圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线中，椭圆和双曲线是常用的二级结论。它们之间有对偶结论。椭圆和双曲线的标准方程分别为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>b>0)$$$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>0,b>0)$$其中，焦点分别为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，离心率为$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$（椭圆）或$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$（双曲线），焦距为$2c=2ae$。点$P$到焦点的距离分别为$PF_1=a+ex$和$PF_2=a-ex$，焦半径分别为$PF_1=a+e\cdotx$和$PF_2=a-e\cdotx$。焦半径的范围为$a-c\leqPF_1\leqa+c$（椭圆）或$PF_1\geqa+c$（双曲线）。椭圆和双曲线的通径分别为长轴和短轴，通径的长度为$2b$。对于椭圆，过焦点$F_1$与长轴垂直的弦称为通径；对于双曲线，过焦点$F_1$与实轴垂直的弦称为通径。通径的长度满足$2b^2/a$。若直线$l$过椭圆的焦点$F_1$与椭圆相交于$A,B$两点，则$\triangleABF_2$的周长为$4a$。若直线$l$过双曲线的焦点$F_1$与双曲线相交于$A,B$两点，则$F_2A+F_2B-AB=4a$。若直线$l$倾斜角为$\alpha$，过椭圆的焦点$F$与椭圆相交于$A,B$两点，则焦点弦$AB$的长度为$2ab\sqrt{\frac{(a-b)^2}{a^2}\sin^2\alpha+b^2}$。若直线$l$倾斜角为$\alpha$，过双曲线的焦点$F$与双曲线相交于$A,B$两点，则焦点弦$AB$的长度为$2ab\sqrt{\frac{(a+b)^2}{a^2}\sin^2\alpha-b^2}$。最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。已知点$P$在椭圆上，则点$P$到坐标原点$O$的距离满足$b\leqOP\leqa$。已知点$P$在双曲线上，则点$P$到坐标原点$O$的距离满足$OP\geqa$。已知$\angleF_1PF_2=\theta$，$\anglePF_1F_2=\alpha$，$\anglePF_2F_1=\beta$，则有：\begin{align*}\text{椭圆：}\quad&S_{\trianglePF_1F_2}=b\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\\&e=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}+\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\\\text{双曲线：}\quad&S_{\trianglePF_1F_2}=b\cot\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}ab\sinh\alpha\\&e=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}-\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\end{align*}对于双曲线，若点$P$不在实轴上，则点$P$到实轴的距离为$|a\sec\alpha|$。对于椭圆，若点$P$不在长轴上，则点$P$到长轴的距离为$|a\cos\alpha|$。已知直线l与椭圆相交于A,B两点，其中点M为AB的中点，O为原点。根据垂径定理，我们可以得到OM与AB的斜率乘积等于b^2/a^2。同样的结论也适用于直线l与双曲线的渐近线相交于A,B两点的情况。已知点A,B为椭圆长轴端点（或短轴端点），点P为椭圆上异于A,B的一点。根据椭圆的性质，我们可以得到kPA/kPB等于-b/2a。同样的结论也适用于点A,B为双曲线实轴端点，点P为双曲线上异于A,B的一点的情况。已知点A,B为椭圆上关于原点对称的两点，点P为椭圆上异于A,B的一点，且直线PA,PB的斜率存在且不为零。根据椭圆的性质，我们可以得到kPA+kPB等于-b^2/2ak，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴。同样的结论也适用于点A,B为双曲线上关于原点对称的两点，点P为双曲线上异于A,B的一点，且直线PA,PB的斜率存在且不为零的情况。已知直线l过双曲线焦点F(c,0)与双曲线相交于A,B两点，且点P在双曲线上。根据双曲线的性质，我们可以得到∠APF=∠BPF（即kPA+kPB=0）。已知点P(x,y)在椭圆上，则椭圆在点A,B两点处的斜率之和等于-b^2/2a。同样的结论也适用于点P(x,y)在双曲线上的情况，此时双曲线在点P处的切线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（对于双曲线的另一支，切线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=-1）。对于双曲线，当过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线斜率为k时，交点个数有五种情况，具体可以根据斜率k与k0（即过双曲线焦点的直线斜率）的大小关系来判断。另外，对于双曲线2x^2/a^2-2y^2/b^2=1，焦点为F(c,0)。1.对于双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，焦点为F，过点F作双曲线的其中一条渐近线，垂足为H，O为原点，则OH$=a$，FH$=b$。2.对于双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，点P是双曲线上任意一点，则点P到双曲线的渐近线的距离之积为定值$\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$。3.对于双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，点P是双曲线上任意一点，过点P作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于M、N两点，O为原点，则平行四边形OMPN的面积为定值$ab$。4.对于抛物线方程$y=2px(p>0)$，准线$x=-\frac{p}{2}$与x轴相交于点P，过焦点$F(\frac{p}{2},0)$的直线l与抛物线相交于A$(x_1,y_1)$、B$(x_2,y_2)$两点，O为原点，直线l的倾斜角为$\alpha$。-$x_1=-\frac{p}{2}\tan\alpha+\sqrt{p^2\sec^2\alpha-4p^2}$，$y_1=2px_1$；-$x_2=-\frac{p}{2}\tan\alpha-\sqrt{p^2\sec^2\alpha-4p^2}$，$y_2=2px_2$。-焦半径$AF=\sqrt{(x_1+\frac{p}{2})^2+y_1^2}=x_1+\frac{p}{2}=\frac{2p}{\sin\alpha}$。-焦点弦$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\frac{2p}{\sin\alpha}$。-$AF\cdotBF=p^2$。-三角形AOB的面积$S_{\triangleAOB}=\frac{p^2}{2\sin\alpha}$。-以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；以焦半径AF为直径的圆与y轴相切。-