单位根检验知识概述

第9章单位根检验9.1DF分布由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应幸免直接使用非平稳变量。因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在第二章中介绍用相关图推断时刻序列的平稳性。这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。先给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p.），yt=yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)(9.1)yt=+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)(9.2)yt=+t+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)(9.3)其中称作位移项（漂移项），t称为趋势项。显然，关于以上三个模型中的yt差不多上非平稳的。(9.1)式是无漂移项和趋势项的随机游走过程。见图9.1a。(9.2)式是随机趋势过程。将(9.2)式做如下变换则展示的更清晰。yt=+yt-1+ut=+(+yt-2+ut-1)+ut=…=y0+t+=t+(9.4)图9.1a由yt=yt-1+ut生成的序列图9.1b深圳股票综合指数（file:stock）这是一个趋势项和一个随机游走过程之和。因此称作随机趋势过程，见图9.2，尽管总趋势向上，但误差项上下漂动。因为对yt作一次差分yt=yt-yt-1=+ut（平稳）(9.5)序列就平稳了，因此也称yt为差分平稳过程。图9.2a由yt=0.1+yt-1+ut生成的序列图9.2b由yt=-0.1+yt-1+ut生成的序列（file:simu2）下面的随机过程yt=+t+ut(9.6)称作趋势平稳过程或退势平稳过程，即减去趋势后，为平稳过程。yt-t=+ut。确定性趋势过程见图9.3。图9.3yt=0.1t+ut生成的序列（file:simu2）图9.4yt=0.1+0.1t+yt-1+ut生成的序列（file:simu2）图9.4给出的是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。yt=+t+yt-1+ut=+t+(+(t-1)+yt-2+ut-1)+ut=…=y0+t+t2-(1+2+…+t)+=y0+t+t2-(1+t)t+=(-)t+t2+(设定y0=0)含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时刻t的2次方过程。这种过程在经济问题中特很多见。实际经济序列的增长趋势常常是指数形式的。如中国的国民收入和消费见图9.5。然而不管随机趋势过程依旧确定性趋势过程，所设定的趋势差不多上线性的。这是什么缘故？缘故是原序列取对数后，趋势项常是线性的。例如yt=et则Lnyt=t因此用经济序列建立模型之前应先取对数。对数的中国的国民收入和消费见图9.6。如此做的另一个好处是有助于消除异方差。图9.5中国的国民收入和消费图9.6对数的中国国民收入和消费证明可知，当T时，统计量DF====(9.7)同理，关于模型(9.2)和(9.3)的DF统计量的极限分布也是Wiener过程的函数。由于这些极限分布无法用解析的方法求解，一般差不多上用模拟和数值计算的方法进行研究。蒙特卡罗模拟方法得到的模型(9.1)、(9.2)和(9.3)的DF统计量的分布见图9.7。图9.7附表6DF分布百分位数表模型T0.010.0250.050.100.900.950.9750.9925-2.66-2.26-1.95-1.600.921.331.702.1650-2.62-2.25-1.95-1.610.911.311.662.08(a)100-2.60-2.24-1.95-1.610.901.291.642.03模型(9.1)250-2.58-2.23-1.95-1.620.891.291.632.01500-2.58-2.23-1.95-1.620.891.281.622.00-2.58-2.23-1.95-1.620.891.281.622.0025-3.75-3.33-3.00-2.63-0.370.000.340.7250-3.58-3.22-2.93-2.60-0.40-0.030.290.66(b)100-3.51-3.17-2.89-2.58-0.42-0.050.260.63模型(9.2)250-3.46-3.14-2.88-2.57-0.42-0.060.240.62500-3.44-3.13-2.87-2.57-0.43-0.070.240.61-3.43-3.12-2.86-2.57-0.44-0.070.230.6025-4.38-3.95-3.60-3.24-1.14-0.80-0.50-0.1550-4.15-3.80-3.50-3.18-1.19-0.87-0.58-0.24(c)100-4.04-3.73-3.45-3.15-1.22-0.90-0.62-0.28模型(9.3)250-3.99-3.69-3.43-3.13-1.23-0.92-0.64-0.31500-3.98-3.68-3.42-3.13-1.24-0.93-0.65-0.32-3.96-3.66-3.41-3.12-1.25-0.94-0.66-0.33t()N(0,1)-2.33-1.96-1.65-1.281.281.651.962.33注：1.适用于模型(9.1),(9.2)和(9.3),条件=1。T：样本容量，：检验水平。2.摘自Fuller(1976)第373页。9.2百分位数表Full(1976)用蒙特卡罗模拟方法得到DF统计量的百分位数表，见附表6。以模型(9.1)、(9.2)，(9.3)用蒙特卡罗方法模拟10000次得到的DF分布见图9.7。9.3进一步讨论以上三个自回归模型关于研究实际经济变量太严格，还应该进一步讨论在AR(p)模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用统计量的分布特征。（1）关于AR(p)过程yt=1yt-1+2yt-2+…+pyt-p+ut,(9.8)当yt中含有单位根时，能够通过如下模型研究=1条件下，检验用统计量DF的分布特征。yt=yt-1++ut,(9.9)其中=j*=-,j=1,2,…,p–1.i为(9.8)式中的自回归系数。（2）现在进一步放宽对yt的限制。考虑如下AR(1)过程yt=yt-1+ut,(9.10)其中同意随机项ut是一个ARMA(p,q)过程，甚至参数p,q的值也可未知。则能够用下式研究和DF统计量的分布。yt=yt-1+yt-i+,(9.11)若=1，上式是一个差分的AR(k)过程。加入yt滞后项的目的是捕捉(9.10)式误差项ut中的自相关。（ut的自相关项关于模型(9.10)来讲是移动平均项，因此yt滞后项的加入能够捕捉之。）因为可逆的移动平均过程能够转化为一个无限阶的自回归过程，因此对ut而言的移动平均项vt,t=1,…,q完全能够通过增加ut的滞后项而汲取。进而被足够的yt-i项所汲取。从而使近似为一个白噪声过程。单位根检验关于时刻序列yt可用如下自回归模型检验单位根。yt=yt-1+ut,(9.12)零假设和备择假设分不是，H0：=1，（yt非平稳）H1：<1，（yt平稳）在零假设成立条件下，用DF统计量进行单位根检验。DF==(9.13)其中s(u)=(9.14)以附表6中a部分的相应百分位数作为临界值，若用样本计算的DF>临界值，则同意H0，yt非平稳；DF<临界值，则拒绝H0，yt是平稳的。图9.8注意：1.因为用DF统计量作单位根检验，因此此检验称作DF检验（由Dickey-Fuller提出）。2.DF检验采纳的是OLS可能。3.DF检验是左单端检验。因为>1意味着强非平稳，<1意味着平稳。当同意<1，拒绝=1时，自然也应拒绝>1。4.用模型(9.12)检验单位根，临界值应从附表6的a部分查找。上述DF检验还可用另一种形式表达。(9.12)式两侧同减yt-1，得yt=(-1)yt-1+ut,(9.15)令=-1，代入上式，yt=yt-1+ut,(9.16)与上述零假设和备择假设相对应，用于模型(9.15)的零假设和备择假设是H0：=0，（yt非平稳）H1：<0，（yt平稳）这种变化并不阻碍DF统计量的值，因此检验规则仍然是若DF>临界值，则yt是非平稳的；若DF<临界值，则yt是平稳的。这种检验方法是DF检验的常用方法。（便于在计算机上实现）举例讲明以上两种单位根检验方法的DF值相同。用同一组数据yt得到的两个回归结果如下（括号内给出的是标准差），=0.1474yt-1(9.17)(0.1427)s.e.=0.87,DW=1.93=-0.8526yt-1+ut(9.18)(0.1427)s.e.=0.87,DW=1.93对应(9.17)式，因零假设是=1，因此统计量的计算方法是DF==-5.97对应(9.18)式，因零假设是=0，因此统计量的计算方法是DF==-5.97两种计算方法的结果相同。因为-5.97<-1.95（临界值），因此拒绝H0，认为yt是平稳的。注意：1.(9.16)式中yt和yt-1的下标分不为t和t-1，计算时不要用错！2.在实际检验中，若H0不能被拒绝，讲明yt是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列）。接下来应该接着检验yt的平稳性。即2yt=yt-1+ut,(9.19)直至结论为平稳为止。从而获知yt为几阶单整序列。3.当模型(9.12)中含有位移项和趋势项t，yt=+yt-1+ut(9.20)yt=+t+yt-1+ut(9.21)检验用临界值应分不从附表6的b,c部分中查找。4.(9.16)式的残差序列不能存在自相关。如存在自相关，讲明yt不是一个AR(1)过程，为AR(p)形式，应采纳如下形式检验单位根。yt=yt-1+yt-i+,(9.22)因为上式中含有yt的滞后项，因此关于=0（yt非平稳）的检验称为增项DF检验或ADF检验。模型(9.9)研究的确实是这种条件下的DF分布。注意：1.(9.22)式中yt滞后项个数k的选择准则是=1\*GB3①尽量小，以保持更大的自由度；=2\*GB3②充分大以消除内的自相关。2.上式中检验单位根的统计量近似服从标准的DF分布，因此检验用临界值能够从附表6a部分中查找。3.当(9.22)式中含有位移项和趋势项t时，相应ADF检验用临界值应分不从附表6b,c部分中查找。4.因为实际经济时刻序列一般可不能是一个AR(1)过程，因此最常用的单位根检验方法是ADF检验（增项DF检验）。实际中并不明白被检验序列的d.g.p.属于哪一种形式，(9.1)、(9.2)依旧(9.3)式。如何样选择单位根检验式呢？一般方法是当被检验序列中存在趋势项时，则应该采纳(9.3)式和(9.2)式。如不存在趋势项时，则应该采纳(9.1)式。单位根检验举例：案例1：（file:b4c1）日本失业率时刻序列的平稳性分析。图9.9a图9.9b1948-1996年日本失业率（yt）数据见附表。相应变化曲线及差分序列曲线见图9.9。由于东西方企业经营治理模式的差异以及第二次世界大战后日本经济增长率一直高于其他西方工业化国家，因此日本的失业率与西方要紧工业化国家相比一直是专门低的。但从日本失业率时刻序列本身来看，仍存在着激烈的波动。近年来随着日本经济增长率越来越低甚至停滞，失业率有逐年上升的趋势。表9.1日本失业率数据定量分析1948-19961948-19731974-1996(平均失业率)0.01910.01480.0239s(失业率标准差)0.00650.00470.0045s/(变异系数)0.34030.31760.1883若以1973年发生世界性石油危机为界，把日本失业率序列分为两部分。所得定量分析结果见表9.1。日本49年间的平均失业率为1.91%，1948-1973年为1.48%，1974-1996年为2.39%。1948年失业率最低为0.7%，1996年最高为3.4%。两年相比失业率几乎增长了近4倍。日本失业率的变化与经济进展速度紧密相关。至第二次世界大战结束，日本共损失国内总资产的1/4，国民经济遭受重创。由于其智力资源还在，因此1948-1950年期间，尽管出现了严峻的通货膨胀，国民经济仍表现出超高速增长。因而失业率专门低（1%以下）。1950-1953年由于朝鲜战争，日本成了美国的物资供应基地。在一定程度上刺激了日本经济的进展。这一时期失业率仅为1.1%左右。1953至1958日本经济平均年增长率为6.9%明显低于前一个时期，致使失业率有所上升，一度高达2.5%。整个60年代是日本经济进展最快的时期。年平均增长率为10%。在这10年里，国民生产总值（GNP）连续超过了加拿大，英国，法国和原西德。一跃仅次于美国，在西方工业化国家中排行第二。经济的高速增长导致了低失业率（回落到1.3%左右）。1970-1973年经济增长率也保持在7.8%，因此70年代最初几年失业率仍维持一个较低水平。由于日本对石油几乎全部依靠进口，当1973年爆发中东石油危机后，给日本经济带来了严峻打击，1974年的经济增长为-1.3%。随后10年（1974-1984）经济平均增长仅为4%，远不如60年代的增长水平，因此失业率有所上升，维持在2%左右。1985和1986年由于受日元（对美元）升值的阻碍（从250日元兑1美元变为123日元兑1美元）给日本经济带来困难。1986年经济增长率仅为2.6%，从而使失业率达到新高（2.8%）。随着1986年以后经济增长率的回升，失业率又有所下降。自1992年起，日本经济由于受长期以来经济结构的不合理以及房地产业超常膨胀等因素阻碍，导致银行业不良债权大幅增加，从而进入衰退期。近几年日本经济几乎处于停滞状态。失业率则逐年攀升，1996年达3.4%。2000年4月份已逼近5%，为战后最高值。表9.2给出日本失业率序列的单位根检验结果。三个ADF回归式都表明，失业率序列是一个非平稳序列。失业率差分序列的ADF检验结果见表9.5。三个单位根检验回归式都显示失业率差分序列yt是一个平稳序列。综合以上分析，日本失业率时刻序列是无趋势项、无漂移项的单位根过程。表9.2检验式（1）显示序列中无时刻趋势项。检验式（2）显示序列中无漂移项。检验式（3）是最终检验式。日本失业率序列非平稳。表9.2日本失业率时刻序列（yt）的单位根检验编号ADF回归Ts.e.DW临界值1yt=0.0017+0.0001t-0.1491yt-1+0.4675yt-1(1.64)(1.91)(-2.21)*(3.42)470.0021.86-3.502yt=0.0016-0.0668yt-1+0.4270yt-1(1.49)(-1.25)*(3.07)470.0021.80-2.933yt=0.0090yt-1+0.4006yt-1(0.55)*(2.86)470.0021.82-1.95注：带*号括号内数字为ADF值，不带*号括号内数字为t值。接着检验日本失业率序列的差分序列。因为日本失业率序列中没有漂移项、趋势项，因此直接用表9.3检验式（2）、（3）即可。见检验式（1），即便加了漂移项，可能结果也没有显著性。表9.3日本失业率差分序列（Δyt）的单位根检验编号DF,ADF回归Ts.e.DW临界值12yt=0.0004-0.7538yt-1+0.22842yt-1(1.15)(-4.55)*(1.54)460.0021.85-2.9322yt=-0.7080yt-1+0.20462yt-1(-4.39)*(1.39)460.0021.84-1.9532yt=-0.5787yt-1(-4.33)*470.0021.82-1.95注：带*号括号内数字为DF,ADF值，不带*号括号内数字为t值。注意：ADF检验式只是一个判不平稳性的检验式，与建立时刻序列模型不是一回事。案例2（file:japopu）日本人口序列的平稳性分析。