2023届高考数学复习：好题专项(导数)练习(附答案)

2023届高考数学复习：精选好题专项（导数）练习

题组一、利川导数研究切线问题

1-1、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）己知函数〃0=z'/N+Sz/:

（1）求曲线〃x）在点（2,7（2））处的切线方程：

（2）求经过点幺（2,-2）的曲线“X）的切线方程。

1-2、（2022~2023学年常州市八校第一学期10月阶段考试高三数学）

己知函数/（x）=（l-x）e”.

（1）求曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

（2）过点4（。,0）作曲线y=（l-x）e'的切线，若切线有且仅有1条，求实数。的值.

题组二、利用导数解证不等式

2-1、（江苏淮安市2022-2023学年度第一学期期中调研测试试题）

已知函数/（x）=xer（xeR）.

（1）求函数/（x）的单调区间和最值；

（2）若看。》2，且/（王）=/（》2），证明：％+》2>2.

2-2、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）

已知函数/(x)=aev-ln(x+1)-Ina.

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性：

(2)证明：/(x)有唯一极值点f,且/(x)>1.

2-3、(盐城一中2022-2023学年第一学期高三年级学情调研(二))已知函数/'(x)=ex(lnx+a).

(1)若/(x)是增函数，求实数。的取值范围；

(2)若/(x)有两个极值点X”X2,证明：Xi+X2>2.

2-4、(江苏如皋中学2022—2023学年度高三年级第一学期教学质量调研)

1.

已知函数/(X)x——sinx-—Inx+1.

22

⑴当〃?=2时，试判断函数/(x)在(E+<»)上的单调性;

Xx2

(2)存在%,工2e(0,+8),再#%2,/(1)=/(2),求证：X,x2<m.

2-5、(南京六校联合体2023届高三8月联合调研)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=(x+2)ln(x+2),g(x)=x2+(3-a)x+2(l-a)(ae7?).

⑴求函数/(x)的极值；

(2)若不等式〃x)Wg(x)在xe(-2,x)上恒成立，求。的取值范围；

⑶证明不等式：(1+()11+()]+好)…[1+/)<祓(〃eN*).

2-6、(2022~2023学年第一学期苏州市高三期中调研试卷数学)

.已知函数/(x)=ln(l+x)-(lna>x(实数a〉0).

(1)若实数awN*，当xe(0,+8)时，/(x)<0恒成立，求实数。的最小值;

(2)证明：(1+-)"<3.

n

题组三、利用导数研究函数零点、极值点问题

3-1、(南京市八校高三年级第一次校际联考)(12分)

已知函数f(x)=me2'+(m-2)ex-x.

(1)当〃?=0时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)讨论/(x)的单调性；

(3)若/(x)有两个零点，求机的取值范围.

3-2.(江苏省高邮市2022-2023学年高三上学期期初学情调研)(12分)已知函数

/,(X)=2cosx+xsinx+ox.

(1)若曲线N=/(x)在点(0,/(0))处的切线与x轴平行.

①求实数。的值：

②证明：函数/(x)在内只有唯一极值点；

(2)当。时，证明：对于区间(兀,3兀〕内的一切实数，都有/(x)<o.

兀V2;

3-3、(江苏省扬州市宝应县2023届高三上学期期初检测)

(本小题满分12分)

3

已知函数/(力=/-](&+1)、2+3履+1,其中keR.

(1)当1=3时,求函数在(0,3)内的极值点;

(2)若函数/(X)在口,2]上的最小值为3,求实数大的取值范围.

3-4、(江苏省扬州市宝应县2023届高三上学期期初检测)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=e'(x+a),其中e是自然对数的底数，aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)设g(x)=/(x-a)-x2,讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由.

题组四、利用导数解决不等式恒(能)成立与探索性问题

zIn(x+l)

4-1.(江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测)已知函数6'

⑴求证：函数/(X)存在唯一的极大值点；

(2)若(keR)恒成立，求上的值.

4-2、(湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=二一•

X

(1)判断函数/(X)在区间(0,3万)上极值点的个数并证明；

⑵函数/(X)在区间(0,+8)上的极值点从小到大分别为玉,々，X3,…,z,…，设%=/(X,,).:.为数

列｛a,,｝的前〃项和.

①证明：a｛+a2<0；

②问是否存在〃eN*使得S.20?若存在，求出〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

4-3、(山东省"学情空间"区域教研共同体2023届高三入学检测)

已知函数/(x)=In(x-l)-机x(加eR),g(x)=2x+〃一2.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当-14w«e-2时，若不等式/(x)4g(x)恒成立，求J的最小值.

加+2

4-4、(湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考)(12分)

已知函数/(x)=e*-ar-cosx.

(1)若a=2,求函数/(x)的零点个数：

(2)若函数g(x)=/(x)+ln(x+l),是否存在a,使得g(x)在x=0处取得极小值？说明理由.

4-5、(南京市2023届高三年级学情调研)已知函数/(x)=e"-x(aGR)

(1)若a〉0,求函数/(x)的单调区间；

(2)若任意xNO,/(x)>l+^ax2,求a的取值范围.

参考答案

题组一、利川导数研究切线问题

1-1、(江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研)己知函数〃0=z'/N+Sz/:

(1)求曲线〃x)在点(2,7(2))处的切线方程：

(2)求经过点N(2,-2)的曲线“X)的切线方程。

解:(1)-.-/(X)=3X2-8X+5,

.•.r(2)=i,

又•••/(2)=-2,

/.曲线/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为y-(-2)=x—2,即x-y—4=0.

(2)设切点坐标为(x0,x：-4xj+5x0-4),

f'(x0)=3xg-8x0+5,

切线方程为y-(-2)=(3x8x0+5)(x-2).

又•••切线过点(%,xl-4x：+5勺-4),

xQ—4xQ+5XQ—2=(3xQ—8XQ+5Xx0-2).

2

整理得(XO-2)(XO-1)=O,解得x°=2或x0=1.

当x0=2时，f\x0)=1,此时所求切线方程为》一歹一4=0；

当x°=l时，/'(%)=0,此时所求切线方程为y+2=0.

故经过点幺(2,-2)的曲线/(x)的切线方程为x-y_4=0或y+2=0.

1-2、(2022~2023学年常州市八校第一学期10月阶段考试高三数学)

己知函数/(x)=(l-x)e，v.

(1)求曲线》=/(x)在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)过点么(。,0)作曲线y=(l-x)e'的切线，若切线有且仅有1条，求实数。的值.

【答案解析】

【要点分析】(1)对/(X)求导，代入X=1分别得到纵坐标及斜率，最后求出直线，得到围成的三角形面

积；

(2)设出切点坐标，得到切线斜率，写出切线方程y—(1—x0)e&=-飞力(》-/)，

代入A点坐标，化简得到x；-(a+l)x0+l=O,利用△=()得到答案.

【小问1详解】

//(x)=(l-x)ex-ex=-xe\令x=l,r(l)=-e,/(1)=0,

故曲线歹=/(x)在点处的切线方程为歹=-e(x-l),分别令x=0,^=0,

1P

则丁=6,x=\,则与两坐标轴交点为(1,0),(0,e),三角形面积为万-1王=5.

【小问2详解】

设切点为—x0)e』)，由已知得_/=一》3,则切线斜率左=一玉^。，

切线方程为y_(l_x())e%=_46%(工-/)

直线过点/(a,0),则一(1-Xo)e*=-Xoe"(a-Xo),化简得片一(“+1)/+1=0

切线有且仅有1条，即△=(a+l)2—4=0,化简得/+2a—3=0，

即(。+3)("1)=。，解得a=-3或］.

题组二、利用导数解证不等式

2-1、(江苏淮安市2022-2023学年度第一学期期中调研测试试题)

已知函数〃力=泄-*(xeR).

(1)求函数〃x)的单调区间和最值；

(2)若玉工工2，且/(须)=/(%2)，证明：Xt+X2>2.

【答案解析】

【要点分析】(1)对函数求导，然后利用导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，

(2)令尸(x)=/(l+x)—/(l—x)=(l+x)-e-(i)—(l—x>ei,利用导数可求得尸(x)>/(0)=0,

即/(I+X)〉/'(I—X),设％<1<刍，则/(xj=/(z)=/[1+(X2-1)]>/[1-(X2-1)]=/(2-X2),

再利用函数的单调性可求得结论

【小问1详解】

//(x)=(l-x)e-x,令/<x)=0,解得x=1,

当X变化时，/'(X),/(X)的变化情况如下表所示：

(-00,1)

X1(1,+00)

/'(X)+0—

/(X)单调递增极大值单调递减

所以函数/(X)的单调递增区间是(-*1),单调递减区间是(1,+8).

函数/(X)在X=1处取得最大值/(1)=|,无最小值.

【小问2详解】

令F(x)=/(l+x)-/(l-x)=(l+x)-e(l+v)-(l-x)-eA-',则F(x)=x[e'T―小""],

当x〉0时，F'(x)>0,所以尸(x)在(0,+」)上单调递增,又尸(0)=0,

所以尸(x)>b(O)=O,即/(l+x)〉/(l—x).

因为须工乙，不妨设再<1<工2，

所以/&)=/(々)=/[1+(々-1)]>/口—(々―1)]=/(2—&).

因为工2〉1，所以2-％2<1.

又由(1)可知函数/(X)在区间(一8,1)内是增函数，

所以项〉2一刀2,即玉+马〉2

2-2、(南京师大附中2022-2023学年度高三第一学期10月检测)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=aex-ln(x+1)-Ina.

(1)当〃=1时，讨论/(x)的单调性：

(2)证明：/(x)有唯一极值点3且/(x)>1.

.【答案解析】)当L=1时,f(x)=ex-\n(x+l),所以/'&)="——,x>-l.

x+1

显然/*)在(-1,+0。)上单调递增，又/'(0)=0,

所以一l<x<0时，f\x)<0；x>0时，f\x)>0,

因此/(x)在(—1,0)上单调递减；在(0,+8)上单调递增.

(2)依题意，4>0,/(乃的定义域为(—1,物).

f'(x)=aex------=--—+令g(x)=aex(x+Y)-\,a>0,x>-1,

x+lx+lL」

显然g(x)在[一1,物)上单调递增，又g(—l)<0,g[1)〉0,

所以存在fe(-1,'),使得g(/)=0,且一l<x</时，g(x)<0；时，g(x)>0,

因为—j_>0,所以—l<x</时，/(x)<0；x>f时，/，(x)>0,

即/*)在(-1")上单调递减；在。,+00)上单调递增，

因此/(X)有唯一极小值点八

由g(f)=0得etc'-....,所以Ina+/=—ln(z+1).

z+1

1产

因为/'(Z)-\-ae'-ln(Z+1)-Ina-1=----\-t-1=--->0,

t+\Z+l

当且仅当，=0时等号成立，故/")有唯一极值点f,且

2-3、(盐城一中2022-2023学年第一学期高三年级学情调研(二))已知函数/'(x)=ev(lar+a).

(1)若/(x)是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)有两个极值点X”由，证明：XI+X2>2.

【答案解析】

【要点分析】(1)求导，由八x)是增函数，转化为/(x)K)对任意x>0恒成立，即Inx+'+a^O恒成立,

X

构造新函数，求导得单调性，求出最小值，得到Q的取值范围.

(2)设出两个极值点，即两个极值点是g(x)=lnx+L+a的两个零点，要证明修+取>2,只需证工2>2-闪,

X

只需证g(X2)-g(2-xi)=g(xi)-g(2-xi)>0,设〃(x)=lnx+--ln(2-x)+—-—，xG(0,1],

xx—2

求导，证力(x)在(0,1)上单调递减，从而得到g(X)在(1,+00)上单调递增，所以X2>2-R成立,

即XI+X2>2成立.

【小问1详解】

函数的定义域为(O，+8),/'(x)=e、(hir+：+a),

若-x)是增函数，即/(x)K)对任意x>0恒成立，故Inx+'+aNO恒成立，

X

设g(X)=lnx+L+q,则g[x)=!--y=

所以当OVxVl时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x>l时，(x)>0,g(x)单调递增，

所以当X=1时，g(x)min=g(1)=。+1，由a+lK)得介-1,

所以。的取值范围是[-1,+00).

【小问2详解】

不妨设0V%]<X2，因为的，X2是/(X)的两个极值点，

/、(1、11

所以/'(xj=e‘ln%14----FQ=0,即In%]H----FQ=O,同理----Fa=O,

<X\)X\X2

故xi,M是函数g(x)=Inx+'+Q的两个零点，即g(/)=g(X2)=0,

X

由(1)知，g(x)min=g(1)=a+lvo,故应有a£(-00,-1),且OVxiVIV42,

要证明Xl+X2>2,只需证X2>2-XI，

只需证g(x2)-g(2-Xi)=g(X1)-g(2-Xi)

ln(2-xj+^^

=lnx,+—+a-+Q=lnX|+---Inf2-)H------>0,

x}—2

设/z(x)=Inxd---ln(2-x)+---XG(O,1),

x

则"廿-W1x-1x-14(1)2

------------------------------------<A0

(x-2)2x2(x-2)2X2(X-2)2-

所以〃(x)在(0,1)上单调递减，因为乃右(0,1),所以〃(xi)>h(1)=0,

即g(工2)-g(2-X1)>0,g(X2)>g(2-X\),

又X2>1，2-X1>1,及g(X)在(1,+8)上单调递增,

所以X2>2-X］成立，即阳+才2>2成立

2-4.(江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研)

jm

已知函数/(x)=x-ysinx--Inx+1.

⑴当加=2时，试判断函数/(x)在(肛”)上的单调性；

Xx2

(2)存在再户2£(°，+8),.w《2，/(1)=/(2)，求证:Xxx2<m.

解：(1)当机=2时，f(x)=x-ysinx-Inx+1,

则/'(x)=1--COSX--,

2x

当XG(X,+8)时，/f(x)=l--cos=

2x2乃2乃

所以，当加=2时，函数在(匹+如上单调递增.

(2)证明：不妨设0</〈/，由/(芯)=/(工2)得，

1.m.1I.m..

Xj—5sinXj——In+1=——sinx2—~Inx?+1,

y(lnx2-InXi)=勺2-皿一；(sinx2-sing),

设g(x)=x-sinx,则g'(x)=l-cosx..O,故g(x)在(0,+oo)上为增函数,

/.x2-sinx2>x}-sinx1,从而x2-xx>sinx2-sinxy,

y(lnx2-Ing)=X2-Xi-；(sinx2-sinx{)>^(rr2-的),

x^-x.

：.m>---£----——

Inx2-Inxl

要证：项々v毋只要证m>J/4，

下面证明：I—>J高，即证3—>

-『x

Inx2-In占Ii

演

令，二上，则，>l,即证明--->y/t,只要证明：lnf-」=ivO,

占Intyjt

设咐)=Inr-宁，h，⑴=(>])<0，则h(t)在(1,+s)单调递减,

当,>1时，W)<〃(1)=0,从而也"访Z—1<0得证，即—x,“j------

m><m~.

2-5、(南京六校联合体2023届高三8月联合调研)(本小题满分12分)

己知函数/(x)=(x+2)ln(x+2),g(x)=f+(3-a)x+2(l-a)(ae7?).

⑴求函数/(x)的极值；

(2)若不等式/(x)Vg(x)在^(-2,m)上恒成立，求。的取值范围；

(3)证明不等式：+不)(1+不)…(1+不)<e®(〃GN*).

⑴解：・•,/(x)=(x+2)ln(x+2)(x>-2),/(x)=ln(x+2)+l,

由/(x)>0可得xed-2,+<»)，此时/(x)是增函数，

e

由/(x)v0可得xw(-8,1-2),此时/(%)是减函数，............2分

e

所以当x=1-2时/(x)有极小值，极小值为—无极大值............3分

ee

⑵解：由不等式/(x)<g(x)在xe(-2,4w)上恒成立得

(x+2)lii(x+2)<x2+(3-a)x+2(l-a)

BP(x+2)ln(x+2)<(x+2)(x+l-a),因为tw(-2,+oo),所以

a<x\l111(A-I2)tExc(2,l8)上恒成立............5分

1

设A(x)=x+1-ln(x+2),xe(-2,-KO),由/?'(x)=-----=0得x=-1,

x+2

所以4(x)在(-2,-1)上递减，在(-1,+8)上递增，

所以“(X)而n="(-1)=°即。40，

所以加勺取值范围为(-00,0]......................7分

(3)证明:由(2)得x+l>ln(x+2)在(-L+8)上恒成立,

令x=&l，则有+,......................8分

所以ln(l+j+ln(l+：)+…+ln[l+\j<+…+，=；(『，)

即1nm(1+/卜(1+V1])...........1。分

因为〃eN",所以(芸(1』)<；即+++

所以(1+£)(吟)[吟>[吟卜/............12分

2-6、(2022~2023学年第一学期苏州市高三期中调研试卷数学)

.已知函数/、(x)=ln(l+x)—(lna)-x(实数a〉0).

(1)若实数aeN*，当xe(0,+8)时，/(x)<0恒成立，求实数。的最小值；

(2)证明：(1+-)"<3.

n

【答案解析】

【要点分析】(1)由题意，利用导数证明不等式恒成立，由。的取值范围，逐一检验，可得答案；

(2)由(1),令a=3,根据单调性，整理不等式，结合对数运算，可得答案.

【小问1详解】

因为/(x)=ln(l+x)-(lna)-x,求导得广(力=———Ina.

1+x

由于xe(0,+oo),」一e(0,l),又因为aeN*，

1+x

当a=l时，r(x)=—>0,/(x)在(0,+8)上单调递增，/(x)>/(0)=0舍去；

1+x

当a=2时，令/'(x)=—)——ln2=0,得》=-----1>0,当xe(0,」一—1)时，/'(x)〉0,/⑴在

1+xIn2In2

(0,J——1)上单调递增，此区间上/(x)>/(0)=0舍去；

In2

当aN3时，由于」一e(0,l),lna>l,/''(%)=—一一Ina恒小于零，/*)在(0,+8)上单调递减，

1+x1+x

/(x)</(0)=0,满足题意.

综合上述，实数。的最小值为3.

【小问2详解】

由(1),当a=3时，/(x)<0恒成立，即ln(l+x)-(1n3)-x<0,于是ln(l+x)<(ln3>x.

x=-ln(l+-)<(ln3)--rtln(l+-)<ln3ln(l+-)n<In3(l+-)n<3

取〃，有〃"，所以«，即〃，所以〃

题组三、利用导数研究函数零点、极值点问题

3-1、(南京市八校高三年级第一次校际联考)(12分)

已知函数/(x)=/ne2*+(机-2)e*-x.

(1)当机=0时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)讨论/(X)的单调性；

(3)若/(x)有两个零点，求机的取值范围.

【解】：

(1)当加=0时,f(x)=-2ex-x,:.f(Q)=-2e°-0=-2

f'(x)=-2ex-1A-=/z(0)=-2e°-l=-3..................1分

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为：y-(-2)=-3(x-0)

即3x+y+2=0...................2分

(2)/(x)的定义域为(—8,+8),

f(x)=2me2x+(m-2)ex—1=(mex-1)(21+1)..................3分

(i)若〃?<0,则/(x)<0,所期(%)在(-co,48弹■调递减.................4分

(“)若加》0,则由r(x)=0得x=-Inm.

当xG(-co,-Inm)0寸，f(x)<0；当xw(—In〃],+8,寸，f(x)>0.

所以/(x)在(-单调递减，在(-lnm,+8)单调递增...................6分

(3)(i)若加40,由(1)知，至多有一个零点...............7分

(ii)

若加>0,由(1)知，当x=-ln〃?时，/(x)取得最小值，最小值为f(-ln〃z)=l-Inm.

tn

①当加=1时，由于/(一lnm)=l-'+ln〃7=0,故/(x)只有一个零点；..........8分

m

②当me(l,+oo)时，由于1一」"+him>0,即/(一In/n)>0,故f(x)没有零点；.......9分

m

③当me(0,1)时，1一」-+m加<0,即/'(-In加)<0.

m

又/(-2)=me-4+(阳一2)e-+2>—2e2+2>0,故/(x)在(-oo,-Inm)有一个零点.

设正整数〃。满足〃o>ln(3-l),则

m

W

/(〃o)=e"°(m+加一2)-〃o>-/?0>2°-H0>0.

由于ln(---l)>-ln/n,因此/(x)在(-In加,+oo)有一个零点.............12分

m

综上，加的取值范围为(0,1).

3-2、（江苏省高邮市2022-2023学年高三上学期期初学情调研）（12分）已知函数

/（X）=2cosx+xsinx+ox.

（1）若曲线y=/（X）在点（0,/（0））处的切线与X轴平行.

①求实数a的值：

713兀、

内只有唯一极值点；

[22J

（2）当时，证明：对于区间（兀，2兀]内的一切实数，都有/（x）＜0.

兀k2J

解：（1）①由题意得，/'（0）=0

：/'(x)=—sinx+xcosx+a,/、'(x)=-sin0+0cos0+a=0即a=02'

②证明：由①可知，/'(x)=xcosx-sinx,则(/'(x)y=-xsinx

X

（3吟

\乙）

-+

(7"))，

极小值/

八X）

]J=一1<0/(兀)=一兀<0,/管J=1>0

由零点定理结合单调性可知，存在唯一的,使得/(x0)=0

X

x(3吟

J,x°jo

，(x)-+

/（X）极小值/

（兀3兀、

.••函数/（X）在内只有唯一极值点玉），且取得极小值故原命题得证6

2J

I3兀3兀)

（2）证明：要证对于区间［阳昼内的一切实数，都有/（x）＜0,即证/（x）1rax＜O,xe

3兀、

由⑴可知，/'（X）在7M上单调递增，且/、'（x）=—sinx+xcosx+a

二/'（兀）=_兀+。,/"（，、

=1+。

7

•：a<-,f'(n)=-7i+a<0

Tt

以下，对/匕=1+。的正负进行分类讨论:

\27

(3兀、

1、当/'—=1+。(0,即Q4—1时,

\2J

3TI}（3兀、

由，（X）在兀甸上单调递增，则r（x）＜/'丁=。+1＜0.

(3c7

.•J(x)在上单调递减，，/（x）＜/（兀）=-2+取4-2+兀•£=（）,命题得证;

71

,/3兀、八2

2、当了51+。>0,即一1<〃(一时,

771

由（1）②可知:

X

(71、%(3c

0,

1，/CTJ

小）-+

/（X）极小值/

/(兀)=一2+”兀<0

2f3

综上，当a＜一时，对于区间71,-71内的一切实数，都有/（x）＜0.12'

兀I2

3-3、（江苏省扬州市宝应县2023届高三上学期期初检测）

（本小题满分12分）

3

已知函数/（切=/-5住+1）/+3履+1,其中左eR.

（1）当1=3时,求函数/（x）在（0,3）内的极值点；

（2）若函数〃x）在［1,2］上的最小值为3,求实数4的取值范围.

解：（1）由题意得：当左=3时，/（X）=X3-6X2+9X+1,则/'（》）=3》2—12丫+9=3（》一1）@一3）,

令/'（x）=o得m=1,%2=3

列表如下：

X0(0,1)1（1，3）3

/"（X）4-0—0

/(x)1单调递增5单调递减1

故/（X）在（0,3）内的极大值点为x=l,无极小值点.

（3）/f（x）=3x2-3（%+l）x+3Zz=3（x-l）（x-A）

①当左41时，Vxe［l,2］,/（x）20函数/（x）在区间［1,2］单调递增所以

35

“X）min=/（1）=1—,"+1）+3左+1=3即左=3（舍）；

②当左N2时,Vxe［l,2］，r（x）40函数/（x）在区间［1,2］单调递减所以

/（x）min=/（2）=8—6（%+l）+3h2+l=3,符合题意；

③当1＜左＜2时当xe［1㈤时，/"（X）＜0,/（x）区间在［1,左）单调递减当x《（比,2］时，/"（x）＞0,

/（X）区间在化2］单调递增所以/（%濡=/（左）=/一］（左+1）左2+3左2+1=3化简得：

/一3"2+4=0,即优+1)(左一2)2=0所以4=7或左=2(都舍);

注：也可令g(左)=-3k2+4,1<左<2则g'(x)=3k2-6k-3左(左一2)<0则g(左)=k3-3k2+4•在

左e(l,2)单调递减所以0<g(A)<2,不符合题意；

综上所述：实数左取值范围为左N2.

3-4.(江苏省扬州市宝应县2023届高三上学期期初检测)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=e*(x+a),其中e是自然对数的底数，a&R.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)设g(x)=/(x-a)—x2,讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由.

解：(1)因为/(x)=e"(x+a),所以/'(x)=e*(x+a+l).

由/'(x)〉0,得x>-"1；由/'(x)<0,得—

所以/(x)的增区间是(一。一1,+“)，减区间是(一力,一。一1).

(2)g(x)=/(x-a)-x2=xex~a-x2=x^ex~a-x).

由g(x)=0,得x=0或eX-a_x=0.

设〃(x)=*"-x,又〃(0)=0-"。0,即x=0不是〃(x)的零点，

故只需再讨论函数〃(x)零点的个数.

因为Z/(x)=-1,

所以当时,单调递减；当xe(a,+e)时，l(x)>0,//(x)

单调递增.

所以当x=a时，力卜)取得最小值〃(4)=1一”.

①当〃(a)〉0,即"1时，无零点；

②当〃(a)=0,即@=1时,，7(x)>0,〃(x)有唯一零点；

③当人(。)<0,即。〉1时，因为〃(0)="°>0,

所以6(x)在(—8,4)上有且只有一个零点.

令x=2a,贝I]〃(2a)=e"-2a.

设夕(a)=/?(2a)=e"-2a(a〉l),则°'(a)=e"-2〉0,所以夕(a)在(1,+力)上单调递增,

所以Vae(l,+e),都有e(a)N°(l)=e-2>0,所以"(2a)=°(a)=e"—2a>0.

所以〃(x)在(a,+e)上有且只有一个零点，

所以当a>1时，/(x)有两个零点

综上，当a<l时，g(x)有一个零点；

当a=l时，g(x)有两个零点：

当。>1时，^(力有三个零点.

题组四、利用导数解决不等式恒(能)成立与探索性问题

zInOc+l)

4-1、(江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测)已知函数砂.

(1)求证：函数/(X)存在唯一的极大值点；

(2)若“X)4气(左eR)恒成立，求左的值.

【答案解析】

【要点分析】(1)求导可得ra卜鼠口TMx+1),再令g(x)=W-ln(x+l),根据g(x)的单调性

与零点存在性定理证明即可；

(2)将题意转化为帖却-"《0,设〃(0=蛇土11一日，求导要点分析单调性，结合〃(0)=0求

evex

解即可.

【小问1详解】

证明：因为/耳=皿；+1)，故/⑴=7^一.("+1)，令g(x)=£—ln(x+l),易得g(x)在

(T,+8)上为减函数，且g(0)=l>0,g⑴=；—ln2J-；见2=忖1<0,故g(x)在(0,1)上有

唯一零点七.

故在(-1,3)上g(x)>0,/(X)上单调递增;在(x°,+oo)上g(x)<0,/(X)上单调递减，故函数/(X)

存在唯一的极大值点％.

【小问2详解】

/(x)V履(左eR)恒成立即H(：+1)_丘40,设〃⑺Jn(x：l)_米,则。(0)=0

21

—ln(x+l)ln(x+l)一

x+l(x+1)2,易得

^(X)=X±1__-------k'〃"(x)=---------

cv~

2

9(x)=ln(x+l)-在定义域(T,+8)上为增函数，且夕(l)=ln2—；<0,

x+l(X+l),

7

^(2)=ln3-->0,故9(x)在(1,2)上有唯一零点%.

故在(-l,x°)上〃〃(x)<0,〃'(x)单调递减;在(如+8)上乂(x)>0,〃'(力单调递增.

又〃(0)=1-左，且〃(0)=0,若0恒成立，则x=0为极大值点,此时为'(0)=1-左=0,解得左=1,

此时在(—1,0)上"(x)〉0,〃(x)单调递增，在(o,+e)上”(x)<0,%(x)单调递减，故=°

恒成立.

故％=1.

4-2.(湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷)(本小题满分12分)

已知函数/(X)=—•

X

(1)判断函数/(x)在区间(0,3不)上极值点的个数并证明；

⑵函数/(X)在区间(0,+8)上的极值点从小到大分别为%,％2,天，…,X”，…，设％=/(与)，S.为数

列｛%｝的前〃项和.

①证明：q+。2<0；

②问是否存在〃WN*使得E,20?若存在，求出"的取值范围；若不存在，请说明理由.

，、八/、xcosx-sinx

【答案解析】⑴/'(x)=-----；-----，设g(x)=xcosx-sinx,

又g'(x)=-xsinx，(1分)

当XG(0,乃］时，:sinx〉。，g'(x)<0,g(x)在(0,万)上单调递减，g(x)<g(0)=0,

，g（x）在（0,乃）上无零点；....................（2分）

当xe（万,2何时，•.•sinxcO,g'（x）＞0,g（x）在（肛21）上单调递增,

g（乃）=-71＜0,g（2万）=2万＞0,

g（x）在（肛2%）上有唯一零点；...............（3分）

当xw（2万,3万］时，•.•sinx〉0,g'（x）＜0,g（x）在（2匹3万）上单调递减，

g（2］）＞0,g（3万）＜0,

g（x）在（2万,3乃］上有唯一零点.....................（4分）

综上，函数g（x）在区间（0,3如上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，

故函数f{x}在区间（0,3万）内恰有两个极值点.....................（5分）

⑵①由⑴知/（X）在xe（0,乃］无极值点；在xe（万,2万］有极小值点，即为f；在xe（2万,3万］有极大

值点，即为Z，

同理可得，在（3肛4句有极小值点日，在（〃1,（〃+1）加有极值点相，

由x“cosx“-sinx”=0得x“=tanx“，...............（6分）

x2＞^））二tan＞tan芭=tan（X|+万），-.^（^）＜0,g|—|=1，g（27）＞0,g（且］＜0，

由函数y=tanx在单调递增得々>/+%,

、...、sinx.sinx2

/.a]+a2-j(X1)+j(x2)=-——L'=cosX]+cosx2,

由y=cosx在(2万,单调递减得cosX2<cos(x,+%)=-cos^,

at+a2=f(xt)+/(x2)<0....................(8分)

②同理刀2“_]e卜2〃-1)%，2〃一],刀2”€(2〃万，2“乃+],

-71.

2〃乃+—>x2n>x2n_]+万>2n兀,

由y=COSX在[2〃4,2/7,T+yl(77EN)上单调递减得COS乙〃<~C0SX2n-\，

。2”+«2»-1=/(》2“)+/U2«-1)=cosx2„+COSX2.T<0，且%“=/(X2.)〉0，a2n-i=/(/，一)<。，

当〃为偶数时，从q=/（$）开始相邻两项配对，每组和均为负值,

即S,=［/区）+/（£）］+［/卜）+/（匕）］+…+"（X”T）+/（£）］＜。，结论成立;•一（1。分）

当〃为奇数时，从q=/（西）开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值,

即，=［/&）+/（*2）］+［/5）+/（项）］+…+［/（k）+/（%）］+/8）＜0,结论也成立，

综上，对一切〃eN*,S,,＜0成立，故不存在〃wN*使得S.20.......（12分）

4-3、（山东省"学情空间"区域教研共同体2023届高三入学检测）

已知函数/（X）=ln（x-l）-mx（〃？wR）,g（*）=2x+〃一2.

（1）讨论函数〃x）的单调性：

M—3

（2）当——2时，若不等式/（x）4g（x）恒成立，求一的最小值.

【答案解析】

【要点分析】（1）对/（X）求导，通过分类讨论判断了（X）的单调性

（2）/回《8（》）0〃＞）-8^）40恒成立，利用导数求出/（x）-g（x）的最大值

以丝9）=Tn（m+2）—加-〃-1,通过对上式变形可以得到‘二32Tn（/〃+2）-〃7-4,最后构造函

加+2修+2m+2

数/（。=山］；12,利用导数判断/«）的单调性，求出/（/）的最大值即为所求

【小问1详解】

/(x)=ln(x-1)-mx.(x>1),

x-\x-l

（I）当加《0时:/'（工）〉0,/（工）在（1,+00）上单调递增,

(II)当机>0时，令1一团(％-1)>0,则x<，+l,

m

令1一阳(x-l)<0,则x>2