奥数 周期问题（讲义）人教版三年级下册数学

周期问题★挑战锦囊★

在日常生活中，有一些现象是按照一定的规律不断重复出现的，如人的十二生肖，一年有春、夏、秋、冬四个季节，一个星期有七天，等等。这种会重复出现的规律性问题被统称为周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。在解决周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。★基础挑战一例1：有同样大小的黑白珠子若干颗，它们按照2颗黑珠子、1颗白珠子、3颗黑珠子的顺序依次排列（如下图），请你算一算，第32颗珠子是什么颜色的？

●●○●●●●●○●●●···分析：根据“它们按照2颗黑珠子、1颗白珠子、3颗黑珠子的顺序依次排列”，可知6颗珠子为一个周期。32÷6＝5（组）……2（颗），32颗珠子中含有5个周期多2颗，所以第32颗珠子就是重复5个周期后的第2颗珠子，是黑色的。解答：32÷6＝5（组）…2（颗）答：第32颗珠子是黑色的。挑战自己,我能行练习1：“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？练习2：

把38颗小珠子按下图排列，其中有多少颗白珠子？○○○●○○○●○○○···基础挑战二例2：2001年10月1日是星期一，那么2001年10月25日是星期几？分析：我们知道，每星期有7天，也就是说星期数是以7天为一个周期不断重复出现的。从10月1日到10月25日（连头带尾）一共有25天，25÷7＝3（星期）…4（天），余数是4，说明25天中包括3星期还多4天。因为2001年10月1日是星期一，所以2001年10月25日是第4个星期的第4天，是星期四。解答：从10月1日到10月25日（连头带尾）一共有25天。25÷7＝3（星期）…4（天）2001年10月25日是第4个星期的第4天，是星期四。答：2001年10月25日是星期四。挑战自己,我能行练习1：2007年5月3日是星期四，那么2007年5月20日是星期几？练习2：2016年6月1日是星期三，那么2016年9月1日是星期几？★★基础挑战三例3：100个3相乘，积的个位数字是几？分析：这道题我们只需考虑积的个位数字的排列规律。1个3是3；2个3相乘，积是9；3个3相乘，积的个位数字是7；4个3相乘，积的个位数字是1；5个3相乘，积的个位数字是3…可以发现，积的个位数字以3，9，7，1不断重复出现，即从第一个3开始，每4个为一组，积的个位数字为一个周期。100÷4＝25（组）因此100个3相乘，积的个位数字是第25个周期中的最后一个是1。解答：积的个位数字以3，9，7，1不断重复出现。100÷4＝25（组）答：100个3相乘，积的个位数字是1。挑战自己,我能行练习1：100个2相乘，积的个位数字是几？练习2：50个7相乘，积的个位数字是几？★目标挑战四例4：如果一列数按“4，3，6，7，4，3，6，7，4，3，6，7”排列，那么前54个数字之和是多少？分析：这列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“4，3，6，7”，4数字为一个周期。要求出这列数的前54个数字之和，就要先求出这列数里共有多少组“4，3，6，7”。54÷4＝13（组）……2（个）。前13组数字之和是（4＋13＋6＋7）×13＝260，余下2个数字之和是4＋3＝7。因此，这列数中前54个数字之和是260＋7＝267。解答：54÷4＝13（组）…2（个）（4＋3＋6＋7）×13＝260260＋4＋3＝267答：前54个数字之和是267。挑战自己,我能行练习1：如果一列数按“9，4，5，3，6，7，2，9，4，5，3，6，7，2，9，4…”排列，那么前50个数字之和是多少？练习2：有一列数按“7，2，3，1，6，5，2，3，1，6，5，2，3，1，6，5…”排列，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第25个数字）的所有数字之和是多少？★★目标挑战五例5：小红买了一本故事书，每2页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本故事书有128页，而第1页是文字，这本故事书共有插图多少页？分析：已知这本故事书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本故事书按“1页文字3页插图”的规律重复排列，把“1页文字3页插图”看作一个周期，128页中含128÷（1＋3）＝32（个）周期，所以这本故事书共有插图3×32＝96（页）。解答：这本故事书按“1页文字3页插图”的规律重复排列。128÷（1＋3）＝32（个）3×32＝96（页）答：这本故事书共有插图96页。挑战自己,我能行练习1：1.36名同学排成一列做早操，每2名女生中间是2名男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？练习2：婷婷买了一本故事书，每2页文字之间有4页插图，也就是说4页插图前后各有1页文字。如果这本故事书第1页是文字，那么第48页是插图还是文字？★终极挑战六例6：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表年号。例如，第一年如果是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎年。如果公元1年是鸡年，那么公元2001年是什么年？分析：如果公元1年是鸡年，则12种动物的排列顺序为鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴。一个周期以鸡年开始，猴年结束。从公元1年到公元2001年一共是2001年，每12年为一个循环。因为公元1年是鸡年，2001÷12＝166（组）……9（年），所以公元2001年是蛇年。解答：2001÷12＝166（组）……9（年）因为公元1年是鸡年，所以公元2001年是蛇年。答：公元2001年是蛇年。挑战自己,我能行练习1：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表年号。如果公元2001年是蛇年，那么公元2年是什么年？练习2：我国农历用鼠、牛、虎兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表年号。如果公元6年是虎年，那么公元21世纪（公元21世纪的第一年是2001年）的第一个虎年是哪一年？★★终极挑战七例7：如下表所示，每列由一个字母和一个汉字组成一组，例如，第一组“A万”，第二组“B事”……那么第20组是什么？分析：根据题意，我们分别求出第20组的上、下两行是什么字母和汉字。上面一行的字母是按“ABC"为一个周期排列的，20÷3＝6（组）……2（个），所以第20组上面的字母是“B”；下面一行的汉字是按“万事如意”为一个周期排列的，20÷4＝5（组），所以第20组下面的汉字是“意”，因此第20组是“B意”。解答：20÷3＝6（组）……2（个）第20组上面一行的字母是“B”。20÷4＝5（组）第20组下面一行的汉字是“意”答：第20组是“B意”。挑战自己,我能行练习1：下表中每列由一个字母和一个数字组成一组，例如第一组为“a1”，第二组为“b2”……那么第25组是什么？

练习2：如下表所示，每列由一个数字、一个字母和一个汉字组成一组，例如，第一组是“1，A，我”，第二组是“2，B，们”，第三组是“3，C，爱”……那么第46组是什么？★★★终极挑战八例8：在一根绳子上依次穿4颗红珠子、2颗白珠子、1颗黑珠子，并按此方式重复。如果从头开始数，一共穿了75颗珠子，那么这75颗珠子中红珠子比白珠子多多少颗？分析：根据题意，我们知道珠子的顺序按“4红2白1黑”重复，每重复一次就有4颗红珠子和2颗白珠子，75÷7＝10（组）……5（颗），所以剩下的5颗珠子的颜色依次是“红红红红白”，所以红珠子有4×10＋4＝44（颗），白珠子有2x10＋1＝21（颗），红珠子比白珠子多44－21＝23（颗）。解答：75÷7＝10（组）……5（颗）4×10＋4＝44（颗）2×10＋1＝21（颗）44－21＝23（颗）答：这75颗珠子中红珠子比白珠子多23颗。挑战自己,我能行练习1：将一些自然数排成一列，其中任意相邻的5个数字之和都等于15。已知第1个数字是1，第2个数字是2，第3个数字是3，第4个数字是4。那么前52个数字之和是多少？练习2：柯柯和其他5个小朋友围成一个圆圈，圆圈中央放着50个乒乓球，小朋友们从柯柯开始按顺序依次拿乒乓球，每人每次拿4个，直到把乒乓球拿完为止（最后剩下的球不足4个就全拿）。柯柯总共拿了多少个乒乓球？课