解方程组【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升 （ 含答案解析 ）

专题25解方程组一、换元法解方程组【典例】阅读材料：小明在解方程组时，采用了“整体代换”的解法，方法如下：将方程②变形为，即③，将方程①代入③得，把代入①，解得，∴方程组的解为.（1）试用“整体代换”法，解方程组；（2）已知x、y满足方程组，求的值.【解答】（1）由②得，即，将①代入③，得，把代入①得，∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，由①+②×2，得，即.【巩固】解方程组.【解答】设，则原方程组可化为，解得，即，∴原方程组的解为.二、绝对值方程组【典例】解下列方程组（1）； （2）.【解答】（1）若，则原方程组为，解得，矛盾；若，则原方程组为或，解得.（2）由可得，，可得，将代入，解得，，∴原方程组的解为.【巩固】解下列方程组（1）； （2）【解答】（1）当时，原方程组可化为，无解；当时，原方程组可化为，解得（不合题意，舍去）；当时，原方程组可化为，解得；当时，原方程组可化为，解得无解；综上，原方程组的解为.（2）由得，，将①代入得，解得，将代入，得，，方程无解，解方程②得，∴原方程组的解为.三、方程组解的情况【学霸笔记】1. 关于x、y的方程组的解的讨论，若c、d、n均不为0，则：（1）若，则方程有唯一一组解；（2）若，则方程有无数组解；（3）若，则方程无解；2. 对于系数含有字母的二元一次方程组的解的讨论，基本思想是把对方程组的解的讨论转化为一元一次方程的解的讨论.【典例】关于x，y的方程组x+ay+1=0bx-2A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1【解答】解：由关于x，y的方程组x+ay+1两式相减得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0，∵方程组有无数组解，∴1﹣b＝0，a+2＝0，解得：a＝﹣2，b＝1．故选：B．【巩固】已知关于x，y的方程组ax+分别求出当a为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．【解答】解：由①得，2y＝（1+a）﹣ax，③将③代入②得，（a﹣2）（a+1）x＝（a﹣2）（a+2），④（1）当（a﹣2）（a+1）≠0，即a≠2且a≠﹣1时，方程④有唯一解x=a+2a+1，将此x值代入③有y（2）当（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）≠0时，即a＝﹣1时，方程④无解，因此原方程组无解；（3）当（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）＝0时，即a＝2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．巩固练习1．对于实数，规定新运算：x※y＝ax+by﹣xy，其中a、b是常数，等式右边是通常的加减乘除运算．已知：2※1=-2，（﹣3）※2=82，则aA．6﹣22 B．6+22 C．4+2 D．4﹣3【解答】解：根据题中的新定义得：2a+b-解得：a=-则原式＝（-2）※2＝2+4+22=6+2故选：B．2．若x=1y=-2，x=-2y=1是方程mx+nyA．0 B．﹣2 C．﹣12 D．12【解答】解：∵x=1y=-2，x=-2y=1∴m﹣2n＝6，﹣2m+n＝6．∴m＝﹣6，n＝﹣6．∴m﹣n＝﹣6﹣（﹣6）＝0．故选：A．3．已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=4k+12x+y=5-k的解满足x【解答】解：方程组x+2①+②得，3x+3y＝3k+6，即x+y＝k+2，又x+y＝5，所以k+2＝5，即k＝3，故答案为：3．4．对于任意实数a、b、c、d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u、v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为．【解答】解：∵（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），∴（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx），∵（u，v）△（x，y）＝（u，v），∴ux+vy=uuy+vx=v∵对于任意实数u、v，该方程组都成立，∴x＝1，y＝0，故答案为x＝1，y＝0．5．解方程组：（1）x+2（2）y3【解答】解：（1）整理得：8x①﹣②得：3x＝3，解得：x＝1，把x＝1代入①得：8﹣9y＝﹣19，解得：y＝3，则方程组的解为x=1y=3；（2①×6﹣②得：﹣19y＝﹣114，解得：y＝6，把y＝6代入①得：x﹣12＝﹣19，解得：x＝﹣7，则方程组的解为x=-6．对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by+5，其中a，b为常数．已知1*2＝9，（﹣3）*3＝2，求a，b的值．【解答】解：由题意得：a+2解得：a=2答：a为2，b为1．7．已知关于x，y的二元一次方程组3x-y=（1）求x，y的值；（2）求a2+b2﹣2ab的值．【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组3x-y=∴可得新方程组3x解这个方程组得x=1（2）把x＝1，y＝﹣2代入2ax+得2a解得：a=2∴a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝1．8．（1）求方程15x+52y＝6的所有整数解．（2）求方程x+y＝x2﹣xy+y2的整数解．（3）求方程1x【解答】解：（1）观察易得一个特解x＝42，y＝﹣12，原方程所有整数解为x=42-52（2）原方程化为（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，由此得方程的解为（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）．（3）∵1x＜1x+1y+1z≤3x，即1x＜即1y＜13≤2y，由此得y＝4，或5或6，同理当x＝3时，y＝3或4，由此可得1≤x≤y≤z时，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4组，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，39．已知：4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），求代数式5x【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），∴4x解关于x、y的二元一次方程，得x=3zy=210．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，b2+（1）判断点A（2，3）是否为完美点．（2）已知关于x，y的方程组x+y=6x-y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（【解答】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，b2+1＝3，可得b＝∵2a﹣b≠6，∴A（2，3）不是完美点．（2）∵x+y=6∴x=33+m＝a﹣1，可得a＝m+4，3﹣m=b2+1，可得b＝4﹣∵2a﹣b＝6，∴2m+8﹣4+2m＝6，∴m=1∴当m=12时，点B（x，11．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题：（1）[﹣4.5]＝，＜3.5＞＝．若[x]＝5，则x的取值范围是；若＜y＞＝﹣2，则y的取值范围是．（2）如果[x+12]＝3，求满足条件的所有正整数（3）已知x，y满足方程组3[x]+2＜y＞【解答】解：（1）由题意得：[﹣4.5]＝﹣5，＜3.5＞＝4．故答案为：﹣5，4；∵[x]＝5，∴x的取值范围是5≤x＜6；∵＜y＞＝﹣2，∴y的取值范围是﹣3≤y＜﹣2；故答案为：5≤x＜6，﹣3≤y＜﹣2；（2）根据题意得：3≤x+1解得：5≤x＜7，则满足条件的所有正整数为5，6．（3）解方程组得：[x]=-故x的取值范围为﹣1≤x＜0，y的取值范围为2≤y＜3．12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③③×17得：17x+17y＝17．④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．所以这个方程组的解是x=-1y=2．（（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+【解答】解：（1）1996x+②﹣①得：20