数值积分与数值微分

数值积分与数值微分第1页，课件共97页，创作于2023年2月在工程问题和科学实验中，常常需要计算积分。例如：力学和电学中功和功率的计算，电流和电压的平均值和有效值的计算以及一些几何图形的面积、体积和弧长的计算等等。另外微分方程的求解也是以积分计算为基础的。一数值求积基本思想在高等数学中，曾用Newton-Leibniz公式（其中是的一个原函数）来计算定积分，虽然这一公式比较简单，但常常会遇到下面情况：的原函数不能用初等函数表示。如其原函数不能用初等函数表示。的结构复杂，求原函数困难。的表达式不知道，只给出了一张由试验提供的函数表。第2页，课件共97页，创作于2023年2月利用积分中值定理：即以底长b-a，高为的矩形的面积恰等于所求曲边梯形的面积I.这样，只要对平均高度提供一种算法，便获得一种数值积分方法。如果用两端点的“高度”与取算术平均作为平均高度的近似值，这样导出积分近似公式：对于这些情况，要计算积分的准确值都是十分困难的，这就要求建立积分的近似计算方法。此外，积分的近似算法又为其它一些数值方法，例如微分方程数值解、积分方程数值解等，提供了必要的基础。问题是的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值。称为区间[a,b]上的平均高度。第3页，课件共97页，创作于2023年2月一般地，由定积分定义：积分为和式的极限的“高度”f(c)近似取代高度，则导出中矩形公式：这是熟知的梯形公式（如下图）而若改用区间中点第4页，课件共97页，创作于2023年2月下面通过最简单的情形做进一步分析。如果把区间[a,b]N等份。节点：定积分的基本分析步骤是四步：分割、近似、求和、取极限。分割就是把总体（整块梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积），近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表小曲边梯形的面积（这是用矩形面积近似曲边梯形的面积）。求和就是把分量加起来得到总近似值，最后取极限就得到积分的准确值。以上分析看出，前三步比较容易，最后一步的计算比较困难，但现在只是要求近似值，因而可以省掉求极限这一步，只要经过前三步就可求得积分近似值，这就是建立数值积分方法的基本步骤。第5页，课件共97页，创作于2023年2月即用小矩形面积近似曲边梯形面积。如下图示。这称为左矩形公式。第6页，课件共97页，创作于2023年2月把每个小区间的近似值相加就得到新的积分公式：称为中矩形求积公式

再把每个小区间的分量相加就得梯形求积公式：若在每个小区间中用梯形面积近似曲边梯形面积，第7页，课件共97页，创作于2023年2月由上述知，计算积分的问题归结为计算被积函数f(x)在[a,b]上某些点的值，这就使积分的计算变得很容易了。现在的问题是如何提高精确度。从求近似积分的三步看来，前两步分割与近似是提高求积公式精确度的途径。第三步求和无须专门讨论。先讨论不分割区间[a,b]时，哪一种近似得到的求积公式精确度更高。事实上，对于不分割区间而言，用零次多项式近似f(x),然后取积分而得到的矩形公式直观上看，它比左矩形公式（3）精确些，但总的说来，上述矩形法和梯形法精度都较低，往往不能满足实际计算的要求，因此需要建立精确度更高的求积公式。分割主要是细分，从理论上讲，分得越细，精确度越高，但必然增加计算量，增大舍入误差。因此，怎样在一种合适的分割下，使用容易计算的分量去近似曲边梯形面积就成为提高求积公式精确度的主要问题。第8页，课件共97页，创作于2023年2月同样，用一次多项式近似f(x),取积分而得到梯形公式：而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。我们的目的就是根据一定原则,使得求积一般公式（6）具有较高的精确度同时又计算简单。可以设想，用更精确的插值多项式p(x)近似f(x),然后以或许会提高近似积分的精确度，这就是我们建立求积公式的基本思路。这样得到的公式一般可以写成:第9页，课件共97页，创作于2023年2月数值求积方法是近似方法，为要保证精确度，自然希望求积公式能够对“尽可能多”的被积函数f(x)都准确成立，在计算方法中，常用代数精度这个概念来描述它。定义1：若求积公式却不一定能准确成立，则称该求积公式的代数精度m。对于任意不高于m次的代数多项式都准确成立，二代数精度的概念上式右端=即f(x)=1时上面求积公式准确成立。

例如：梯形求积公式的代数精度m=1，这是因为：当f(x)=1时，上式左端=上式右端=当f(x)=x时，上式左端=第10页，课件共97页，创作于2023年2月一般的，欲使求积公式具有m次代数精度。只要令它对于即要求右端=上式左端=综上即得此求积公式对f(x)=1和f(x)=x的任一线性组合，即不高于1次的代数多项式都准确成立。即此求积公式代数精度至少为m=1。即f(x)=x时，上面求积公式也准确成立。当a≠b时，左端≠右端因此，由定义知梯形求积公式代数精度为m=1。

同理可证：矩形求积公式也具有0次代数精度。第11页，课件共97页，创作于2023年2月如果事先选定求积节点，如，以区间［a,b]的等距节点依次为节点，这时取m=n，求解上述线性方程组（７）即可确定系数从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中介绍。由插值余项定理，对于插值型的求积公式其余项为：设给定一组节点作f(x)的n次Lagrange插值公式为n次插值基函数，三插值型的求积公式第12页，课件共97页，创作于2023年2月定理1：的求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是：它是插值型的。因此，对于插值型求积公式，由上面余项公式（9）可见，对于次数≤n的多项式f(x)，其余项R(f)=0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度。至少具有n次代数精度，则它必是插值型的，这是因为：若它具有n次代数精度，则对于n次插值基函数应准确地有下式成立：反之，若求积公式，即知上式右端实际上等于因而（8）成立。故为插值型求积公式。综上所述有：第13页，课件共97页，创作于2023年2月设将积分区间[a,b]划分n等份，构造出的插值型求积公式：称作Newton---Cotes公式，其中称作Cotes系数。§2Newton---Cotes公式一Cotes系数第14页，课件共97页，创作于2023年2月第15页，课件共97页，创作于2023年2月由于是多项式积分，Cotes系数计算不会遇到实质性困难。第16页，课件共97页，创作于2023年2月这就是抛物线公式，又称辛浦生——Simpson公式。几何意义就是用抛物线下的面积近似曲线f(x)下的面积。第17页，课件共97页，创作于2023年2月这就是柯特斯公式（Cotes)当n较大时，例如n=8时，系数中出现负数，而且有正有负会使舍入误差增大，数值稳定性较差，因此实际计算并不用n较大的公式，而是将区间[a,b]分割成若干个小区间，对每个或几个小区间应用n较小的公式去计算。Cotes系数表详见教材.先看Simpson公式，它是二阶Newton---Cotes公式,因此至少具有二次代精度。进一步用进行检验。按Simpson公式计算得：作为插值型求积公式，n阶Newton---Cotes公式至少具有n次的代数精度（定理1），那么实际的代数精度可否进一步提高呢？二偶阶求积公式的代数精度第18页，课件共97页，创作于2023年2月另一方面，直接求积分得：易验证S=I,即Simpson公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立。易验证此时S≠I（b≠a时）因此Simpson公式实际上具有3次代数精度。一般的有：

定理2：当阶n为偶数时，Newton---Cotes公式至少有n+1次代数精度。第19页，课件共97页，创作于2023年2月引进变换x=a+ht,并注意到证明：只要证明当n为偶数时，Newton---Cotes公式对第20页，课件共97页，创作于2023年2月上面已说明Newton---Cotes公式的余项为若n为偶数，而积分区间关于原点对称，因此积分为0，即证毕。（n+1)个乘积,(u-j)(u+j)为偶函数，j=0时，u-j为奇函数(j=0)。三几种低阶求积公式的余项第21页，课件共97页，创作于2023年2月当n=1即梯形公式的余项为：是依赖于x的函数，在[a,b]上连续，而且故可应用中值理，从而梯形公式的截断误差为：当n=2即Simpson公式的余项。为此，先构造一个次数的插值多项式H(x)，使满足：第22页，课件共97页，创作于2023年2月由于证明Simpson公式具有三次代数精度，因此，Simpson公式对于这样构造的三次插值函数H(x)是准确的：即（由插值条件）此即为Simpson公式求得的f(x)的积分。因此Simpson公式余项为：又可以证明：满足上面插值条件的多项式H(x)的插值余项为：第23页，课件共97页，创作于2023年2月,故积分余项为：当n=4，即Cotes公式的积分余项为：

(9)由于是依赖于x的函数，在[a,b]上连续，且故可利用中值定理：

（8)第24页，课件共97页，创作于2023年2月由上面截断误差易见，当积分区间[a,b]较大时，直接使用N-C公式的截断误差增大，积分近似值的精度难以保证。因此，在实际应用中，为了既提高结果的精度，又使算法简便且易在电子计算机上实现，往往采取复合求积的方法，即：先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上利用低阶Newton-Cotes公式计算积分近似值。然后对这些近似值求和，从而得所求积分的近似值。由此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。四复合求积法及其收敛性然后在每个小区间上应用梯形公式即：例如：先将区间[a,b]n等分，记分点为：（k=0~n)，其中步长为（k=1,2……n)第25页，课件共97页，创作于2023年2月可导出复合梯形公式：注意

(10)若在上应用Simpson公式：从而可得复化Simpson公式：第26页，课件共97页，创作于2023年2月

同理可得复化Cotes公式注：（12）（11）第27页，课件共97页，创作于2023年2月定理：若f(x)在积分区间[a,b]上分别具有二阶、四阶和六阶连续导数，则复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式的余项分别为：其中ξ∈[a,b]（13）（14）（15）（16）（17）（18）当h充分小时又有：第28页，课件共97页，创作于2023年2月证明：只证明复合梯形公式的余项，其余由学生类似可做。由于f’’(x)在[a,b]连续，从而在每个小区间上做积分使用梯形公式时的截断误差为：（前面已证）而，故（*）即（），而第29页，课件共97页，创作于2023年2月故#f’’(x)在[a,b]上的连续性及介值定理知：有ξ∈(a,b),使又由上面（*）式及定积分定义有：可见，当h充分小时有：

其余两类公式证明与此完全类似，略。第30页，课件共97页，创作于2023年2月由上定理中余项及近似余项公式可见，只要所涉及的各阶导数在积分区间上连续，则当n∞（即h0)时，、和都收敛于积分真值（所谓积分真值是指每一位数字都是有效数字的积分值），而且收敛速度一个比一个快。则称是P阶收敛的。定义：对于复合求积公式，若当h0时有第31页，课件共97页，创作于2023年2月对于数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值收敛到其值的速度就越快，在相近的计算工作量（顺便提一下，数值求积计算工作量的大小，主要取决于计算函数值次数的多少）下，有可能获得较准确的近似值。例：利用复合Newton-Cotes公式计算的近似值定理：复合求积公式：梯形、Simpson、Cotes分别具有二阶、四阶和六阶收敛性证：复合梯形公式的收敛性由上面证明易见。其余两个也可类似证明。#第32页，课件共97页，创作于2023年2月解：用两种方法求解。先将积分区间[0，1]八等分（分点及分点处的函数值见下表），用复合梯形公式得：（h=1/8）再将区间[0，1]四等分，利用复合Simpson公式得：第33页，课件共97页，创作于2023年2月两种方法都用到表中九个点上的函数值，计算工作量基本相同。但所得计算结果与积分真值π=3.14159265相比较，复合Simpson公式所得近似值远比复合梯形公式所得近似值要精确。因此在实际计算中，较多的应用复合Simpson公式。为了便于上机计算，常将复合Simpson公式改写成：(19)第34页，课件共97页，创作于2023年2月

虽然,我们上面已得到Newton-Cotes低阶公式的近似值的误差估计，也可根据精度要求用这些公式确定积分区间的等份数，即确定步长h，但由于余项公式中含有被积函数f(x)的高阶导数，在具体计算时往往会遇到困难，因此，在实际应用时，常常利用误差的事后估计法来估计近似值的误差，或确定步长h。此方法的大致做法是：将积分区间逐步分半，每分一次就用同一复合求积公式算出相应的积分近似值，并用前后两次计算来判断误差的大小。五误差的事后估计与步长的自动选择第35页，课件共97页，创作于2023年2月

其原理和具体做法如下：

对复化梯形公式（10），由其余项公式（13）或（16）可见，当f’’(x)在积分区间上变化不大或积分区间[a,b]的等分数n较大（即步长h较小）时，若将[a,b]的等分数改为2n（即将步长缩小到原来步长的一半），则新近似值的余项约为原近似值余项的1/4，即：（令）此式表明：若用作为积分真值I的近似值，则其误差约为（20）即有第36页，课件共97页，创作于2023年2月先算出和，若（ε为计算结果的允许误差），则停止计算，并取为积分近似值。否则，将区间再次分半后算出新的近似值，并检验不等式是否成立，……直到得到满足精度要求的结果为止。故将区间逐次分半进行计算的过程中，可以用前后两次计算结果和来估计误差和确定步长。具体做法是：对于复合Simpson公式（11），复合Cotes公式（12），由它们的积分余项（14）、（15）或（17）、（18）可见，当所涉及的高阶导数在积分区间上变化不大或积分区间的等份数n较大时，第37页，课件共97页，创作于2023年2月有：和则（21）及（22）

因此，也可以像使用复合梯形公式求积分近似值那样，在将积分区间逐次分半进行计算的过程中，估计新近似值和的误差，并判断计算过程是否需要继续进行下去。上述过程很容易在计算机上实现。第38页，课件共97页，创作于2023年2月先看复合梯形公式（10），计算时，需计算n+1个点（它们是积分区间[a,b]的n等分的分点）上的函数值，当不满足精度要求时，根据上面提供的方案，就应将各小区间分半，计算出新近似值。若仍用（10）计算，就需求出2n+1个点（[a,b]的2n等分点）上的函数值。§3Rombeng算法一复合梯形的递推化上面介绍的步长变化的计算方案，虽然提供了估计误差与选取步长的简便方法，但是还没有考虑到避免在同一节点上重复计算函数值的问题，故有进一步改进的余地。第39页，课件共97页，创作于2023年2月而实际上，在这2n+1个分点中，包含有n+1个n分点，对应的函数值在计算时已算出，现重新来计算这些点上的函数值，显然是极不合理的。

为避免这种重复计算，我们来分析新近似值与原有近似值之间的关系。由复合梯形公式（10）知：注意到在2n分点（k=1,2,……2n-1)中，当k取偶数时，即为n分点，k为奇数时，才是新增加的分点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:

第40页，课件共97页，创作于2023年2月由递推复化梯形公式（23）可见，在已计算出基础上再计算时，只要计算n个新分点上的函数值就行了，这与直接利用复合梯形公式（10）相比，计算工作量几乎节省一半。例2：由（23）重新计算的近似值，误差不超过。(23)第41页，课件共97页，创作于2023年2月再将各个小区间二等分，出现两个新分点x=1/4,x=3/4,由（23）得：解：在积分区间逐次分半的过程中顺序计算积分近似值，并用是否满足（ε=）来判断计算过程是否需要计算下去。

然后将区间二等分，出现新分点是x=1/2,由递推公（23）得：

先对整个区间[0，1]使用梯形公式得：第42页，课件共97页，创作于2023年2月为了便于上机计算，我们将积分区间[a,b]的等分点依次取为：如上例，并将递推公式改写为：k=1,2,3,……（24）

这样不断将各小区间二分下去可利用递推公式（22）依次算出计算结果如右表，因为：故=3.14159202是满足要求的近似值。第43页，课件共97页，创作于2023年2月Romberg算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形法产生的近似值进行加权平均，以获得准确度较高的近似值的一种方法，具有公式简练，使用方便，结果较可靠的优点。

上面介绍的递推公式（23）或（24），虽然具有结构简单，易在计算机上实现等优点，但是由它产生的梯形序列{}，其收敛速度却非常缓慢。如上例中用（23）计算

的近似值时，要一直算到才获得误差不超过的近似值。因此，用这种方法计算更复杂的高精度要求的近似值，显然是费时、费力甚至是不可能的。二Romberg算法第44页，课件共97页，创作于2023年2月如何提高收敛速度，节约计算工作量，自然是我们所最关心的问题。（1）有可能比更好地接近于积分的真值I如上例中，和为两个精度很差的近似值，但如果将它们按（1）作线性组合，所得到的新近似值：由（20）易见，作为积分真值I的近似值，其误差约为。如果它作为的一种补偿，则可期望新即近似值。第45页，课件共97页，创作于2023年2月的、却具有7位有效数字，其准确度比还高。但计算仅涉及到9个点上的函数值，其计算工作量仅为计算。与这表明在收敛缓慢的梯形数列的基础上，若将按（1）作线性组合就可产生收敛速度较快的Simpson序列：：、、关于（2）的证明：由（23）可知：这种新近似值实质上又是什么呢？可以验证：即：（2）第46页，课件共97页，创作于2023年2月

故（2）式成立(由上节（10））（由上节（11））第47页，课件共97页，创作于2023年2月（4）由近似式（22）类似推导可得：同理，由上节近似式（21）类似推导可得：（3）即将Simpson序列按（3）作线性组合就可产生收敛速度更快的新序列第48页，课件共97页，创作于2023年2月可以证明：当f（x）满足一定条件时，Romberg序列比Cotes序列能更快地收敛到积分的真值I。即在Cotes序列的基础上，产生了一个称为Romberg、、...序列的新序列越精确的近似值也就是将收敛速度缓慢综上可知：在积分区间逐次分半过程中利用公式可以将粗糙的近似值逐步地“加工”成越来的梯形序列逐步地“加工”成收敛速度越来越快的新新序列第49页，课件共97页，创作于2023年2月

例3:利用公式(2).(3).(4)“加工”例2中得到的近似值解:依公式(2),(3),(4)按上图中计算顺序可得结果如下表:其中k为二次分数.这种加速的方法称为Romberg算法。其“加工”过程如下图，其中圆圈中号码表示计算顺序。①③②⑥⑤⑩④⑨⑧⒁⑦⒀⑿⑾第50页，课件共97页，创作于2023年2月注意教材中介绍的Richardson外推法，为便于上机计算，引用记号来表示各近似值，其中k仍代表积分区间的二次分数，而下标m则指出了近似值所在序列的性质。如m=0在梯形序列中，m=1在Simpson序列中，m=2在Cotes序列中，引入上面记号后，Romberg算法所用到的各个计算公式可统一化为：

可见，“加工”效果十分显著，而“加工”计算量因只需做少量四则运算没有涉及到求函数值，故可忽略不计。03k13.13.13333323.1311763.1415963.141211833.1389883.1415933.1415943.141588三Romberg算法计算公式的简化第51页，课件共97页，创作于2023年2月由此可逐行构造出一个三角形数表---称为T数表K0123….…………第52页，课件共97页，创作于2023年2月(m固定），可以证明：若f（x）充分光滑，则T数表每一列的元素及对角线均收敛到所求的积分值I。即：这是因为：时，梯形积分公式余项可写成：若令:经过m（m=1，2，…)次加速后，余项取下面形式：此即为Richardson外推法。其中由（5）即知上面两个极限成立。可见加速后余项数量级下降很快。第53页，课件共97页，创作于2023年2月1、在上面“加工”过程中的系数和，当m4时，而另一个系数则接近于1，也就是新公式与原公式差别不大，但工作量却大增。因此，在实际计算中常规定m3，即计算到出现Romberg序列为止。2、可用二维数组来存放并参加运算，也可用一维数组。四几点说明第54页，课件共97页，创作于2023年2月3、对于积分限为无穷的积分，可利用变量代换化成有限区间的积分然后再进行计算。例如：4、若被积函数有奇异点（间断点）存在于积分区间内，则可得积分区间分成小部分，使间断点在子区间的端点处。也可用变量代换法处理。令则代入得：

第55页，课件共97页，创作于2023年2月有可能使求积公式具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为

Gauss公式、相应的节点为Gauss点。机械求积公式含有2n+2个待定参数，适当选择这些参数一Gauss型求积公式的引进§4Gauss型求积公式前面我们限定把积分区间的等分点作为求积节点，从而构造出一类特殊的插值求积公式，即Newton—Cotes公式。这种做法虽然简化了算法，但却降低了所得公式的代数精度。例如：在构造形如的两点积分公式时，如果限定求积节点，那么所得插值型求积公式，其代数精度仅为1。

第56页，课件共97页，创作于2023年2月但是，如果我们对公式（*）中系数和节点都不加限制，那么就可以适当选取使所得公式的代数精度m>1。事实上，若要求（*）对f（x）=1，x，都准确成立，满足方程组：只要易验证，这是代数精度为m=3的插值型求积公式。解之得：代入（*）得：第57页，课件共97页，创作于2023年2月证明：设p(x)是任意次数不超过n的多项式。则p(x)w(x)的次数不超过2n+1。因此，如果是Gauss点，则求积分公式（1）对p(x)w(x)能准确成立。即有：与任意次数不超过n的多项式P（x）均正交，即：定理：对于插值型求积公式（1），其节点是Gauss节点的充分必要条件是：以这些点为零点的多项式因此，可以想象对机械求积公式（1），只要适当选择2n+2个待定参数，是可以使其代表精度达到2n+1的。可以证明，Gauss型求积公式是插值型的。第58页，课件共97页，创作于2023年2月对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f（x），用w（x）除f（x），记商为p(x)，余式为Q（x），P（x）与Q（x）都是次数不超过n的多项式。f(x)=p(x)w(x)+Q(x),由而求积公式（1）是插值型的，代数精度至少为m=n，因此对Q（x）能准确成立：

但故（2）成立。由（2）得：第59页，课件共97页，创作于2023年2月（2）、再利用Gauss点确定求积系数利用解方程组求Gauss点和权以确定Gauss公式，需解2n+2个未知数的方程组，工作量太大。比较简便的做法是：也就是求积公式（1）对一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立，因此为Gauss点（k=0，1，…n)。即（有关Legendre多项式见教材！）二Gauss-Legendre公式（1）、先利用上的n+1次正交多项式确定Gauss点第60页，课件共97页，创作于2023年2月令它对f（x）=1准确成立。即可得出。这样构造出的一点Gauss-Legendre公式是中矩形公式。若取的零点作节点构造求积公式Gauss—Legendre公式余项为：由于Legendre多项式是的正交，因此可取Legendre多多项式的零点作为求积分公式（*）的高斯点，形如（*）的Gauss积分公式特别地称作Gauss—Legendre公式。

先考虑前面的例子：再取的两个零点构造求积公式：第61页，课件共97页，创作于2023年2月令它对f（x）=1，x均准确成立，即从而得两点Gauss—Legendre公式：类似地，三点Gauss—Legendre公式形式为：Gauss—Legendre公式节点和系数详见教材。第62页，课件共97页，创作于2023年2月对于一般区间上的积分，也可以利用教材中表格的数据写出Gauss型求积公式。其原理与方法是：先作变量替换，令

则将上积分化为上的积分：记，则上式化为：利用表中数据，对于给定的n=1，2，3，4，可以写出Gauss型公式：第63页，课件共97页，创作于2023年2月即代入（A）得：其中系数和节点可查表得出，由变量替换公式易见，由于求积公式（C）对变量t不高于2n+1的多项式准确成立，从而求积公式（D）对自变量x的不高于2n+1的多项式也准确成立，即（D）是Gauss型求积公式。例：利用四点Gauss求积公式计算的近似值。解：由教材中表示Gauss型求积公式（D）得：第64页，课件共97页，创作于2023年2月其中a=0，b=1，=-0.86113631，=-0.33998104，将上述各数据代入上公式中有：优点：在此例计算过程中，只涉及到四个点上的函数值，可见Gauss型求积公式具有计算工作量小，所得近似值精确度高的优点，是一种高精度的求积公式。Gauss型求积公式的缺点是：当n改变大小时，系数和节点几乎都在改变。虽然可以通过其他资料查到较大n的系数和节点，但应用时却十分不便。同时，余项却涉及到高阶导数（被积函数的），要利用它们来控制精度也十分困难。第65页，课件共97页，创作于2023年2月为克服这些缺点，在实际计算中较多地采用复合求积的方法。例如，先把积分区间分成m个等长的小区间然后，在每个小区间上使用同一低阶（如二点的，三点的，…）高斯型求积公式算出积分近似值，再相加即将积分的近似值：

其中，由查表可得。同时在实际计算中，还常用相邻两次计算结果和的关系式相当于相对误差）即算出后，观察是否成立，以判定是否终止计算。请同学们据此编程计算。来控制运算（当时，第66页，课件共97页，创作于2023年2月证明：以为节点构造次数的多项式H(x)使满足条件：由第二章Hermite插值知，H(x)为Hermite插值多项式。由于Gauss公式具有2n+1次代数精度，则它对H(x)能准确成立，即其中定理：对于Gauss公式（1），其余项为：三Gauss公式的余项第67页，课件共97页，创作于2023年2月再注意到函数在上保号，应用积分中值定理即可得结论。对比Newton-cotes公式，Gauss不但具有高精度，而且是数值稳定的。Gauss公式之所以能够保证数值稳定性，是由于其求积系数具有稳定性。证明:由于是n次多项式，因而是2n次多项式，故Gauss公式对能准确成立。即的求积系数全是正的。即定理：Gauss求积公式四Gauss公式的稳定性注意到从而上式右端实际上等于从而有：故定理得证。第68页，课件共97页，创作于2023年2月，由于实际问题中，通常不一定提供准确的数据，而只是给出含有误差的数据（如：由于计算机字长的限制而产生的舍入误差）。因而实际求得的积分值为：那么，原始数据的误差对积分值的影响能否加以控制呢？上面已经证明Gauss公式的求积系数则又由于Gauss公式对f(x)=1准确成立,即下面讨论求积过程的数值稳定性问题。利用公式计算积分时第69页，课件共97页，创作于2023年2月则由此可以断定Gauss公式是稳定的。，其中称为权函数。考察积分当时即为普通积分。可以仿照处理普通积分的方法讨论带权的积分。如，求积分公式如果对于任意次数不超过2n+1的多项式均能准确地成立，则称之为Gauss型的。上述Gauss公式求积节点仍称为Gauss点。同样地，是Gauss点的充要条件为：是区间上关于权函数的正交多项式五带权的Gauss公式若.且权函数则所建立的Gauss求积公称之为（高斯-切比雪夫公式）式为：第70页，课件共97页，创作于2023年2月确定了Gauss点后，再利用Gauss公式2n+1次代数精确度关系定

值得指出的是：运用正交多项式的零点构造Gauss求积公式，这种方法只针对某些特殊的权函数才有效。构造Gauss公式的一般方法是利用代数精度的概念用代定系数法求解。现举一例加以说明：设要构造下列形式的Gauss公式：令它对准确成立，得：的正交多项式是切比雪夫多项式，因此求积公式（*）的Gauss点是n+1次切比雪夫多项式的零点，即为：由于区间[-1，1]上关于权函数第71页，课件共97页，创作于2023年2月从而所构造的Gauss求积公式为：例1：选取常数a，求使积分公式的代数精度尽量高，并问其代数精度为几次？解：取f(x)=1.则对上求积公式，左端六综合例题解此方程组得：f(x)=x.则，左端=第72页，课件共97页，创作于2023年2月令左端=右端左端=再取故，当取时，求积公式具有3次代数精度。例2若用复化梯形公式计算积分问积分区间要多少等分才能保证有6位有效数字？解：由复化梯形公式截断误差（13）式知第73页，课件共97页，创作于2023年2月由于该积分有一位整数，所以要求使近似积分有6位有效数字，只需取n满足：（有效数字定义见第一章，表示不超过某一位数字的一半）即即因此，至少要将[0，1]区间212等分。若将同一问题改为复化Simpson公式，则由复化Simpson公式截断误差（14）式同样可得：由此可见，Simpson公式复化型比复化梯形公式计算量少得多。的近似值，要求误差例3用Romberg求积法计算第74页，课件共97页，创作于2023年2月解：此时积分限为a=0,b=1.而(本例主要说明Romberg过程）

①．②．③．④．⑤．⑥．⑦．⑧．⑨．⑩．第75页，课件共97页，创作于2023年2月如此继续算得：由于这个实例表明,Romberg求积法计算过程不便于手工计算，但由于计算程序具有规律性，不必存储求积系数和节点，而且精度较高，因此适合于在电子计算机上进行计算。用Romberg方法计算时，是把区间逐次分半的，因此有时称该法为逐次分半加速法。例4构造三个节点的Gauss-Legendre求积公式，并给出余项估计式。解：由于三次Legendre多项式为：第76页，课件共97页，创作于2023年2月其三个零点分别为：令它对准确成立则三点Gauss-Legendre求积公式为：余项为：（节点数）第77页，课件共97页，创作于2023年2月例如，若要计算的近似值，则由上积分公式得：上述积分准确值为：若利用三点Simpson求积公式。则可见在节点数目相同的情况下，Gauss求积公式的精度是相当高的。例5给出计算积分的两点计算公式，第78页，课件共97页，创作于2023年2月使得对f(x)为三次多项式时精确成立。解：设取为二次多项式，对w（x）上式应精确成立：显然则但因而即第79页，课件共97页，创作于2023年2月不妨令且于是令积分公式对f（x）=1，x准确成立得：解之得a=b=故所求积分公式为：显然，由上述过程知，积分公式对精确成立。可验证：从而积分公式对也准确成立。第80页，课件共97页，创作于2023年2月令（奇函数积分）而因此积分公式对准确成立。

例6求下列求积公式的代数精度解：设为任意实数则而第81页，课件共97页，创作于2023年2月即积分公式对任意3次多项式准确成立。又取，则而右端故其代数精度为3次。

例7建立下述形式的求积公式并确定它的代数精度：解：由于有4个待定系数一般应对三次多项式精确成立。可取得：第82页，课件共97页，创作于2023年2月故所求积分公式为：第83页，课件共97页，创作于2023年2月故所得积分公式具有3次代数精度。例8导出下述形式的求积公式：解：它有4个待定系数，应该对三次多项式准确成立。取得：第84页，课件共97页，创作于2023年2月易验证，它对不精确成立，因此具有3次代数精度。第85页，课件共97页，创作于2023年2月数值微分就是用离散方法近似地求出函数在某点的导数值。按照Taylor展开原理可得§5数值微分其中h为一增量。上面几个公式是很实用的，下面我们再