曲线的凸性与函数作图

曲线的凸性与函数作图第1页，课件共46页，创作于2023年2月5.1曲线的凸性向上凸的向下凸的第2页，课件共46页，创作于2023年2月如何定义函数的这种特性呢？先看向上凸的。第3页，课件共46页，创作于2023年2月第4页，课件共46页，创作于2023年2月定义第5页，课件共46页，创作于2023年2月定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凸的;(2)若恒有则称图形是凹的.函数凸性的等价定义第6页，课件共46页，创作于2023年2月引理f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点，总有

必要性

即证即由的凸性易知上式成立充分性

在I上任取两点上任取一点第7页，课件共46页，创作于2023年2月由必要性的推导逆过程，可证得故f为上的凸函数。注同理可证，f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点第8页，课件共46页，创作于2023年2月定理5.1'

设f(x)为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：证明：

要证f'(x)为I上的递增函数,I上两点及充分小的正数h，证明只需任取成立,由f(x)是可导函数，令时便可得结论.第9页，课件共46页，创作于2023年2月由于根据f的凸性及引理有应用拉格朗日中值定理得到结论,第10页，课件共46页，创作于2023年2月分别用λ和(1-λ)乘上列两式并相加，便得从而f(x)为I上的凸函数。注曲线y=f(x)总是在它的任一切线的上方对于凹函数，同样有类似的结论。论断的几何意义是：第11页，课件共46页，创作于2023年2月定理5.1设函数f在区间I上可导，则f在区间I上为凸函数的充分必要条件是：（凹函数）在区间I单调增加（单调减少）。证明：必要性：设f为I上的凸函数，则第12页，课件共46页，创作于2023年2月第13页，课件共46页，创作于2023年2月充分性：从而f为I上的凸函数，第14页，课件共46页，创作于2023年2月定理5.2(1)在I内则在I

内图形是凸的;(2)在I内则在

I

内图形是凹的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕第15页，课件共46页，创作于2023年2月例1.判断曲线的凸性.解:故曲线在上是下凸的.例2.判断曲线的凸性.解:故曲线在上是上凸的.在上是下凸的.第16页，课件共46页，创作于2023年2月一般地说，函数可能在它的定义域里的某些区间是凹的，在另一些区间是凸的，这样的区间称为函数的凹凸区间,讨论函数的凹凸区间，关键是找出凹凸区间的分界点,由上述定理知，二阶导数在其两侧异号的点——二阶导数为零的点、不连续的点和一阶、二阶导数不存在的点都是可能凹凸区间的分段点,第17页，课件共46页，创作于2023年2月例讨论函数的凸(凹)性区间.解由于因而当时，从而在上f为凸函数，第18页，课件共46页，创作于2023年2月故对任意的x(a,b),总有即x0为f(x)在(a,b)内的极小值点（而且为最小值点）。例若函数f(x)为定义在开区间（a,b）内的可导的凸（凹）函数，则为f的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即。证下面只证明f为凸函数的情形。必要性已由费马定理给出，现在证明充分性。由定理5.1'，任取（a,b）内的一点它与x0一起有第19页，课件共46页，创作于2023年2月例(詹森（Jensen）不等式)若f(x)为[a,b]上凸函数，则对任意有证用归纳法,当n=2时,由凸函数定义命题显然成立,设n=k时命题成立,即都有第20页，课件共46页，创作于2023年2月,由归纳法假设可推得证毕。第21页，课件共46页，创作于2023年2月其中，a,b,c均为正数。证

由f(x)的一阶和二阶导数为严格凸函数，依詹森不等式有第22页，课件共46页，创作于2023年2月例设f(x)为开区间I内的凸（凹）函数，证明:f(x)在I内任一点x0都存在左、右导数。证下面只证凸函数f(x)在x0存在右导数，同理可证也存在左导数和f(x)为凹函数的情形。由引理有由上式可见F为增函数,则对任何h>0,因而函数F(h)在h>0上有下界,第23页，课件共46页，创作于2023年2月定义：第24页，课件共46页，创作于2023年2月说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,第25页，课件共46页，创作于2023年2月注1

若是曲线的一个拐点，在的导数不一定存在．例如在x=0处。注2与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示,注3

曲线的拐点就是凹凸区间的分界点,因此应在使得y''=0和二阶不可导点所对应的曲线上的点中找拐点,注4

设f在x0的某邻域内有三阶连续导数,且第26页，课件共46页，创作于2023年2月例.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸第27页，课件共46页，创作于2023年2月例.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向下凸,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凸凸凹第28页，课件共46页，创作于2023年2月

.例曲线的下凸区间是上凸区间是拐点为提示:及

;

;第29页，课件共46页，创作于2023年2月有位于一直线的三个拐点.例求证曲线证明：第30页，课件共46页，创作于2023年2月令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.第31页，课件共46页，创作于2023年2月无渐近线.点M

与某一直线L的距离趋于0,5.2

曲线的渐近线定义.

若曲线

C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”第32页，课件共46页，创作于2023年2月1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.第33页，课件共46页，创作于2023年2月2.斜渐近线斜渐近线若第34页，课件共46页，创作于2023年2月例2.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.第35页，课件共46页，创作于2023年2月5.3函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周第36页，课件共46页，创作于2023年2月例1.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第37页，课件共46页，创作于2023年2月例2.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点第38页，课件共46页，创作于2023年2月3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义第39页，课件共46页，创作于2023年2月又因即5)求特殊点为斜渐近线第40页，课件共46页，创作于2023年2月6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无定义第41页，课件共46页，创作于2023年2月例3.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于

y

轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)第42页，课件共46页，创作于2023年2月(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线第43页，课件共46页，创作于2023年2月内容小结1.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续