学案1平面向量的基本概念及线性运算

学案1平面向量的基本概念及线性运算平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.

主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大.1.向量的有关概念(1)向量:既有

,又有

的量叫做向量,向量的大小叫做向量的

(或模).(2)零向量:

的向量叫做零向量,其方向是

的.(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a

且长度等于

的向量,叫做向量a的单位向量.大小方向长度长度为0任意同方向1(4)平行向量:方向

或

的

向量.平行向量又叫

,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定:0与任一向量

.(5)相等向量:长度

且方向

的向量.(6)相反向量:长度

且方向

的向量.2.向量的加法和减法(1)加法①法则:服从三角形法则、平行四边形法则.②运算性质:相同相反非零共线向量平行相等相同相等相反名师伴你行SANPINBOOKa+b=

(交换律);(a+b)+c=

(结合律);a+0=

=

.(2)减法①减法与加法互为逆运算;②法则:服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下:①|λa|=

;b+aa+(b+c)0+aa|λ|·|a|②当

时,λa与a的方向相同;当

时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=

.(2)运算律:设λ,μ∈R,则①λ(μa)=

;②(λ+μ)a=

;③λ(a+b)=

.4.平行向量基本定理向量a与b(b≠0)平行的充要条件是.有且只有一个实λ>0λ<00

(λμ)a

λa+μaλa+λb数λ,使得a=λb下列命题中：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB与向量CD共线，则A,B,C,D四点共线；④如果a∥b,b∥c，那么a∥c.正确的个数为()A.1B.2C.3D.0考点1向量的有关概念【分析】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键.注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【解析】①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如b=0时，则a与c不一定共线.故应选D.【评析】

（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.（2）由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|,则a>b;（2）若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|a|=|b|,且a与b的方向相同，则a=b;（4）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；（5）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.【解析】（1）不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确.（2）不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向.（3）正确.∵|a|=|b|,且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=b.（4）不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确.（5）正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可以任意平行移动的.［2010年高考大纲全国卷Ⅱ］在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【分析】利用角平分线的性质可解出AD与DB的关系，再利用向量的线性运算求解.考点2向量的线性表示【解析】如图所示,∠1=∠2,∴∴∴CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故应选B.

【评析】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.【解析】设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

【分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向量共线的条件a=λb(b≠0).考点3向量的共线问题【解析】(1)证明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.∴AB,BD共线,又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.【评析】(1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数λ使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.【解析】1.向量不同于数量.向量既有大小，又有方向.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

2.向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实质上是向量的伸缩.

3.数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相等可以灵活地平移向量.

4.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行