2021年浙江省台州市中考数学试卷和答案

第1页（共36页）2021年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分）1．（4分）用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（）A．B．C．D．2．（4分）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线3．（4第1页（共36页）2021年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分）1．（4分）用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（）A．B．C．D．2．（4分）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线3．（4分）大小在和之间的整数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．（4分）下列运算中，正确的是（）第2页（共36页）A．a2+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a105．（4分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜46．（4分）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g），s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（）A．＜B．＞C．s2＞s12D．s2＜s127．（4分）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°8．（4分）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（第2页（共36页）A．a2+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a105．（4分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜46．（4分）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g），s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（）A．＜B．＞C．s2＞s12D．s2＜s127．（4分）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°8．（4分）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）A．24B．48C．12D．29．（4分）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20%B．×100%第3页（共36页）C．×100%D．×100%10．（4分）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°（阴影部分）面积为（）A．（36）cm2B．（36）cm2C．24cm2D．36cm2二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）因式分解：xy﹣y2＝第3页（共36页）C．×100%D．×100%10．（4分）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°（阴影部分）面积为（）A．（36）cm2B．（36）cm2C．24cm2D．36cm2二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）因式分解：xy﹣y2＝．12．（5分）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，该小球是红色的概率为．13．（5分）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12长度为．（结果保留π）14．（5分）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，则BF＝．第4页（共36页）15．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，B为圆心，大于，两弧交于D，E两点，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，连接AH．若BC＝3，则△AFH第4页（共36页）15．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，B为圆心，大于，两弧交于D，E两点，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为．16．（5分）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（2如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第5页（共36页）第22，23题每题12分，第24分14分，共80分）17．（8分）计算：|﹣2|+﹣．18．（8分）解方程组：．19．（8分）图1第5页（共36页）第22，23题每题12分，第24分14分，共80分）17．（8分）计算：|﹣2|+﹣．18．（8分）解方程组：．19．（8分）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）20．（8分）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20．（1）求证：△ABC≌△ADC；第6页（共36页）（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．22．（12分）杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组），统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．甲组杨梅树落果率频数分布表落果率组中值频数（棵）0≤x＜10%5%1210%≤x＜20%15%420%≤x＜30%25%230%≤x＜40%35%1第6页（共36页）（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．22．（12分）杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组），统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．甲组杨梅树落果率频数分布表落果率组中值频数（棵）0≤x＜10%5%1210%≤x＜20%15%420%≤x＜30%25%230%≤x＜40%35%140%≤x＜50%45%1第7页（共36页）（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%？（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．23．（12分）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b第7页（共36页）（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%？（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．23．（12分）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板0，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压第8页（共36页）（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．24．（14分）如图，BD是半径为第8页（共36页）（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．24．（14分）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧的中点．①求证：▱ABCD是菱形；②求▱ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．①求AB的长；②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．第9页（共36页）答案与卡片一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分）1．参考解答解：从正面看，底层是两个小正方形，形成一个“田”字．故选：B．2．参考解答解：从A地去往B地，打开导航，理由是两点之间线段最短，故选：A．3．参考解答解：∵2＜3＜8＜5，∴＜＜＜，即＜＜2＜，∴在和之间的整数有8个，故选：B．4．参考解答解：A、a2与a第9页（共36页）答案与卡片一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分）1．参考解答解：从正面看，底层是两个小正方形，形成一个“田”字．故选：B．2．参考解答解：从A地去往B地，打开导航，理由是两点之间线段最短，故选：A．3．参考解答解：∵2＜3＜8＜5，∴＜＜＜，即＜＜2＜，∴在和之间的整数有8个，故选：B．4．参考解答解：A、a2与a不是同类项，不能合并，B、原式＝a2b7，故B不符合题意．C、原式＝a3，故C符合题意．D、原式＝a7，故D不符合题意．故选：C．5．参考解答解：根据题意得△＝(﹣4)2﹣4m＞0，解得m＜4．故选：D．第10页（共36页）6．参考解答解：∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2＞该顾客选购的鸡蛋的质量方差s13，而平均数无法比较．故选：C．7．参考解答解：如图，∵∠1＝47°，∴∠3＝∠3+∠4＝92°，∵矩形对边平行，∴∠5＝∠6＝92°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．故选：B．8．参考解答解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b4＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则8ab＝24，所以第10页（共36页）6．参考解答解：∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2＞该顾客选购的鸡蛋的质量方差s13，而平均数无法比较．故选：C．7．参考解答解：如图，∵∠1＝47°，∴∠3＝∠3+∠4＝92°，∵矩形对边平行，∴∠5＝∠6＝92°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．故选：B．8．参考解答解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b4＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则8ab＝24，所以ab＝12，故选：C．9．参考解答解：由题意可得，第11页（共36页）混合后的糖水含糖：×100%＝，故选：D．10．参考解答解：根据翻折可知，∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝（∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠PAC）＝，∵∠α＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAC﹣∠α＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴AB＝＝8(cm)，AC＝＝2，∴阴影部分的面积＝S﹣S长方形△ABC＝12×3﹣6×）（cm²），故选：A．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30第11页（共36页）混合后的糖水含糖：×100%＝，故选：D．10．参考解答解：根据翻折可知，∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝（∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠PAC）＝，∵∠α＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAC﹣∠α＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴AB＝＝8(cm)，AC＝＝2，∴阴影部分的面积＝S﹣S长方形△ABC＝12×3﹣6×）（cm²），故选：A．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．参考解答解：原式＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．12．参考解答解：从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率P＝＝．故答案为：．13．参考解答解：长度＝，故答案为：2π．14．参考解答解：∵四边形ABCD是正方形，第12页（共36页）∴AB＝AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AE＝DG＝1，∴AG＝7，∵AF⊥EG，∴∠BAF+∠AEG＝90°＝∠BAF+∠AFB，∴∠AFB＝∠AEG，∴△ABF∽△GAE，∴，∴，∴BF＝，故答案为．15．参考解答解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB,则AF＝BF,可得AF＝AH,AC⊥FH,∴FC＝CH,∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3,∴△AFH的周长为:AF+FC+CH+AH＝2BC＝7．故答案为：6．16．参考解答解：由题意，t1＝,t2＝,h3＝第12页（共36页）∴AB＝AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AE＝DG＝1，∴AG＝7，∵AF⊥EG，∴∠BAF+∠AEG＝90°＝∠BAF+∠AFB，∴∠AFB＝∠AEG，∴△ABF∽△GAE，∴，∴，∴BF＝，故答案为．15．参考解答解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB,则AF＝BF,可得AF＝AH,AC⊥FH,∴FC＝CH,∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3,∴△AFH的周长为:AF+FC+CH+AH＝2BC＝7．故答案为：6．16．参考解答解：由题意，t1＝,t2＝,h3＝＝,h2＝＝,∵h1＝2h7，第13页（共36页）∴v1＝v5,∴t1：t2＝v3:v2＝,故答案为：．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24分14分，共80分）17．参考解答解：原式＝2+2﹣第13页（共36页）∴v1＝v5,∴t1：t2＝v3:v2＝,故答案为：．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24分14分，共80分）17．参考解答解：原式＝2+2﹣＝2+．18．参考解答解：，①+②得：3x＝3，即x＝3，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．19．参考解答解：如图，过点D作DG⊥AE于点G，∴DF＝GB，在Rt△GDE中，DE＝80cm，∴GE＝DE×cos48°≈80×0.67＝53.6（cm），∴GB＝GE+BE＝53.4+110＝163.6≈164（cm）．∴DF＝GB＝164（cm）．答：活动杆端点D离地面的高度DF为164cm．第14页（共36页）20．参考解答解：（1）250﹣75÷15×10＝250﹣50＝200（毫升）．故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，依题意有（t﹣20）＝160，解得t＝60．故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．21．参考解答解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）过点B作第14页（共36页）20．参考解答解：（1）250﹣75÷15×10＝250﹣50＝200（毫升）．故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，依题意有（t﹣20）＝160，解得t＝60．故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．21．参考解答解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）过点B作BE⊥AC于点E，如图所示，∵∠BCA＝45°，BC＝10，∴sin∠BCA＝sin45°＝＝＝,∴BE＝10，又∵在Rt△ABE中，AB＝20，∴∠BAE＝30°，又∵△ABC≌△ADC，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAC＝2∠BAE＝4×30°＝60°．第15页（共36页）22．参考解答解：（1）由甲组杨梅树落果率频数分布表知，甲组杨梅树的落果率低于20%的有：12+4＝16（棵），由乙组杨梅树落果率频数分布直方图知，乙组杨梅树的落果率低于20%的有：1+6＝2（棵）；（2）甲组落果率的中位数位于0~10%之间，乙组落果率的中位数是30%~40%之间，可见甲组的落果率远小于乙组，∴市农科所“用防雨布保护杨梅果实”确实有效果；（3）甲组落果率的平均数为：（12×8%+4×15%+2×25%+4×35%+1×45%）÷20＝12.5%，乙组落果率的平均数为：（8×5%+1×15%+2×25%+10×35%+5×45%）÷20＝33.5%，（甲组取中值33.7%﹣12.5%＝21%，∴落果率可降低21%．23．参考解答解：（1）将（0，240），0）代入R3＝km+b，得：，解得：．∴R6＝﹣2m+240（0≤m≤120）．(2)由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，即：可变电阻电压＝4﹣U0，第15页（共36页）22．参考解答解：（1）由甲组杨梅树落果率频数分布表知，甲组杨梅树的落果率低于20%的有：12+4＝16（棵），由乙组杨梅树落果率频数分布直方图知，乙组杨梅树的落果率低于20%的有：1+6＝2（棵）；（2）甲组落果率的中位数位于0~10%之间，乙组落果率的中位数是30%~40%之间，可见甲组的落果率远小于乙组，∴市农科所“用防雨布保护杨梅果实”确实有效果；（3）甲组落果率的平均数为：（12×8%+4×15%+2×25%+4×35%+1×45%）÷20＝12.5%，乙组落果率的平均数为：（8×5%+1×15%+2×25%+10×35%+5×45%）÷20＝33.5%，（甲组取中值33.7%﹣12.5%＝21%，∴落果率可降低21%．23．参考解答解：（1）将（0，240），0）代入R3＝km+b，得：，解得：．∴R6＝﹣2m+240（0≤m≤120）．(2)由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，即：可变电阻电压＝4﹣U0，∵I＝，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，∴．第16页（共36页）化简得：R1＝,∵R5＝30,∴,(3)将R6＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，得：﹣2m+240＝,化简得：m＝﹣（0≤m≤120）．(4)∵m＝中k＝﹣120<00≤2，∴m随U0的增大而增大，∴U0取最大值8的时候，mmax＝＝115．24．参考解答（1）①证明：∵＝,∴AD＝AB,∵四边形ABCD第16页（共36页）化简得：R1＝,∵R5＝30,∴,(3)将R6＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，得：﹣2m+240＝,化简得：m＝﹣（0≤m≤120）．(4)∵m＝中k＝﹣120<00≤2，∴m随U0的增大而增大，∴U0取最大值8的时候，mmax＝＝115．24．参考解答（1）①证明：∵＝,∴AD＝AB,∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．②解：连接OA交BD于J,连接OC．∵＝,∴OA⊥BD,∵四边形ABCD是菱形，第17页（共36页）∴AC⊥BD,∴A,O,C共线，在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2,∴OJ＝＝＝1,∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣8＝2,∵四边形ABCD是菱形，∴AJ＝CJ＝2,∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝＝8．（2）①解：当第17页（共36页）∴AC⊥BD,∴A,O,C共线，在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2,∴OJ＝＝＝1,∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣8＝2,∵四边形ABCD是菱形，∴AJ＝CJ＝2,∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝＝8．（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H,OD,过点A作AJ⊥BD于J．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD,∵CD∥AB,∴DP⊥AB,∴PA＝PB,第18页（共36页）∴DB＝AD＝4,∵四边形ABCD是平行四边形，∴DH＝BH＝4,∴OH⊥BD,∴∠DHO＝∠DPB＝90°,∵∠ODH＝∠BDP,∴△DHO∽△DPB,∴＝＝,∴＝＝,∴DP＝,PB＝,∴AB＝7PB＝,当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．综上所述，AB第18页（共36页）∴DB＝AD＝4,∵四边形ABCD是平行四边形，∴DH＝BH＝4,∴OH⊥BD,∴∠DHO＝∠DPB＝90°,∵∠ODH＝∠BDP,∴△DHO∽△DPB,∴＝＝,∴＝＝,∴DP＝,PB＝,∴AB＝7PB＝,当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．综上所述，AB的长为8或．②解：如图3﹣3中，过点A作AJ⊥BD于J．∵•AB•DP＝,第19页（共36页）∴AJ＝,∴BJ＝＝＝,∴JH＝BH＝BJ＝2﹣＝,∴tan∠AHJ＝＝＝,如图7﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，综上所述，▱ABCD第19页（共36页）∴AJ＝,∴BJ＝＝＝,∴JH＝BH＝BJ＝2﹣＝,∴tan∠AHJ＝＝＝,如图7﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，第20页（共36页）考点卡片1．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．第20页（共36页）考点卡片1．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．2．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．律方法】实数运算的“三个关键”第21页（共36页）1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．5．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n第21页（共36页）1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．5．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）第22页（共36页）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．6．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，第22页（共36页）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．6．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．7．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用第23页（共36页）这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．8．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，第23页（共36页）这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．8．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因第24页（共36页）式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．9．列代数式（分式）（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．②分清数量关系．③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．10．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝第24页（共36页）式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．9．列代数式（分式）（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．②分清数量关系．③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．10．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝第25页（共36页）静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．11．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的第25页（共36页）静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．11．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的第26页（共36页）数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．12．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题第26页（共36页）数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．12．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题第27页（共36页）正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．14．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．15．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一第27页（共36页）正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．14．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．15．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．16．线段的性质：两点之间线段最短线段公理第28页（共36页）两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．17．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．18．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：第28页（共36页）两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．17．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．18．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．19．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等第29页（共36页）的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．20．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．21．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．22．正方形的性质

第29页（共36页）的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．20．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．21．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．22．正方形的性质第30页（共36页）（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．23．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用第30页（共36页）（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．23．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．24．圆的综合题圆的综合题．25．作图—基本作图第31页（共36页）基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．26．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．27．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．

第31页（共36页）基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．26．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．27．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．第32页（共36页）28．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．29．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．30．简单组合体的三视图

第32页（共36页）28．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．29．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．30．简单组合体的三视图第33页（共36页）（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．31．频数（率）分布表1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．2、列频率分布表的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）将数据分组．（4）列频率分布表．第33页（共36页）（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．31．频数（率）分布表1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．2、列频率分布表的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来