2023届上海市浦东新区高三年级上册学期一模数学试题【含答案】

浦东一模高三数学

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每

题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分

或5分，否则一律得零分.

1.设集合4=（—2乂），3=（一3,1）,则"8=

2.若暴函数卜二£的图象经过点（6口），则实数.

3.函数y=1°g2（2-x）定义域为.

4.（*+2）的二项展开式中/的系数为

5.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形.则圆锥的侧面积是.

sinfa+-^=~tanfa+—1=

6.已知。为锐角，若I5,则I4J

7.已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，

小数部分为“叶”，则这组数据的方差为.（精确到0.01）

568

62366

734

8.己知抛物线C：y=I6x的焦点为尸，在c上有一点「满足归尸|=13,则点P到x轴的

距离为.

9.某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域

的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是.

10.如图，在-ABC中，点。、E是线段8c上两个动点，且A°+A'=xA8+yAC,,

19

----1----

则“y的最小值为.

BDEC

11.已知定义在（一兀兀）上的函数/（x）=X8S（X+0）-8•（（）＜。＜兀）为偶函数，则

/（X）的严格递减区间为.

12.已知项数为,〃的有限数列｛4｝（'""〃叱2）是［,2）3，…，切的一个排列,若

少一!

何|电-蜀＜…4%-矶且目%4+/〃2+2,则所有可能的加值之和为

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案,

考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对

得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.

13.已知x,yeR,则“1*+川=|》|+及j是“孙的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D,既不充分又不必要条件

14.虚数的平方是（）

A.正实数B.虚数C.负实数D.虚数或

负实数

15.已知直线/与平面a相交，则下列命题中，正确个数为（）

①平面。内的所有直线均与直线/异面；

②平面a内存在与直线/垂直的直线；

③平面a内不存在直线与直线/平行；

④平面a内所有直线均与直线/相交.

A1B.2C.3D.4

16.已知平面直角坐标系中的直线4:y=3x、，2：y=-3x.设到4、4距离之和为2Pl的点

的轨迹是曲线G，4、6距离平方和为2P2的点的轨迹是曲线,其中P］、P2＞0.则C,、

公共点的个数不可能为（）

A.0个B.4个C.8个D.12个

三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相

应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.已知数列｛4｝是公差不为0的等差数列，q=4,且％,%，%成等比数列.

（1）求数列｛勺｝的通项公式；

（2）求当〃为何值时，数列｛4｝前〃项和S“取得最大值.

18.如图，三棱锥P—ABC中，侧面垂直于底面ABC,PA=PB，底面ABC是斜边

为AB的直角三角形，且NA5C=30°,记。为A8的中点，E为0C的中点.

（1）求证：PC1AE；

（2）若AB=2，直线尸C与底面ABC所成角的大小为60。，求四面体以OC的体积.

19.在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABC。所示.为考虑露营客人娱乐

休闲的需求，在四边形ABCQ区域中，将三角形A3。区域设立成花卉观赏区，三角形BCQ

区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、0A修建观赏步道，边8。修建隔离防护栏，其中

（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防

护栏（精确到01米）？

（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形A8CO区域时，首先保证烧烤区的占地面积最

大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

20.已知耳、K分别为椭圆G：、+:/=i的左、右焦点，直线4交椭圆G于A、B两点.

（）求焦点、的坐标与椭圆的离心率弓的值;

iGF2C1

（2）若直线4过点入且与圆V+y2=i相切，求弦长|AB|的值；

⑶若双曲线。2与椭圆共焦点，离心率为02,满足02=2耳，过点鸟作斜率为攵（攵/0）的

直线4交G的渐近线于C、。两点，过C、。的中点M分别作两条渐近线的平行线交G于

P、。两点，证明：直线PQ平行于儿

21.已知定义域为R的函数y=/（x）.当aeR时，若g（%）=.'"）一,（"）（x>是严格

x—a

增函数,则称/（X）是一个“丁（。）函数”.

（1）分别判断函数/（x）=5x+3、♦（x）=2d+x+2是否为T⑴函数;

e“X<0

（2）是否存在实数b,使得函数〃x>0，是7（一1）函数？若存在，求实数

b取值范围；否则，证明你的结论；

（3）已知/（x）=e'（/2+i）,其中qcR.证明：若J'（x）是R上的严格增函数，则对任

意〃eZ,4x）都是T（〃）函数.

浦东一模高三数学

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每

题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分

或5分，否则一律得零分.

1.设集合4=（一2,2）,8=（-3,1）,则A3=

【答案】（-2,1）

【解析】

【分析】根据交集的定义计算即可.

【详解】因为A=（-2,2）,3=（-3,1）,

所以Ac3=（—2,1）,

故答案为：（-2,1）.

2.若幕函数旷=^的图象经过点（君,3）,则实数。=.

【答案】4

【解析】

【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求〃即可.

【详解】因为幕函数y=x"的图象经过点（招,3）,所以3=（折）”，

所以3=3：，所以a=4,

故答案为：4.

3.函数y=log2（2-x）的定义域为.

【答案】（TO,2）

【解析】

【分析】由真数大于0求出定义域.

【详解】由题意得：2-%>0,解得：x<2,

故定义域为（F,2）.

故答案为：（—8,2）.

4.（x+2）5的二项展开式中x2的系数为.

【答案】80

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】（x+2）5的二项展开式中含X2的项为C：♦F.23=80/,

所以/的系数为80.

故答案为：80

5.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形.则圆锥的侧面积是.

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式S=7T”求得结

果.

【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径一=’,母线/=1,

2

7T

故圆锥的侧面积5=兀〃=—.

2

故答案为：

2

6.已知a为锐角，若sin[a+/）=],则tan（a+：）=.

【答案】-7

【解析】

【分析】由条件结合诱导公式可求cosa,再由同角关系求tanc,结合两角和正切公式求

【详解】因为33

sina+5=§，所以cose=g，又a为锐角，所以

sina=Jl-cos2a=—,tana==—,所以

5cosa3

7t,4

/、tana+tan1+—

tan|a+—|=---------------=——j=-7.

I4J,n,4

'/1-tanatan1-

43

故答案为：-7.

7.已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”,

小数部分为“叶”，则这组数据的方差为.（精确到0.01）

568

62366

734

【答案】0.36

【解析】

【分析】先求样本数据的平均数，再由方差的定义求方差.

5.6+5.8+6.2+6.3+6.6+6.6+7.3+7.4

【详解】由已知样本数据的平均数为=6.475,

8

所以样本数据的方差

22222

5=1[(5.6—6.475)2+(58—6.475)2+(62-6.475)+(6.3-6.475)+(6.6-6.475)+(6.6-6.475)+

化简可得,

S2T(—0.875)2+(—0.675)2+(—0.275)2+(—0.175)2+(0.125)2+(0.125)2+(0.825)2+(0.925)2

所以/=-x2.895*0.36.

8

故答案为：0.36.

8.已知抛物线。：丁=16%的焦点为产，在C上有一点P满足归尸|=13,则点p到x轴的

距离为.

【答案】12

【解析】

【分析】由条件结合抛物线的定义求出点。横坐标，再由抛物线方程求其纵坐标，由此可

求点P到x轴的距离.

【详解】因为抛物线。的方程为/二需8,所以其焦点厂的坐标为（4,0）,其准线方程为

设点P的坐标为（小，%），因为|PF|=13,所以点尸到准线x=T的距离为12,即

%+4=13,

所以X。=9,因为点尸（X。，儿）在抛物线y2=16x上，

所以y；=16x9=144,所以%=±12,

所以点尸的坐标为（9,12）或（9,一12）,故点尸到x轴的距离为12.

故答案为：12.

9.某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域

的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是.

…小18

【答案】行

【解析】

【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名

医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率.

【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有C；种，再求出选出的3

名医生中恰有1名女医生的组合有C；C；种，所以事件恰有1名女医生的概率

2=竺

C；35,

1Q

故答案为：—

35

10.如图，在ABC中，点。、E是线段BC上两个动点，且AO+AE=xAB+yAC,,

19

则一+一的最小值为______.

xy

BDEC

【答案】8

【解析】

【分析】以向量ABAC为基底，表示向量AD,AE,结合平面向量基本定理可得x+y=2,

19

再利用基本不等式求一+一的最小值.

xy

【详解】设8O=4BC，EC=〃BC,则0W2W1,0<//<1,

AD^AB+BD^AB+ABC-AE=AC+CE=AC-pBC,所以

AD+AE=AB+ACj.i)BC=AB+AC^AC-AB),

所以AD+AE=(1—X+AB+(1+2—/z)AC,又AD+AE—xAB+yAC>

所以x=l-4+〃,y=1+/1—〃，所以x+y=2,

因为0W/IW1,0<//<l,所以一IV—〃<0,,所以041+4—〃<2,

即0<y<2，同理可得0WxW2,若y=0则，〃一彳=1,因为DB=_/IBC，

EC=nBC,所以加+或=8。，所以。»=3C+CE=5E，即力=0,此时

B,D,E三点重合,与已知矛盾，所以0<y42,同理0<xW2

19if19>、1(,八y9xy11,八c」9尤1o

所以—I—=——I—(x+y)=-10H--1>—10+2/-----=8,

Xy2(Xy)21xyj2(\yJ

y9x13

当且仅当二=——，即尤=—,y=一时取等号；

xy2'2

19

所以一+一的最小值为8.

xy

故答案为：8.

11.已知定义在(一兀,兀)上的函数/(x)=xcos(x+°)-cosJt(0<o<7i)为偶函数，则

/(X)的严格递减区间为.

【解析】

【分析】由偶函数的性质求夕，再由导数与函数的单调性的关系求/(%)的严格递减区间.

【详解】因为函数〃X)=XCOS(X+0)-COSX(O<0〈兀)在(一兀,兀)为偶函数，

所以/(-X)=f(一X)恒成立，即-XCOS(-X+0)-COS(-x)=宜OS(X+0)-COSX,

所以cos(x+°)+cos(x-0)=O,所以cosxcos0=0,又0<0(兀，故夕=5，

所以/(x)=xcos[x+]]—cos^=-xsinx-cosx,其中工£(一兀,兀),

、../、f-n<x<0[0<x<7T

所以f(x)=-smx-xcosx+sinx=-xcosx,令/"(x)<0,<或〈,

[cosx<0[cosx>0

解得F<X<或0<X<曰，所以"X)的严格递减区间为卜兀,一?和I。,?，

故答案为：(一明―3和„.

12.已知项数为机的有限数列MJWeN,加22)是1,2,3,…，机的一个排列.若

〃1一】

|qW1%-同久…W|%-。/，且ZI%-%||="?+2,则所有可能的m值之和为

k=l

【答案】9

【解析】

【分析】首先通过试值法可知，当机=2或3不满足题意，当加=4或5时满足题意，然后

证明当加26,mwN不满足题意即可.

【详解】当m=2时，显然不合题意；

当加=3时，因为同一aM|<2(/=1,2),

所以|4一%|+|4-局<5,不符合题意;

当加=4时,数列为3,2,4/，此时H-@+应一局+|0,-%|=6,

符合题意，

当加=5时,数列为23,4,5,1.

此时k-4|+同一蜀+|%-4|+|。4一。5|=7符合题意；

下证当相26时,不存在m满足题意.

令4=|4-为+]|(%=1,2,

.一!

则1444打4L<2.1，且£bk=m+2,

hl

1,(C=1,2,,m-2)

所以4有以下三种可能:①4=<

4,(左=m-l)

1,伏=1,2,,7/7-3)

1,(%=1,2,,m-4)

②4=<2,(k=m-2)③a=,

2,(4=/n-3,7n-2,m-l)

3,(%=m-l)

1,(女=1,2,,m-2)

当—4,(Z=根-1)时，因为bi=L=*,

即\am-am+l\=\ani+｝-am+2\(m=\,2,

所以%一a,z=a“,+「am+2或am-am+i=-(a,„+1-am+2).

因为数列｛4｝的各项互不相同，所以凡,一。,川=4川-4%.

所以数列｛%｝是等差数列.

则4,4,-是公差为1(或一1)的等差数列.

当公差为1时，由b,,i=4得a,“=4,1+4或a,“-4,

所以=%1+4=4+〃2+2>机或a,“=am_1-4=am_5，与已知矛盾.当公差为-1时,

同理得出与已知矛盾.

1,(/:=1,2,,m-2)

所以当仇=《」，，、时不存在加满足题意.

[4,(%=机一1)

其它情况同理可得.

综上，加的所有取值为4或5,故所有可能的加值之和为9.

故答案为:9.

【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知m=4或5,但对于〃[26,meN不合题

意的证明是一个难点，我们通过找到打的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列｛4｝

是等差数列，则有+4或am=a,,i-4,从而得到与已知条件相矛盾的结论.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案,

考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对

得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.

13.已知x,yeR,则“|x+y|=|x|+lyl"是“冲＞0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；

【详解】解：若盯＞0,则同号，则|x+y|=|x|+3成立，所以“|x+yHx|+|y|”

是“q＞0”的必要条件；但|x+y|=|x|+|y|成立时,不异号，即到20,所以孙＞0

不一定成立，故“|x+y|=|x|+lyl”不是“个＞0”的充分条件.因此

“|x+yHx|+lyl”是“盯＞0”的必要而不充分条件.

故选：B.

14.虚数的平方是（）

A.正实数B.虚数C.负实数D.虚数或

负实数

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断.

【详解】设2=。+次。00）,贝1」（0+"）2=（。2一/）+2。历，

若。=0,则z2="2,即负实数；

若"0,则Z?=（/_〃）+2口加，即虚数；

故选：D.

15.已知直线/与平面々相交，则下列命题中，正确的个数为（）

①平面a内的所有直线均与直线/异面；

②平面a内存在与直线/垂直的直线；

③平面a内不存在直线与直线/平行；

④平面a内所有直线均与直线/相交.

AIB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③

正确.

【详解】在长方体中，取平面ABC。为平面a,直线为直线/,

则直线/与平面a相交，满足条件，

对于命题①，因为直线ABu平面ABC。，直线AB与直线A4相交，所以命题①错误，

对于命题④，因为直线BCu平面A8CD，直线与直线A4不相交，所以命题④错误,

对于命题②，若直线/与平面a垂直，则任取直线cua,都有/_Lc,即平面a内存在与

直线/垂直的直线；若直线/与平面a不垂直，如图，/ce=N,在直线/上任取异于点N

的点E，过点E作石平面a,垂足为H，连接”N,在平面a过点〃作直线d_LNH,

因为平面。，dua，所以又d1NH,EHNH=H,EH,NHu

平面硒”，所以4,平面ENH,直线lu平面ENH,所以直线故平面。内存

在与直线/垂直的直线：命题②正确，

a

对于命题③，如图/ca=M,假设平面a内存在直线匕与直线/平行;

因为/(Za，bua,U/b,所以〃/fz,与/ca=A/矛盾，所以平面a内不存在直线与

直线/平行；命题③正确，

故选：B.

16.已知平面直角坐标系中的直线4：丁=3%、4：y=-3x.设到4、4距离之和为2Pl的点

的轨迹是曲线G，4、4距离平方和为2P2的点的轨迹是曲线。2,其中Pl、〃2>0.则6、

。2公共点的个数不可能为()

A.0个B.4个C.8个D.12个

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线G为矩形，曲线G为椭圆，

通过联立方程组求曲线C、C2公共点的个数.

【详解】由题意，直线4与直线4相互垂直，设曲线G上的点为(x,y),满足

+=2四,即|3x—y|+|3x+y|=2回用，

则当3x-y>0,3x+y>0时，x=—nl；

当3x-y>(),3x+y<()时，y=-710/7,；

当3x-y<(),3x+y>0时，y=Mp]；

当3x-y<0,3x+y<。时，

31

设曲线C,上的点为(x',y')，满足俨x二二叫=2p,,BPy2+9x,2=10,

(加J(MJA

所以C2的轨迹为椭圆V+9/=10p2,

当P：＞〃2时，联立｛"=丁化可得丫2=100-10〃：＜0,方程组无解，即直线

22

y+9x=Wp2

22

x=半P|与椭圆9+9/=10p2没有交点，同理可得x=一半p］与椭圆y+9x=10p?

没有交点，

联立［)’,=**可得9/=10%一102；＜0,方程组无解，即直线y=Ji5R与椭圆

y+9厂=［Op2

＞2+9x2=1002没有交点，同理直线y=—与椭圆)2+9/=10〃2没有交点，所以曲线

G、。2公共点的个数0,

Vio

当P；=P2时，联立亍"可得>2=10p2-10p：=0,所以x=亍0即直

[y2+9x2=IO”？y=0

线x=典月与椭圆V+9x2=10p?有一个交点，同理可得尤=一如Pl与椭圆

丁+9x2=iOp?有一个交点，

V=J10nfX=0,—

联立/'可得9/=1022-10后=0,解得〈，即直线〉=府口与

y+9x=10〃2[y=，10pi

椭圆丁+9x2=IO/，?有一个交点，同理直线y=与椭圆V+91=10生有一个交点，

所以曲线C|、G公共点的个数4,

当P；<P2时，联立1=丁仍可得丁=10乌_10">0,所以

22

y+9x=Wp2

[VW「

<3__________,即直线x=Y"p|与椭圆/+9/=10必有两个交点，同理可得

y=±yl\0p2-l0p-

22

x=一半P1与椭圆y+9x=\0p2有两个交点，

V=A/10"X~Jl0_10

联立〈1广可得9尤2=i0p,—i0p；>0,解得，即直线（3V-与

炉+9厂=100L加入

椭圆y1+9/=1022有两个交点，同理直线y=-Ji6p]与椭圆y2+9x2=10p?有两个交点，

所以曲线C|、G公共点的个数8，

故选:D

三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相

应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.已知数列｛q｝是公差不为0的等差数列，q=4,且％,%，4成等比数列.

（1）求数列｛/｝的通项公式；

（2）求当〃为何值时，数列｛4｝的前〃项和S“取得最大值.

【答案】⑴an=5-n.

（2）〃=4或5时，S“取得最大值.

【解析】

【分析】（1）根据题意列出关于公差d的方程，求得d,可得答案;

（2）等差数列的前〃项和公式求S,，结合二次函数性质求最大值.

【小问1详解】

设数列｛4｝的公差为"，由4,4，%成等比数列，得嫉=%。4,即

（4+2d『=4（4+3d）,解得d=-l.

所以数列｛4｝的通项公式为4=4+（〃-1）x（-1）=5—九

【小问2详解】

,-n（n-l],

由5„=na.+—-----d

"12

/日。，〃（〃—1）19If9Y81,

得S“=4“-------------——n"2+—n-——n——H-----，neNT，

'22228

当〃=4或5时，S“取得最大值，最大值为10.

18.如图，三棱锥尸一ABC中，侧面%B垂直于底面ABC,底面ABC是斜边

为AB的直角三角形，且NABC=30°,记。为A8的中点，E为OC的中点.

（1）求证：PC±AE；

（2）若AB=2，直线PC与底面ABC所成角的大小为60。，求四面体出OC的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）由面面垂直性质定理证明PO1底面ABC，由此证明PO_LAE,再证明

AEYOC,由线面垂直判定定理证明AE_L平面POC,最后证明PCJ_AE；（2）结合线

面角的定义可得/PCO=60,结合锥体体积公式求四面体%OC的体积.

【小问1详解】

连接P。，因为PA=PB，所以PO_LAB,

侧面垂直于底面ABC,POu平面E46，平面Q48c平面ABC=AB,

所以P。1底面ABC,A£u底面ABC,所以PO_LAE,

_ABC是斜边为AB直角三角形，且NA6C=30，所以AC=工AB,

2

又因为。为4B的中点，所以。。=4。=348,所以»0。为等边三角形，

又E为OC的中点，所以AE_LOC,

因为PO_LAE,AE.LOC,PO0C=。，PO,OCPOC,

所以平面POC,又PCu平面POC,

所以PC_LAE；

由（1）知PO1底面ABC,所以直线PC与底面A8C所成角为NPCO,因为直线PC与底

面A8C所成角的大小为60，NPCO=60，

因为A3=2,所以0c=1,在Rtz^POC中，PO=tan60°=.

SAnr=—lxlxsin60°=,所以=—x-^-x>/3-—.

PAO（

AOC24-344

19.在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐

休闲的需求，在四边形ABCZ）区域中，将三角形48。区域设立成花卉观赏区，三角形BCD

区域设立成烧烤区，边A8、BC、CD、D4修建观赏步道，边BZ）修建隔离防护栏，其中

TT

CD=100米，3C=200米，ZA=-.

3

（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防

护栏（精确到01米）？

（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形A8CD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最

大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

【答案】（1）247.4m

（2）应使得A8=AO=100j^m，NC=^来修建观赏步道.

【解析】

247

【分析】（1）由三角形面积公式求出sinC=一，得到cosC=——,利用余弦定理求出

2525

8。a247.4m；

（2）解法一：先得到烧烤区占地面积最大时，BZ）=1006m,C=:,设NA5O=a,

利用正弦定理得到AD=—Jl?sina,AB=竽JI5sin[g兀-a],由面积公式得到

SABD=250："[；+cos（2a_%））,结合。€（0,；元）,得到面积的最大值,及

AB=AL>=100V5m，得到答案.

解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，B£>=10075m,C=5,设A3=x,AD=y,

由余弦定理得到BD=100A/5，结合基本不等式求出50000>xy,

SAB。=；DsinAV12500^,此时AB=A。=1006，得到结论―

【小问1详解】

S.UBLCUD=-2BCCD-sinC=-2xl00x200sinC=9600,

24

解得：sinC=一，

7

因为C是钝角，所以cosC=----.

25

由余弦定理得：BD=VfiC2+C£>2-2BC-CD-cosC

=J1002+2002-2xl00x200xf--|®247.4,

VI25J

故需要修建247.4m的隔离防护栏；

【小问2详解】

解法一：SBCD=|BCCDsinC<^BCCD=10000,

兀(2

当且仅达C=5时取到等号，此时80=1006m,设=ael0,-7t

A。A5100行200/—

在△ABO中,sina.(2)；兀3

sin-Tt—asin—

13J3

解得:AD^^na,AB^^n\-a

3313

002

故s居。=gA0A5.siM=S'—sinasin-Tt-a

3

0

型印+COS

3(2

因为（ZG|0,一兀|,所以2a——Tie——兀,一兀

故当2a-2兀=0,即a=2无时，cos（2a-取的最大值为I,

33I3）

S.J5“Gx，+l）=125006,

当且仅当a=三时取到等号，此时AB=AO=1006

答：修建观赏步道时应使得AB=AO=100后〃，ZC=|.

解法二：SBCD=^BCCDsinC<^BCCD=WWO,

当且仅达C=］时取到等号，此时8。=100后，

设AB=x,AZ）=y.则由余弦定理，

BD=VAB2+AD2-2ABAD-cos/1=^x2+y2-2xy-=100^5,

故由平均值不等式，50000=x2+y2-A^>ry,

从而SABO=g^sinA<12500百，

等号成立当且仅当x=y=10075.

答：修建观赏步道时应使得AB=A£>=100j^m，ZC=-|.

2

20.已知耳、入分别为椭圆C：，+y2=i的左、右焦点，直线乙交椭圆G于4、8两点.

（1）求焦点月、鸟的坐标与椭圆G的离心率的值：

（2）若直线4过点居且与圆f+y2=i相切，求弦长恒目的值；

⑶若双曲线。2与椭圆共焦点，离心率为02,满足02=2弓，过点K作斜率为M攵。0）的

直线4交G的渐近线于C、。两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交。2于

P、Q两点，证明：直线P。平行于4.

【答案】（1）左焦点耳卜百,0）、右焦点工（百，0），离心率弓=£=*；

（2）2；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆方程求a/,c,结合焦点坐标和离心率的定义求解；（2）由直线与圆相

切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，（3）由条件利用待定系数法求

双曲线方程，联立方程组求交点。,力，求出〃的坐标，再求方程，联立求P,。坐

标，求直线P。斜率，由此证明直线P0平行于4

【小问1详解】

设椭圆的长半轴长为〃，短半轴长为。，半焦距为。，因为椭圆G的方程为二十丁=1,所

4-

以a=2,b=l,c=y/a2-b2—G，

所以左焦点耳的坐标为卜当,0）、右焦点鸟的坐标为（、々，0），离心率

【小问2详解】

圆f+y2=1圆心为原点，半径为1,

当直线A8的斜率不存在时，因为直线AB过点鸟（、6,0）,所以其方程为X=G，圆

f+y2=l的圆心到直线》=百的距离为逐，直线x=道与圆/+）,2=1不相切，与条

件矛盾，故直线4B斜率存在，因而设直线方程为y=&'（x-G）,则

卜百H1

2

联列方程：

■，；：：，*'=[1+4（/）卞2-86⑹％+12⑹2—4=0,化简得

2

3X2-4X/3X+2=0.方程3/-46无+2=0的判别式A=（-4百，一4乂3乂2=24>0,

设A（X|，X），8（%,%），则王+/=^^，斗入2=|"，

所以|A阴=+—引=Jl+/,&+々）2_4中2=.半=2，

即弦长|A6|的值为2；

【小问3详解】

设双曲线的实半轴长为加，虚半轴长为〃，因为双曲线G与椭圆共焦点，所以双曲线的

左焦点大的坐标为卜6,0）、右焦点心的坐标为（G，o），

由题可知02=2q，所以，^=百，n2=3-m2>故〃22=l,，/=2,

m

因而双曲线方程：/—三=1，双曲线三=1的渐近线方程为y=±及x，

设"（七，匕）），直线CO:y=女卜-@,

y=kx-8k6k向

联立■=>%=

y=\lr2xk-旧汽=k-垃，

y-kx-6k瓜__疯

同理.n程=y

y=-y/r2xkW0~k+y/2

所以%”.》、,_Y+%-2向

%一2-2-k2

设。（七，%），。（王，乂）

'=空工+”化简得2国，。-瓜）=-卜。-瓜）：2,

则《

所以七=赤2

2

-

=-T/^―+%+

同理％272%+42*0

所以演+寸壶2后2

--------7T--j0+V2x0+-----j=—+%+

%-g)y0+V2x0

―4夜工（）2、

,所以£+/=玉)1——2一『

乂-2片2x

yo-oJ

c(

所以七+工4-2%0=X()1一―2XQ=一/1+

\

1

...-f=---%+拒/-------7=-------%一

x「％=£5

%72*0%+。2%0

双1［-5&一2%），所以=-

七一Z

因而

,_%一/_及（七一%0）+%+及（%4一人0）一丁0_及（％3+工4-2工0）_2入0_

KPQ一_一一一K

刍一Z九3一％4%3一%4丫0

因而直线CO〃直线PQ.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题.

21.已知定义域为R的函数y=/(x).当aeR时，若g(x)=一,(尤>〃)是严格

x—a

增函数,则称是一个“7(a)函数”.

(1)分别判断函数/；(x)=5x+3、人(x)=2f+x+2是否为T⑴函数；

(2)是否存在实数从使得函数=]>0,是T(—1)函数？若存在，求实数b

的取值范围；否则，证明你的结论；

(3)已知J(x)=ev(qx2+i),其中”R.证明：若7(x)是R上的严格增函数，则对任

意"Z,"力都是T(〃)函数.

【答案】(1)/(龙)不是，力⑺是；

(2)存在，b>1—e1s

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意，得到工(X)一工⑴=5,丛上四=2尤+3,根据单调性得

x—1X-1

到结论;

(2