概率论离散型随机变量及其分布规律

概率论离散型随机变量及其分布规律第1页，课件共33页，创作于2023年2月1、定义称为X的分布律(列)或概率分布。分布列也可以用列表法表示一、离散型随机变量分布律的定义设离散型随机变量X可能取且取这些值的概率依次为

p1,p2,…,pn,,

第2页，课件共33页，创作于2023年2月2.分布列的性质（非负性）（归一性）给定了我们就能很好的描述X.即可以知道X取什么值，以及以多大的概率取这些值。第3页，课件共33页，创作于2023年2月解:依据分布律的性质:P(X=k)≥0,解得这里用到了常见的幂级数展开式设随机变量X的概率函数为：k=0,1,2,…,试确定常数例1.第4页，课件共33页，创作于2023年2月例题2设X为离散型随机变量，其分布律为：xp-1011/21-2qq2解:第5页，课件共33页，创作于2023年2月某射手连续向一目标射击，直到命中为止，解:显然，X可能取的值是1,2,…

，

P(X=1)=P(A1)=p,为计算

P(X=k)，

k=1,2,…，Ak

={第k次命中}，k=1,2,…，设于是已知他每发命中的概率是p，求射击次数X的分布列.例5.第6页，课件共33页，创作于2023年2月可见这就是所求射击次数X的分布列.若随机变量X的分布律如上式，不难验证:几何分布.则称X服从第7页，课件共33页，创作于2023年2月几个重要的离散型随机变量模型(0,1)分布二项分布波松分布第8页，课件共33页，创作于2023年2月一、(0-1)分布（二点分布）随机变量X只取0与1两个值它的分布列是XP011-PP或者表示为：第9页，课件共33页，创作于2023年2月将一枚均匀硬币抛掷1次，则X的分布列是：反面正面X=0X=1“正面”的次数令X表示1次中出现例6例3100件相同的产品中有4件次品和96件正品，现从中任取一件，解求取得正品数X的分布列。01XP1/21/2第10页，课件共33页，创作于2023年2月伯努利试验和二项分布第11页，课件共33页，创作于2023年2月请思考一个问题掷硬币100次，记录正面出现的次数XX为随机变量,如何描述X的分布规律呢？第12页，课件共33页，创作于2023年2月则称X服从参数为n,p的二项分布。事件A发生的概率均为P，定义

设将试验独立重复进行n次，n重贝努里试验.若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，记作则称这n次试验为每次试验中，第13页，课件共33页，创作于2023年2月

用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现（2）不难验证：（1）的次数，则第14页，课件共33页，创作于2023年2月若其分布列为：正好是二项式的展开式中的通项，因此该分布为二项分布。显然，n=1时，二项分布化为二点分布。(0-1)分布记为二项分布的分布列第15页，课件共33页，创作于2023年2月

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回解:

因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X

～B(3,0.05)，例10地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.条件完全相同且独立，它是贝努里试验.第16页，课件共33页，创作于2023年2月注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，古典概型求解.不是贝努里概型，此时只能用第17页，课件共33页，创作于2023年2月思考题1、抛掷硬币100次，请你猜出现正面的次数，猜对有奖，你会猜出现多少次？2、抛掷骰子100次，请你猜出现点数6的次数，猜对有奖，你会猜出现多少次？第18页，课件共33页，创作于2023年2月二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8第19页，课件共33页，创作于2023年2月设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•第20页，课件共33页，创作于2023年2月直至达到最大值,随后单调减少.([x]表示不超过

x

的最大整数)n=10,p=0.7kPk对于固定n及

P，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加当不为整数时，二项概率达到最大值；在二项分布的图形特点:第21页，课件共33页，创作于2023年2月简要说明第22页，课件共33页，创作于2023年2月例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r

次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0<p<1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次击中r–

1次，第k

次击中目标)例3帕斯卡分布第23页，课件共33页，创作于2023年2月

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,其中>0是常数,且概率分布为：泊松分布,记作则称X服从参数为的泊松分布第24页，课件共33页，创作于2023年2月

设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊解:由题意,求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.例12第25页，课件共33页，创作于2023年2月泊松分布的图形特点：

n=10,p=0.7kPkX~B(n,p)第26页，课件共33页，创作于2023年2月当n很大，p很小时，下面图形显示：泊松分布是二项分布的极限分布，参数=np

的泊松分布二项分布就可近似看成是第27页，课件共33页，创作于2023年2月在实际计算中,当n

20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n

100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二项分布

按Possion

公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1第28页，课件共33页，创作于2023年2月,则对固定的

k设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小,而适中,则可以用近似公式第29页，课件共33页，创作于2023年2月例13有产品15000件，其中次品150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法一超几何分布解法二二项分布为次品率解法三泊松分布第30页，课件共33页，创作于2023年2月历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.

近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.

在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.

泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.第31页，课件共33页，创作于2023年2月都可以看作服从泊松分布.每天119收到的火灾报警次数；一个售货员接待的顾客