自动控制原理四

第四节二阶系统的瞬态响应7/13/20231一、典型二阶系统的瞬态响应

下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为:闭环传递函数为:-这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。7/13/20232特征根为：，注意：当不同时，（极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。特征方程为：⒈当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。⒉当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。⒊当时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。⒋当时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。7/13/20233当输入为单位阶跃函数时，，有：[分析]：当时，极点为：此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡圆频率。7/13/20234两阶筋系统苗的瞬处态响贝应阶跃堡响应右为：当时，极点为：极点的负实部决定了指数衰减的快慢，虚部是振荡频率。称为阻尼振荡圆频率。7屿/赶9红/众2查0柜2南35两阶淋系统晕的瞬渡态响尊应阶跃响应函数为：当时，极点为：7神/汗9武/器2孔0交2讲36两阶聋系统浆的瞬症态响亮应当时，极点为：即特征方程为特征方程还可为7/届9/倍20返237两阶斯系统柏的瞬站态响荒应因筹此渗过煌阻捆尼铲二哀阶袖系触统键可烦以席看打作寒两避个择时期间写常销数椅不锣同设的淹惯和性园环瓦节丸的弹串暮联厨，怖其腿单有位掘阶膏跃策响顷应撕为于是闭环传函为：这里，式中7紫/同9猴/查2咸0厌2陵38上貌述氏四暮种欺情贷况己分宣别眨称贫为害二域阶无低阻疤尼鹅、辈欠史阻贞尼弄、馒临正界彩阻冲尼欲和规过徐阻况尼漂系各统。其币阻尼上系数蝴、特巷征根拳、极区点分详布和稼单位与阶跃考响应珠如下茫表所修示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅周期振荡一对共轭虚根

典池型葡两去阶狮系拥统馋的谨瞬堵态短响蒙应7最/妇9因/栋2支0粮2御39典型档两阶夫系统尸的瞬容态响鲁应可以看出：随着的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。7肉/贺9隐/缓2允0嫩2血310衰执减葱振很荡昆瞬释态杂过震程偿的窄性犬能乓指链标二器、灵典佛型避二药阶粱系桥统俗的佛性并能筛指客标纷及昼其将与玩系铸统核参杨数俩的股关械系（一）衰减振荡瞬态过程：⒈上升时间：根据定义，当时，。解得：7笔/塘9冶/削2陪0疑2举31而1称为阻尼角，这是由于。衰减组振荡眯瞬态须过程谊的性寇能指顽标7/原9/落20岁231低2衰减凑振荡炊瞬态杰过程锦的性启能指调标⒉峰值时间：当时，整理得：由于出现在第一次峰值时间，取n=1，有：其中7奔/事9歇/阿2领0喂2狭31誉3衰减兔振荡末瞬态厘过程晋的性盏能指感标7发/志9慰/饼2愁0愉2召31稳4⒊最大超调量：故：衰亩减富振适荡扔瞬域态区过讯程臂的鬼性址能嚷指撤标将峰值时间代入7/嗽9/狐20革231译5衰箱减始振救荡骆瞬稍态裳过罗程利的掌性被能影指辽标7健/趣9霸/碗2啄0锈2是31广6衰减痒振荡润瞬态多过程兴的性周能指泰标⒋调节时间：可采见秀，螺写弟出都调弓节事时冬间同的孕表影达钳式兰是株困吴难放的蚕。污由转右别图椅可船知占响发应剩曲虑线印总否在岁一豆对幕包知络饶线喂之尚内券。池包滨络筛线陡为根据械调节抖时间驴的定组义，溉当t≥ts时俯|c(解t)拌-c储(∞捐)|支≤乎c(插∞)奖×绪Δ%步。7屑/烈9简/唤2什0治2闷317当t=锅t’s时迹，仅有央：由于上实际互响应茅曲线沃的收朵敛速娘度比栽包络灿线的应收敛资速度梯要快咳因此趟可用伸包络睛线代屑替实机际响客应来变估算守调节月时间耗。即肌认为嫩响应虚曲线吨的包已络线受进入曲误差比带时猛，调睡整过世程结述束。衰炒减斯振妇荡树瞬踢态摧过秩程影的企性犯能寇指燥标7排/要9秩/肺2鸦0堂2迎31终8当较小时，近似取：，且所以衰减莲振荡押瞬态今过程违的性疼能指屿标7/骂9/慕20羊2319衰掏减领振吨荡煎瞬搭态本过昨程卧的灭性祖能包指炊标7/乖9/栗20查232武0衰减深振荡标瞬态晃过程咏的性枯能指庸标7/稻9/盲20给232屋1⒌央振崭荡原次傅数N杠：衰甲减扒振顶荡集瞬田态盲过前程困的誉性狸能弦指虚标由分析知，在之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取作为设计依据，称为最佳阻尼常数。7景/族9烫/智2为0角2鱼32派2非振荡堡瞬态协过程软的性符能指士标这是一个单调上升的过程。用调整时间就可以描述瞬态过程的性能。利用牛顿迭代公式（二）非振荡瞬态过程：⒈对于，极点为：牛顿迭代公式：对其根可迭代求出7袖/舌9浴/常2督0研2小323非振姑荡界瞬每态爆过姐程傍的饶性湾能密指劝标在c(t)中，有两个衰减指数项，所以是一个单调上升的过程。用调整时间就可以描述瞬态过程的性能。⒉对于，极点为：当时利艘用株牛冷顿惕迭捧代窗公朝式纺可臭得当时，，这时可用一阶系统来近似7辜/吓9秀/倦2逮0净2乱324非振吼荡奸瞬狠态咸过南程疲的驰性牲能泪指范标7枕/洽9核/览2饼0匙2粘325非振荡桌瞬态石过程易的性居能指纹标当时，系统也具有单调非振荡的瞬间过程，是单调非振荡的临界状态。在非振荡过程中，它的最小。通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望希统的阻尼系数在0~1之间。而不希望处于过阻尼情况，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于情况。当时，极点远离虚轴，且c(t)中包含极点s2的衰减项的系数小，所以由极点s2引起的指数项衰减的很快，因此，在瞬态过程中可以忽略s2的影响，把二阶系统近似为一阶系统。7/调9/厦20懂2326阻尼系数是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但长。当时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。[总真结]在欠阻尼情况下工作时，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。注意到只与有关，所以一般根据来选择。越大，（当一定时）为了限制超调量，并使较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。7/迷9/爹20沿2327阻尼累系数拳、阻塘尼角担与最允大超鄙调量钱的关买系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6950.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7820.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.157别/斥9龙/秤2度0叶2迎32里8瞬态锐过程棒的性派能指唇标例替子[例]：求系统的特征参数并分析与性能指标的关系：[解购]：垮闭环岂传递冷函数羡为：时，。快速性好，振荡加剧；时，下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系：（假设）7/而9/绍20出232炒9改善季二阶具系统息响应努特性码的措粱施三、鲜改善骗二阶袋系统密响应鄙特性廉的措更施二帆阶创系盾统俱超肠调江产胞生驰过田程[晶0陷,t1]误诉差幸信猪号倚为躲正瓶，婆产颈生跪正太向崖修洪正秧作肾用逼，缠以驴使柜误熟差务减减小视，牌但毕因纱系奋统舒阻心尼犹系魂数缠小绝，总正璃向烟速夏度景大损，描造滴成躬响奖应丘出喉现释正巡寿向际超齿调撇。[t1,t2]误细差犬信匠号麻为文负，产生做反向晃修正宰作用也，但断开始林反向匹修正房诚作用弃不够行大，桨经过妖一段幻玉时间送才使丝式正向雹速度肝为零昏，此赔时输笋出达夹到最啄大值姜。[t2,胜t3]误差任信号秤为负，此膛时脾反凝向惨修呈正葡作算用坡，裁大男，篮使也输漆出活返启回餐过陡程柱中等又士穿蜻过翼稳拘态活值渣，衰出伸现骄反脚向钓超便调占。[t3,t4]误差已信号磨为正，产生缝正向欢修正世作用牛，但权开始睁正向蛙修正料作用翅不够钓大，发经过做一段哨时间携才使偏反向侧速度置为零叔，此姓时输芳出达纺到反崖向最诱大值味。7甜/的9暑/寺2呀0它2毯33素0改坦善耍二谨阶销系爸统彻响莫应拉特蜻性字的效措角施二遭阶支系热统添超梢调坊产验生断原鼻因[凶0族,t1]正深向判修责正世作把用翁太皱大丈，都特辞别拣在谈靠阅近t1点恋时齐。[t1,彩t2]反赤向呈修报正颠作泳用竖不最足呜。减峰小波二格阶吧系垃统伞超蚀调瓜的其思狠路[区0写,t1]减小胞正向涝修正介作用炸。附浓加与途原误掩差信巴号相犬反的程信号忌。[t1,凝t2]加辫大祖反先向辽修者正得作翼用馒。失附队加缓与科原乔误懂差渣信笼号日同瓣向无的侄信毯号麦。[t2,擦t3]减神小蛛反大向雁修买正奴作厚用窃。输附耕加骗与拳原蔑误况差牙信榆号昂相特反峰的淋信拍号村。[t3,t4]加龄大住正该向仿修旱正动作四用么。僻附隙加慎与盗原症误场差慢信芹号柴同脉向政的牺信贼号缩慧。即在聋[0副,t2]内附让加一深个负吵信号仆，在歉[t2,旧t4]内附典加一欠个正陕信号撤。减去检输出狸的微华分或加西上收误赵差肝的富微方分都孕具硬有侍这勒种通效泰果励。7/耗9/俘20敲233药1改宇善裕二斑阶定系讲统奔响真应团特销性论的清措竿施a.输出颗量的泥速度系反馈秃控制--+-b私.误扑差灰的昆比践例溜+黄微碍分量控号制将输窝出量厨的速考度信颤号c字’倡(恶t速)采用撇负反些馈形兼式反露馈到社输入小端并取与误钞差信五号e(游t)比厌较喜，茫构源成刻一袖个穿内杀反奏馈障回辟路芦。似简敌称俯速皱度追反唤馈谁。以误桑差信扮号e蒸(室t鞋)与昂误麻差细信厌号他的锤微合分画信想号e’苦(t箱)的泡和侄产虽生嫩控棕制椒作浮用根。粱简尚称PI控制离。又辛称微指分顺堡馈为了铃改善签系统番性能验而改络变系沿统的歌结构勿、参乘数或律附加睬具有辈一定授功能笋的环支节的歉方法恋称为铜对系截统进油行校被正。热附加捆环节策称为散校正苹环节刷。速杏度鞠反哪馈定和练速债度猾顺使馈姑是认较忘常奴用斤的恋校化正错方粮法泻。7痛/演9高/峰2挑0辛2息33惠2改槐善作二壁阶遇系涉统蜓响福应许特源性蔑的艇措汤施a.输徒出冠量倦的宴速享度玻反德馈颜控点制---与典型二阶系统的标准形式比较⒈不改变无阻尼振荡频率⒉等效阻尼系数为由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量δ%和调节时间ts变小。7妨/接9杂/搂2染0雹2絮33志3改害善弃二灵阶灰系胳统玻响输应皆特转性唯的岂措宇施+-b跃.误夺差租的己比吓例龙+奔微植分脏控该制-与典鹅型二太阶系烫统的平标准浓形式比较⒈不改变无阻尼振荡频率⒉等效阻尼系数为由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量δ%和调节时间ts变小。⒊闭环传递函数有零点，将会给系统带来影响。7宅/蜂9亦/勉2谜0矩2黑33材4改善涝二阶念系统恋响应度特性滥的措株施c伏.比等例斯+捧微姓分队控专制真与梯速画度丘反蓄馈乞控糖制吵的喘关喂系--比例场+微毕分控调制相逆当于突分别股对输支入信昆号和术反馈功信号碌进行芹比例守+微瓶分。奇其中挤对反蔑馈信药号进钢行比债例+丘微分汗相当浙于速良度反影馈。赵所以击误差等的比肯例+况微分瞎控制磨相当赌于输越出的分速度直反馈容构成否的闭织环系汗统再爸串联贞比例拾+微臭分环锻节。继因此径可以删将其白分别亿讨论缺。-7树/凡9启/什2浊0卸2请335具有斑零点叠的二肢阶系况统零极点分布图四、慕具有密零点旅的二凤阶系抓统分必析具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，(和不变)。其闭环传递函数为：，零点为：具有零点的二阶系统的单位阶跃响应为：7/凉9/炒20召2336由上图可看出：使得比响应迅速且有较大超调量。具慌有蝇零尘点妙的翠二悄阶览系较统过分脉析7事/躬9宫/仓2异0祖2衬33骄7设为零点和极点实部之比具厦有愁零毫点忍的述二圾阶树系扣统繁分型析7/者9/座20隐233甩8具有莲零点搅的二惨阶系茶统分配析具有降零点肤的二世阶系手统阶舅跃响养应为始：式中：，零极点分布图7映/系9朋/候2猪0室2欢339具习有姿零轿点续的鬼二粱阶副系匀统僵分境析根夹据求上枝式眠可茅以布得肤出榴主镜要败性艺能面指袖标球如电下羽：式中：，，7鹅/食9渡/花2葡0智2四340具示有分零嫌点旧的鸟二仪阶并系婆统企分鹊析具有求零点忽的二恢阶系赤统阶愤跃响撒应为松：7/拔9/因20热234略1比亿例迅+膝微我分怖控毅制浩的版性志能+-比例棕+微愤分控稀制的衫性能显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加了顺馈环节虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。7挥/雹9叨/娃2遗0聪2汇34午2具有千零点少的二济阶系鸦统分霞析7涛/荷9句/添2风0解2外343我们可以不证明地给出c(t)的紧凑形式：20根据上式可以得出主要性能指标如下：①②③具无有渗零亏点泛的嘉二完阶钟系捐统躲分舟析7/翅9/糠20趁2344瞬态拆过程犁的性卸能指粪标例欠3-趋1[解]：①③当T不变时，T=0.25，②[例3-1]：如图所示系统，试求：①和;②和③若要求时，当T不变时K=?7顶/矿9穿/封2糟0凝2谊345瞬态尚过程艺的性士能指侧标例缩慧3-店2[解]：系统的闭环传递函数为：[例3-2]：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使，求的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。--167/转9/犯20罚2346这时庄的瞬项态性货能指寻标为有：瞬朝态结过乌程船的仁性涌能弄指篇标偏例范3多-砌2显然，加入了速度反馈后，不变，而增加了倍。上例中，若要求，则：7验/危9驱/芝2梨0枪2济347具票有怒零保点餐的驴二酬阶爽系居统肝性我能援指优标啊与膛实浙例[解]：[例3-3]对典型的二阶系统（）采用微分顺馈校正。为使，试确定顺馈系数和。7/轮9/糕20叫2348具有壮零点敏的二获阶系吊统性努能指婶标与籍实例与未加微分顺馈时比较：

显然，加了微分顺馈后，瞬态品质提高了。表继三远罗吨列盘了晚典值型堡二概阶姓系在统屡，傅附其加冠速筹度锋反标馈抓，侄附念加师微清分合顺岗馈作后受的巴性仇能邮指安标攻。7/话9/蜘20余2349五、匹扰动粥作用写下典唇型二佣阶系绣统的骆分析扰动披作用巩下典位型二奋阶系撒统分桑析[例子]：