贵州省遵义市宏杰私立中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

贵州省遵义市宏杰私立中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且，直线MN交l于点P，，垂足为，若的面积为，则F到l的距离为（

）A.12 B.10 C.8 D.6参考答案：D【分析】作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．【详解】如图所示，作，垂足为，设，由，得，则，.过点N作，垂足为G，则，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因为，所以为线段的中点，所以F到l的距离为．故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．2.已知圆的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是A.D+E=2

B.D+E=1

C.D+E=-1

D.D+E=-2参考答案：D略3.已知x．y∈R+，a=（x，1），b=（1，y－1），若a⊥b，则的最小值为

A．4

B．9 C．8

D．10参考答案：B略4.已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1B．C．D．3参考答案：C略5.是等比数列,其中是关于的方程的两根,且,则锐角的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如10=2(mod4)．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于A．22

B．23

C．20

D．21参考答案：A7.下列函数（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5，（3）f(x)=x，（4）f(x)=中奇函数的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：D8.已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=（）A．B． C．﹣D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos（﹣2α）的值．【解答】解：∵sin（+α）==cos（﹣α），则cos（﹣2α）=2﹣1=﹣1=﹣，故选：C．9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选：C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10.已知命题：“”是“”的充要条件；：，，则A．￢∨为真命题 B．∧￢为假命题 C．∧为真命题 D．∨为真命题参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的三个顶点在同一个球面上，AB=6，BC=8，AC=10．若球心O到平面ABC的距离为5，则该球的表面积为．参考答案：200π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；球．分析；关键题意，画出图形，结合图形，求出球的半径R，即可计算球的表面积．解：如图所示：∵AB=6，BC=8，AC=10．∠ABC=90°，∴取AC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OAM中，OM=5，MA=AC=5，∴OA=5，即球O的半径为5．∴球O的表面积为S=4π?=200π．故答案为：200π．【点评】本题考查了球的体积的计算问题，解题的关键是根据条件求出球的半径，是基础题目．12.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的是________．(填序号)①f(x)＝；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex；④f(x)＝1n(x＋1)．参考答案：③④13.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．参考答案：【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，，由得：，整理得，所以，，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.14.某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为__________．参考答案：150略15.设函数，若，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：；若，则，即，所以，若则，即，所以，。所以实数的取值范围是或，即．16.已知函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是

.

参考答案：17.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．参考答案：3考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论．解答：解：当输入的值为n=12时，n不满足判断框中的条件，n=6，n不满足判断框中的条件，n=3，n满足判断框中的条件，n=10，i=2，n不满足判断框中的条件，n=5，n满足判断框中的条件，n=16，i=3，n不满足判断框中的条件，n=8，n不满足判断框中的条件，n=4，n不满足判断框中的条件，n=2，n不满足判断框中的条件，n=1，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为i=3，故答案为：3．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？参考答案：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，

则依题意有，

又由已知条件，，于是有，

所以．故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．略19.已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为.（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线的普通方程.（Ⅱ）设曲线C与直线相交于两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.参考答案：（1）C：，

：（2）圆心（2,0）到直线的距离，半径，所以.20.(本小题满分13分)如图长方体中,底面ABCD是边长为1的正方形,E为延长线上的一点且满足.

(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为何值时,二面角的大小为.参考答案：(Ⅰ)如图所示建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),设,由于,所以,并且,E(1,1,),

………………2分,,,,又,,平面

………………

6分(Ⅱ)，设平面的法向量为,则, 即,令,则,.

………………9分平面,平面的法向量,即,解得……………12分当时,二面角的大小为.

………………

13分21.（本小题满分13分）

已知函数f（x）=ax－1－1nx．

（1）若f（x）≥0对任意的x∈（0，+）恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证：对任意的x∈N*，<e（其中e为自然对数的底，e2．71828）。参考答案：22.（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到