含对数的级数敛散性判断

含对数lnn的级数敛散性判断针对含有对数lnn的数项级数，其敛散性判断是一个非常特殊且有趣的问题。利用级数的比较判别法、根式判别法、柯西积分判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，以及由比较判别法延伸而来的通过转换成所讨论级数的通项对应的等价无穷小量的级数判别法，都可以对该级数敛散性进行判断。关键词：对数级数，敛散性，判断2引言正项级数的敛散性判断是数学分析的重要组成部分。现有的教材或文献[]敛散性判断的几种有用方法.本章先给出级数收敛的定义，以及一些常用的级数敛散性性判别法，其证明过程可以参看文献[1].若部分和数列{若部分和数列{}没有极限存在，则称该级数发散，此时它没有和.n.n12n=13其其n12nnnnnnnn定理二nn)n)wnnn定理三(等价无穷小量法)如果b是级数xwa的通项a的等价无穷nnn小量即ba，那么此时级数xwbnnxwa散性nn)wbn)wbnbnnnnxwb与级数xwa具有相同的敛散性.证毕.nnnnnnnn)wbnnnnn4定理四(柯西积分判别法)nn存在.收敛的充分必要条件是极限limf(t)dtx)+的定理五(狄利克雷判别法)(i)级数x的b的部分和B=xnb有界，nnk即存在M>0，使得|B|≤M(n=1,2,3,…);(ii)数列{a}单调趋向于0，则级数nnxab收敛. nn解决正项级数的敛散性判别问题.定义法：主要根据级数收敛的概念来判别，即通过判定级数的部分和数列性.性n5n.n.n2.2比较判别法比较判别法：根据定理一知道，要讨论正项级数u的敛散性，可以通n过寻找一个敛散性已知的正项级数级数v来判断。这种方法的一个很关键的nn2n=1nn.ln(1+n).1).nnn1=32,而收敛，故而级数6nnnxw1发散，故而lnnelnnlnelnnlneelnn级数A=xw1发散.2lnnn=1xf''(x)=2lnx一2其中x之2,当x之e时，f''(x)>0,f'(x)单调递x2x2enlnn(lnn)lnnnlnn(lnn)lnnnn=17根式判别法：根据定理二可知，如果级数是正项级数，可以通过先求出limnul，然后根据l的值大小来判断级数u的敛散性.nnnn222nlnnnlnnlnnxx由于(1n)lnn1nelnnln1)，而nlnnnlnnlnnxxlnnln(n1)lnnln(n1)limnlnnxx1x，lnn2.4等价无穷小判别法等价无穷小判别法：根据定理三可知，对于正项级数，如果级数a的n一般项a相对比较复杂，可以通过观察找出a的等价无穷小量b，如果能判断nnnnnn8..n)wn)wnnnx xn讨论级数收敛.2.5柯西积分判别法nnx)+w1级数xwu的敛散性，也即limjxf(t)dt存在，则级数收敛，否则发散.nx)+w19需要注意的是，由定理四的证明过程知道，如果级数的一般项u是从n=Nn例题9讨论级数ln(n+1)和级数B=xwlnn的敛散性.tt1limf(t)dt=2.ln2，故而级数x)+w1nxnlntdt=(lnt)2|x=(lnx)2一(ln3)2)+w,x)+w.t23223nnnn=1nn.(lnn)p单调下降，=f(n)=nn.(lnn)p222.22limx2xp1limf(t)dt(ln2)1p，xxp12nn2当p>0、p1时，令f(x)其中xe，f(x)在此区间上非负、连续、单调下降，uf(n)lnn则：tpp(1p)21f(t)dtlntdt(t1plntt1ptpp(1p)2111epepep111(x1plnxx1p所以p1时，limf(t)dt111epp11ep,级数收敛.x1p(1p)21limxf(t)dt1ep同理，可以知道P=1时，级数发散.1n分析：(1)令b=(1)n,a=lnnnnnn2n>e时显然a单调趋向于0，而级数