学法大视野·数学·九年级（上册）（湘教版）·第1章-反比例函数

./1.反比例函数概念一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成<k为常数,k0>的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为.

2.反比例函数的等价形式y是x的反比例函数⇔y=kx<k≠0>⇔y=kx-1<k≠0>⇔xy=k<k≠0>探究一:反比例函数的概念[例1]若函数y=<m+1>xm2+3m+1是反比例函数<A>m=1<B>m=-2<C>m=-2或m=-1<D>m=2或m=1[导学探究]判断形如y=kx<k≠0>的反比例函数时,要特别注意:①自变量x的指数是,②k的取值范围是反比例函数y=kx<k≠0>中应注意三点:<1>k≠0;<2>x≠0;<3>其解析式的另外两种写法是xy=k,y=kx-1<k≠0>,其中<1>是最容易被忽视的.变式训练1-1:下列各式中的两个字母都表示变量,哪些式子中的两个变量可以成反比例函数关系?每一个反比例函数相应的常数"k"值是多少?<1>y=x3;<2>xy=-6<3>s=-3p;<4>y=3x变式训练1-2:写出下列问题中y与x之间的函数关系式,并判断是否为反比例函数.<1>三角形的面积为36cm2,底边长y<cm>与该边上的高x<cm>;<2>圆锥的体积为60cm3,它的高y<cm>与底面的面积x<cm2>.探究二:求反比例函数解析式[例2]已知y是x的反比例函数,<2,-2>是它图象上的一点,该图象是否经过点-6,13?[导学探究]1.设函数关系式为.

2.把点代入关系式.

确定反比例函数的关系式:<1>设:设出关系式y=kx<k≠0>;<2>代:把一组x、y的值代入;<3>写:写出函数关系式.变式训练2-1:已知y与x成反比例,并且当x=-1时,y=3,那么该函数的表达式为<><A>y=-3x<B>y=-<C>y=-13x<D>y=1变式训练2-2:已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.<1>求y与x的函数表达式;<2>当x=4时,求y的值.1.<2013XX>已知点P<1,-3>在反比例函数y=kx<k≠0>的图象上,则k的值是<A>3<B>-3<C>13<D>-2.下列函数中,能表示y是x的反比例函数的是<><A>y=2x<B>y=1<C>y=13x<D>3.<2013XX>下列四个点中,在反比例函数y=-6x的图象上的是<A><3,-2><B><3,2><C><2,3><D><-2,-3>4.已知函数y=<m-2>xm2-5是反比例函数,5.某市举办"珍珠节",需要生产4000个珍珠纪念品,一名工人一天的产量为5至8个,若要在40天内完成任务,那么大约需要多少工人?1.下列各选项中所列举的两个变量之间的关系,是反比例函数关系的是<><A>直角三角形中,30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系<B>等腰三角形,顶角y与底角x之间的关系<C>圆的面积S与它的直径d之间的关系<D>面积为20的菱形,其中一条对角线y与另一条对角线x的关系2.在函数①y=3x;②y=2x;③y=-5x④y=-5x;⑤s=vt;⑥v=st;⑦S=πR⑧t=100v;⑨I=220R中.<A>4个 <B>3个 <C>5个 <D>6个3.<2013XX>已知反比例函数y=kx的图象经过点<2,-2>,则k的值为<A>4<B>-1<C>-4<D>-24.已知y与x成正比例,z与y成反比例,则z与x之间<><A>成正比例<B>成反比例<C>既成正比例又成反比例<D>既不成正比例也不成反比例5.已知反比例函数y=-2x的图象经过点<a,-a>,则a的值为<A>2<B>-2<C>±2<D>±26.已知函数y=<m+2>x|m|-3是反比例函数,则m的值为.

7.<2013XX>在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则当p=25时,V=.

8.已知A<x1,y1>,B<x2,y2>都在反比例函数y=6x的图象上.若x1x2=-3,则y1y2的值为9.已知函数y=<m-2>xm<1>若y是x的正比例函数,求m的值.<2>若y是x的反比例函数,求m的值.10.生物学习小组欲建一个一边长为xm,面积是30m2的三角形生物养殖区.若这条边上的高为ym,<1>求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.<2>y关于x的函数是不是反比例函数?如果是,请说出它的比例系数.第1课时反比例函数的图象1.反比例函数的图象反比例函数y=kx<k≠0>的图象是双曲线2.反比例函数图象画法的注意事项<1>反比例函数的图象不是直线,"两点法"是不能画的;<2>选取的点越多,画的图越准确.3.反比例函数图象的性质<1>当k>0时,两支曲线分别位于第象限内.

<2>当k<0时,两支曲线分别位于第象限内.

探究一:反比例函数图象性质[例1]已知如图所示的曲线是函数y=m-5x<m为常数<1>求常数m的取值范围;<2>若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A<2,n>,求点A的坐标及反比例函数的解析式.[导学探究]由题中图象可知反比例函数y=m-5x的两个分支分别位于.可判断反比例函数y=kx图象的位置决定于k的符号.变式训练1-1:已知反比例函数y=1-mx的图象如图所示,则实数<A>m>1<B>m>0<C>m<1<D>m<0变式训练1-2:反比例函数y=mx2m2+3探究二:反比例函数与一次函数的结合[例2]已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=3x+m的图象相交于点<1,5><1>求这两个函数的关系式;<2>求这两个函数图象的另一个交点的坐标.[导学探究]1.把点代入y=kx和y=32.两函数图象的交点坐标,即求方程组的解.

变式训练2-1:<2013XX>已知k1<0<k2,则函数y=k1x-1和y=k2x变式训练2-2:如图,已知直线y=-x+2与反比例函数y=kx的图象相交于点A<-1,a>,并且与x轴相交于点<1>求a的值;<2>求反比例函数的表达式;<3>求△AOB的面积.1.<2013XX>当x>0时,函数y=-5x的图象在<A>第四象限 <B>第三象限<C>第二象限 <D>第一象限2.<2013XX>在同一平面直角坐标系中,函数y=x-1与函数y=1x的图象可能是3.若双曲线y=kx与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1,则k的值为<A>-1<B>1<C>-2<D>24.<2013XX>已知反比例函数y=m-1x的图象的一支位于第一象限,则常数5.<2013XX>如图,反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象,都经过点A<1,2<1>试确定反比例函数和一次函数的解析式;<2>求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标.1.<2013随州>正比例函数y=kx和反比例函数y=-k2+1x<k是常数且k≠02.<2013XX>已知矩形的面积为8,则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为<>3.<2013XX>若ab>0,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx在同一坐标系中的大致图象是4.关于反比例函数y=4x的图象,下列说法正确的是<A>必经过点<1,1><B>两个分支分布在第二、四象限<C>两个分支关于x轴成轴对称<D>两个分支关于原点成中心对称5.<2013XX>一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx在同一直角坐标系下的大致图象如图所示;则k、b的取值范围是<A>k>0,b>0<B>k<0,b>0<C>k<0,b<0<D>k>0,b<06.<2013XX>已知双曲线y=k+1x经过点<-1,2>,那么k7.<2013XX>如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=-6x的图象交于A<x1,y1>,B<x2,y2>两点,那么<x2-x1><y2-y1>的值为8.已知反比例函数y=m2x的图象过点<-4,-9>,且反比例函数y=mx的图象位于第一、三象限,求9.如图,直线y=kx+k<k≠0>与双曲线y=m-5x在第一象限内相交于点M,与<1>求m的取值范围和点A的坐标;<2>若点B的坐标为<3,0>,AM=5,S△ABM=8,求双曲线的函数表达式.第2课时反比例函数的性质1.反比例函数的增减性反比例函数y=kx<k≠0>的图象,当k>0时,,y的值随x值的增大而;当k<0时,,y的值随x值的增大而2.反比例函数图象的对称性反比例函数的图象双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形.<对称轴为直线,对称中心为>.

探究一:反比例函数的增减性[例1]如图是反比例函数y=2n-4x<1>图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么?<2>若函数的图象经过点<3,1>,求n的值.<3>在这个函数图象的某一支上任取点A<a1,b1>和点B<a2,b2>,如果a1<a2,试比较b1和b2的大小.[导学探究]1.函数过象限,所以2n-4.

2.在每个分支上,y随x的增大而,由a1<a2可得b1b2.

反比例函数的增减性要注意:<1>前提是在每个象限内,<2>与一次函数增减性相反.变式训练1-1:<2013凉山州>如图,正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E<-1,2>,若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是<>变式训练1-2:<2013XX>点<2,y1>,<3,y2>在函数y=-2x的图象上,则y1y2<填">"或"<"或"=">探究二:反比例函数的几何意义[例2]如图所示,A、B是函数y=2x的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,且交x轴于D,求△ABC的面积[导学探究]从反比例函数y=kx<k≠0>的图象上任一点向两坐标轴作垂线<如图所示>,与两坐标轴围成的矩形的面积等于,三角形面积<S△AOB>等于变式训练2-1:<2013永州>如图,两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2,设点P在C1上,PA⊥x轴于点A,交C2于点B,则△POB变式训练2-2:如图所示,设A为反比例函数y=kx图象上一点,且长方形ABOC的面积为3,求这个反比例函数的解析式1.<2013义乌>已知两点P1<x1,y1>、P2<x2,y2>在反比例函数y=3x的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是<A>0<y1<y2<B>0<y2<y1<C>y1<y2<0<D>y2<y1<02.<2013滨州>若点A<1,y1>、B<2,y2>都在反比例函数y=kx<k>0>的图象上,则y1、y2的大小关系为<A>y1<y2<B>y1≤y2<C>y1>y2<D>y1≥y23.如图,已知A点是反比例函数y=kx<k≠0>的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为4.如图,点A在双曲线y=3x上,点B在双曲线y=5x上,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,5.<2013XX>已知:如图,一次函数的图象与y轴交于点C<0,3>,且与反比例函数y=2x的图象在第一象限内交于A、B两点,其中A<1,a求这个一次函数的解析式.1.<2013XX>已知A<-1,y1>,B<2,y2>两点在双曲线y=3+2mx上,且y1>y2,则m<A>m>0<B>m<0<C>m>-32<D>m<-2.反比例函数y=2x图象上的两点为<x1,y1>,<x2,y2>,且x1<x2,则下列关系成立的是<A>y1>y2<B>y1<y2<C>y1=y2<D>不能确定3.<2013潍坊>设点A<x1,y1>和B<x2,y2>是反比例函数y=kx图象上的两个点,当x1<x2<0时,y1<y2,则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是<A>第一象限 <B>第二象限<C>第三象限 <D>第四象限4.如图所示,两个反比例函数y=1x和y=-2x的图象分别是l1和l2.设点P在l1上,PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB<A>3<B>4<C>92<D>5.如图,点A是反比例函数y=-6x<x<0>的图象上的一点,过点A作平行四边形ABCD,使点B、C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为<A>1<B>3<C>6<D>126.<2013内江>如图,反比例函数y=kx<x>0>的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为<A>1<B>2<C>3<D>47.如图所示,一次函数y1=-x-1与反比例函数y2=-2x的图象交于点A<-2,1>,B<1,-2>,则使y1>y2的x的取值范围是8.<2013黄冈>已知反比例函数y=6x在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x轴正半轴上一点,连接AO、AB,且AO=AB,则S△AOB9.如图是反比例函数y=5-2mx<1>图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?<2>若点A<m-3,b1>和点B<m-4,b2>是该反比例函数图象上的两点,请你判断b1与b2的大小关系,并说明理由.1.反比例函数的应用主要体现在三个方面<1>根据图象或其他信息,写出函数的解析式.<2>由已知条件画出函数的图象.<3>运用反比例函数的性质解决实际问题.2.应用反比例函数解决问题的注意事项<1>设出函数表达式,不要忘记系数的取值范围.<2>在求解中注意自变量的取值范围.<3>有些问题也可借助于图象或图表来解决,使问题更直观、条理.探究一:反比例函数的应用[例1]某汽车的功率P<瓦>为一定值,汽车行驶时的速度v<米/秒>与它所受的牵引力F<牛>之间的函数关系如图所示.<1>这辆汽车的功率是多少?请写出v关于F的函数表达式;<2>当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多少千米/时?<3>如果限定汽车的速度不超过30米/秒,那么F在什么范围内?[导学探究]1.由题图象知,v与F是函数,所以可设.

2.v随F的增大而.

变式训练1-1:近视眼镜的度数y<度>与镜片焦距x<m>成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y与x的函数关系式为<><A>y=400x<B>y=<C>y=100x<D>y=变式训练1-2:在对物体做功W一定的情况下,力F<牛>与此物体在力的方向上移动的距离s<米>成反比例函数关系,其图象如图所示,P<5,1>在图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是米.

探究二:反比例函数与一次函数的综合应用[例2]如图所示,直线y=k1x+b与双曲线y=k2x相交于A<1,2>,B<m,-1><1>求直线和双曲线的解析式;<2>若A1<x1,y1>,A2<x2,y2>,A3<x3,y3>为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式;<3>观察图象,请直接写出不等式k1x+b>k2x[导学探究]1.由A点的坐标,可求出,从而可求出m=.

2.借助求出不等式的解集.

反比例函数与一次函数的综合应用的常见类型:<1>求关系式;<2>求交点坐标;<3>求三角形面积;<4>比较函数值大小.变式训练2-1:<2013XX>函数y1=x和y2=1x的图象如图所示,则y1>y2的x取值范围是<A>x<-1或x>1<B>x<-1或0<x<1<C>-1<x<0或x>1<D>-1<x<0或0<x<1变式训练2-2:已知平面直角坐标系xOy,直线y=12x+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B,点A<2,t>在直线y=12x+b上,连接AO,△AOB的面积等于<1>求b的值;<2>如果反比例函数y=kx<k是常量,k≠0>的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式1.<2013XX>为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V<m3>一定的污水处理池,池的底面积S<m2>与其深度h<m>满足关系式:V=Sh<V≠0>,则S关于h的函数图象大致是<>2.<2013XX>如图,已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为<3,4>,则它们的另一个交点坐标是<A><-3,4><B><-4,-3><C><-3,-4><D><4,3>3.<2013荆州>如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上,则a的值是<><A>1<B>2<C>3<D>44.<2013枣庄>若正比例函数y=-2x与反比例函数y=kx图象的一个交点坐标为<-1,2>,则另一个交点的坐标为5.<2013新疆>如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象交于A<2,4>、B<-4,n>两点<1>分别求出y1和y2的解析式;<2>写出y1=y2时,x的值;<3>写出y1>y2时,x的取值范围.1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ<单位:kg/m3>是体积V<单位:m3>的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10m3时,气体的密度是<><A>5kg/m3<B>2kg/m3<C>100kg/m3<D>1kg/m32.三角形的面积为8cm2,这时底边上的高y<cm>与底边长x<cm>之间的函数关系用图象来表示是<>3.<20