]0

01x0s(x)1ln(1xx1ln(1x)s(0)a01s(x)

x[1,1),xx

1

x.（3）4n

4(n1)

x

x4若级数

4n

x

n14n

x1x1时幂级数发散，所以

2ns(x)

sx)

x

)'x

xn14n x

1

4n

x

1x1

1 s(x)01x4dx0(11x4)dxx01x4dxx20(1x21x2x

x1(

1)

)dxx1ln1x1arctanx，x(1,1)20

1

1

1x

1 x,若级数（4）2nx2nx,若级数

2(n1)x

2nx2n1x21，此级数的收敛区间为(1,1

2nx

x1x1时级数发散，所以幂级数2nx2n1的收敛域为(1,1

xx

x令s(x) ，则0s(x)dx0

dx

1x

xs(x)(x

s(x)dx)'

x1x

2x(1x2)x2(2x)(1x2)2

(1x2)s(x)

nxn1liman1

n11x1

n

n 且f(x)dxxnxn1dx

xnx n1

1xf(xx

0f(x)dx)'

1

)'

(1x)

1x

(x2n

u

u解令ux2，则原级数为2n1，显然2n1的收敛域为(1,1u

s(u)2n1u1,1

us(u)

[s(u)]'du

2n2nuu

u2n2)du

u

0(x

1

01u 1n于是n

[ln(1u)ln(1u)]= [ln(x1)ln(3x)]，x a

ln(ax),(a

(1x)ln(1解yaxf(nxlna)nax，n012f(n0lna)nn0121xlna1x2(lna)21xn(lna)n R，展开式成立的区间为(,（2）令f(x)ln(ax),(a0)，f'(x) a

，f''(x)

(ax)

，f'''(x)

(a，f(n)(x)(1)

(n1)!f(n01)n1(n1(ax) anf(x)lna1xa

2a

x2

na

xn

ax（3）f(xln(1xf(x)

1

1xx2x3x4x5(1)nxn

1x将上式两边从0xxf(x)dx xx2x3x4x5(1)nxn 即x2 x4

nf(x)ln(1x)x

n1

1x由于ln(1xx1

x)

x2x3x4x5x6

xx x

n于是(1xln(1x)

x2x3x4x5x6

nx(11)x2(11)x3(1)n(

1)xn1

x

n limsn存在是un收敛

limun存在是un收敛

级数(2n1)(2n1) 2n(n2n(n

sin1

n 55 幂级数5n(2n1)的收敛半径 2n1级数

x的收敛区间 4n

4级数 4

的收敛区间 (xn级数 n解：1.充要2.必要3.收敛4.发散5.6.发散 8.

unun

unun

都是发散的,则unA发散B条件收 C绝对收 D无法断定敛散unun

unun

都是收敛的,则un A发 B条件收 C绝对收 D无法断定敛散 正项级数u收敛是级数u2收敛的 n

A充分但非必要条件BC充分必要条 D既非充分又非必要条 A(1)n1

nBn

nn

D

n2nln若limana,则级数(an1an)

A收敛于 B收敛于 C收敛于a解：1. 2. 3.A4. 5.

D判断级数

sin

判断级数

3nn!

的敛散性判断级数

(1)nlnn2是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛n 3求幂级数3求幂级数

2n1(x2)2n的收敛域求幂级数nxn1的和函数将函数sinxx的幂级数,并求展开式成立的区间2 sin

sin1

3为p3的p敛，所以

sin

3n1(n

3n

limn1

lim3(n

)n

)，所以级数 n

3nn!nn

n

n

aln(n2ln(12lim

limln(n2)0 n

nln(n2

n

所以级数(1)n

)收敛；但是lim 2，所以正项级数ln(n2)的敛

n

散性与调和级数一致，发散.所以级数

(1)nlnn2n

3n1(n13n

1,所以该幂级数的收敛半径为r3x3时，级数为3 x3

(1)n1，收敛.所以该幂级数的收敛域为[3,3n1

2(n1)1t 令tx22n1t2n

t2若级数2n1t2n

2n1t 2222

t22

1，此级数的收敛区间为(

2)x

x

2n1t2n的收敛域为(

2).于是幂级数

2n1(x2)2n为(2

2,2

2)1