单光子在耗散耦合腔阵列中的传输

1单光子在耗散耦合腔阵列中的传输指导意义。2第一章引言不同的纳米结构中的光子输运相关的实验和理论的研究具有重要的意义[1,2,3,4]。模型是ᵃ−C模型(Jaynes-Cummingsmodel)，它从理论上描述了二能级原子与单子的耦合腔阵列中的传输特性进行研究[6]。这可以促进人们对于光子在含耗散的耦合腔阵列中的输运性质的认识。Q3若其长度为ᵃ，则其中可以存在的电磁波的本征频率的取值只能为ω=ᵅᵰᵅ，其ᵃ应用价值；碟形腔，具有高ᵄ品质因子的特点，可用于腔量子电动力学和激光器。量腔处于激发态的寿命。谐振腔的品质因子ᵄ的表达式为[13]：ᵄ=2ᵰᵰᵱ(1)ᵄ能量，当光子在腔内均匀分布时，腔的ᵄ值的表达式可以近似为：ᵄᵄ≈2ᵰᵰᵰᵄ 近共振。ωeg为原子实现|ᵅ⟩↔|ᵅ⟩转化的光子频率，其中|ᵅ⟩为二能级原子的基率ωeg差别较大，与二能级原子不发生相互作用，因此可以忽略。由二能级原子统的总的哈密顿量为：ᵃ=ᵃA+ᵃᵃ+ᵄᵃᵃ，(3)系统的总的哈密顿量ᵃ由三部分组成，分别为二能级原子的哈密顿量ᵃᵃ和腔场的4哈密顿量ᵃᵃ以及原子和腔场相互作用的哈密顿量ᵄᵃᵃ。现在我们引入二能级原子z−z−σz≡[1],ᵰ≡[],ᵰ−≡[](4)z−我们可以看出来上面的σ与泡利自旋矩阵对应，而σ,ᵰz−ᵃᵃ=ℏᵱᵅᵅᵰᵆ=ℏ|ᵅ⟩⟨ᵅ|−ℏᵱᵅᵅ|ᵅ⟩⟨ᵅ|， ᵅ2ᵅᵅᵅ2ᵅᵅ能量分别为ᵃ=1ℏᵱ，ᵅ2ᵅᵅᵅ2ᵅᵅᵅᵃᵃ=ℏᵱᵄ†ᵄ，(6)ᵅᵄᵃᵃ=ℏᵅ(ᵰ−ᵰ−)(ᵄᵄ†)，(7)其中ᵅ为原子和光子场相互作用的耦合常数。在相互作用哈密顿量中含有两个双−−−ℯᵃ0ᵆᵄᵃᵃℯ−ᵃ0ᵆ=ℏᵅ(ᵄ†ᵰᵅᵅ(ᵱᵅ−ᵱᵅᵅ)ᵆᵄᵰᵅ−ᵅ(ᵱᵅ−ᵱᵅᵅ)ᵆ−ᵄ†ᵰᵅᵅ(ᵱᵅᵱᵅᵅ)ᵆᵰ_ᵄᵅ−ᵅ(ᵱᵅᵱᵅᵅ)ᵆ)(8)cegcegᵅᵅᵅ其中ᵃ0=ᵃᵃᵃᵃ。由于ω与ω近共振，所以有△=ω−cegcegᵅᵅᵅᵄᵃᵃ=ℏᵅ(ᵰᵄᵄ†ᵰ)ᵃ=ℏωegᵰᵆℏᵱᵅᵄ†ᵄℏᵅ(ᵰᵄᵄ†ᵰ) 5ᵃn)=(ᵅ+)ᵱᵅ±√ᵅ2(ᵅ+1)+()2(11)其中ᵌ为腔中以光子的能量为单位时的能量数，为正整数。与没有相互作用相比劈裂的态被称为缀饰态(dressedstate)，能级谱成为缀饰能级。其能级谱由如图图2.1缀饰态能级示意图。左边为腔和原子没有相互作用的情况，右边为原子和腔有相互作用的情况。原来的腔的能级发生劈裂，同样频率的多个光子无法被连续吸收。ceg当ω=ω时，二能级原子和腔场发生共振∆=0。在这种情况下J−ceg(12)ᵃ|±,ᵅ⟩=(ᵅ+2)ᵱᵅ±ᵅ√ᵅ+1(12)|±ᵅ⟩=[|ᵅ,ᵅ⟩±|ᵅ,ᵅ+1⟩](13)因此缀饰态由对称态|+n⟩和反对称态|−ᵅ⟩给出。其能级的分裂大小由ᵃn)−ᵃn)=2ᵅ√ᵅ+1给出。缀饰态可以描述二能级原子和单个腔的耦合。激发态(光子)的寿命的关系做了简要的介绍，同时介绍了光子与单模腔场中的6节库场或者原子的相关的参数研究耗散和其它的因素对于光子的传输特性的影响。第五章对于本文的模型方法及结果做出总结。7第二章一维耦合腔阵列和准玻色子方法理想的耦合腔阵列腔之间的耦合很小，利用紧束缚近似理论[14]，取ℏ=1,可以得到耦合腔阵列哈ᵄᵅᵅᵅᵅᵅ+1ᵃ=ᵱΣᵄ†ᵄ−ᵰΣ(ᵄ†ᵄᵅᵅᵅᵅᵅ+1准玻色子方法下的与环境有相互作用的腔的近似在本节中我们介绍准玻色子方法来研究耗散对于单光子在耦合腔阵列中传间的光电效应，腔壁对光子的不完全反射以及原子的自发辐射等引起的系统能量的耗散和我们对于环境带来的耗散的处理。态密度ᵰ(ᵱᵅ)=1。为了更简单地对准玻色子方法进行描述，我们假设由单个腔8ᵃ=ᵱᵄᵄᵄ0+∫ᵅᵱᵅᵅ†ᵅ+∫ᵅᵱᵅ[ᵰ∗(ᵱᵅ)ᵅ†ᵄ0+H.c.]，(15)关系是[ᵅ(ᵱᵅ),ᵅ†(ᵱᵅ)]=ᵯ(ᵱᵅ−ᵱ)，ᵰ(ᵱᵅ)是腔与库场之间的耦合强度。可以给|ᵱ⟩=ᵅᵄᵄ|0⟩+∫ᵅᵱᵅᵰ(ᵱᵅ)ᵅᵅᵅ†|0⟩，ᵃ|ᵱ⟩=ᵱ|ᵱ⟩， 其中ᵱ为系统能量的本征值。结合方程(15)，(16)和(17)并对(17)式两端ᵱᵄᵅᵄ+∫ᵅᵱᵅᵰ(ᵱᵅ)ᵰ(ᵱᵅ)ᵅᵅ=ᵱᵅᵄᵱᵅᵅᵅ+ᵰ∗(ᵱᵅ)ᵅᵅ=ᵱᵅᵅ由上面的(19)式我们可以得到：ᵅᵅᵅᵄ将(20)带入到上面(18)式，由ᵰ(ᵱᵅ)=1可得：ᵱᵅᵄ=ᵱᵄᵅᵄ+∫ᵅᵱ2ᵅᵄ=ᵱᵄᵅᵄ+[ᵄ∫ᵅᵱᵅ−ᵅᵰ|ᵰ(ᵱ)|2]ᵅᵄ在(21)式的推导过程中我们用到了公式：=ᵄ−ᵅᵰᵯ(ᵆ) 如果腔场和环境的耦合比较弱时，|ᵰ(ᵱᵅ)|2≪ᵱ，可以认为ᵱ发生了很小的频ᵱ−ᵱᵄ∫ᵅᵱ≈ᵄ∫ᵅᵱ=ᵯᵱᵄ 当处理在ᵱ=ᵱᵅ处的奇异性做解析延拓产生的虚部时，可以假设此模式下ᵅᵰ|ᵰ(ᵱ)|2≈ᵅᵰ|ᵰ(ᵱᵄ)|=ᵅᵯ(24)上面的处理相当于进行了马尔科夫近似[15,16]，在量子光学中处理耗散系统时9在腔与库场的耦合很弱的时候，可以将(21)式写为：ᵄᵄᵄᵄ(ᵱ+ᵯᵱᵄᵄᵄᵄ ᵄᵄᵱ′=ᵱ−ᵅᵯᵄᵄᵄᵱ′可以认为是考虑了与环境相互作用后的腔的本征频率，这样就有效地使用常ᵄ数耗散率代替了环境库场的影响,这可以反映腔场处于激发态的寿命。因此，可中腔场和环境相互作用组成的系统的哈密顿量可以化为等效哈密顿量ᵃᵅᵅᵅ，对应ᵃᵅᵅᵅ|ᵱ⟩=ᵱᵅ†ᵅ|ᵱ⟩ 其中ᵅ†，ᵅ分别表示准玻色子的产生和湮灭算符。它们满足的对易关系为[ᵅ†,ᵅ]=|ᵱ⟩=ᵅᵄᵅ†|0⟩。其随时间演化的波函数形式为：|Φ⟩=ᵅᵄᵅ−ᵅᵱᵆᵅ†ᵅ|ᵱ⟩(28)ᵱ中的虚部为上面的|Φ⟩提供了衰减因子。我们将理想的腔与环境库场的耦合系境的相互作用进行简化研究。第三章文章模型介绍能级原子的一维耦合腔阵列一维波导由非常多的单模腔场和一个双模腔场组成[5]。耦合腔阵列的模式0。因此，双模腔中的一个模式ᵄ与邻近的其它腔发生耦合，这个模式由ᵄ0表示。个具有直线型的能级的系统放入能取基态|1⟩的能量作为参考，因此将ω1的能量取为0。原子的能级跃迁|1⟩↔|2⟩和|2⟩↔|3⟩分别与ᵋ0和ᵄ模腔场耦合，相应的耦合强度分别为ᵅᵄ和ᵅᵄ。模型的在ᵃ=ᵃᵅ+ᵃᵃ+ᵃᵃ， 其中ᵃᵃ，ᵃᵃ和ᵃᵃ分别为腔列的哈密顿量、三能级原子的哈密顿量和双模腔与三能级原子相互作用的哈密顿量。取约化普朗克常数ℏ=1，则它们的具体形式如ᵃᵅᵄᵅᵅᵄᵅᵅ+1ᵅᵃ=Σᵱᵄ†ᵄ+ᵱᵄ†ᵄ−ᵰΣᵃᵅᵄᵅᵅᵄᵅᵅ+1ᵅᵃᵃ=ᵱ2ᵰ22+ᵱ3ᵰ33，ᵃI=ᵅᵄᵰ21ᵄ0+ᵅᵄᵰ32+H.c.， 在上面的表达式中ᵰᵅ,ᵅ′=|ᵅ⟩⟨ᵅ′|，(ᵅ，ᵅ′=1，2，3)代表着原子的升降和能级布居(population)算符。腔列哈密顿量中的第二个求和部分表示这ᵄ模腔现，耦合的强度为ξ。则，由ᵄ模腔列的色散关系为Ωk=ᵱᵄ−2ᵰᵅᵅᵆᵅ。我们假设最初的ᵄ模腔列中没有光子，ᵄ模腔中含有ᵅ个ᵄ模式的光子，三能能级原子产生相互作用发生散射。入射光子的频率与三能级原子的|1⟩↔|2⟩转换频率ω21=ᵱ2−ᵱ1近共振，因此当三能级原子吸收了入射光子会由|1⟩态跃迁与三能级原子|2⟩↔|3⟩态转换的频率ω32=ᵱ3−ᵱ2近共振时，原子发生跃迁的可能性会更大。当ᵄ模腔场中含有的光子数ᵅ=0时，由于三能级原子无法吸收ᵄ模型在(29)式哈密顿量下的波函数形式为：ᵱ⟩+ᵯ|2,ᵅ⟩|ᵱ⟩+ᵰ|3,ᵅ−1⟩|ᵱ⟩，(33)其中αᵅ，ᵯ，ᵰ分别为相应的态的概率幅。对于态|ᵅ,ᵅ⟩(ᵅ=1,2,3),其中的ᵅ为含有任何ᵄᵅ模式的光子。求解系统的本征方程ᵃ|Ψ⟩=ᵃ|Ψ⟩,并结合光子在含有原子的一维耦合腔阵列中的散射方程：αᵅ=ᵅᵅᵅ+ᵅᵅ−ᵅᵅᵅᵰ−ᵅ+ᵆᵅᵅᵅᵅᵰ(ᵅ，(34)即可得到含有三能级原子的双模腔对于入射光子的透射系数ᵆ和反射系数ᵅ[6]。由此可以分析ᵄ模腔场中的光子数ᵅ对于光子传输特性的影响。图3.1单光子在一维耦合腔阵列中传输示意图，直线型三能级原子与腔阵列耦合[6]腔与三能级原子的一维耦合腔阵列考虑到模型中的a,b模式的腔场以及原子与环境的相互作用，若认为环境库场的处理，这样可以使得对于环境影响的理解变得简单，模型的示意图为图3.2。图3.2单光子在考虑耗散后的一维耦合腔阵列中传输示意图，直线型三能级原子与腔阵列H=H+H+HᵅAI ᵃᵃ=∑ᵅᵱᵅ+ᵱ−ᵰ′∑ᵅ(+1+H.c.)，(36)ᵃᵃ=ᵱᵰ22+ᵱᵰ33，(37)ᵃI=ᵅᵄᵰ21ᵄ0+ᵅᵄᵰ32+H.c.，(38)频率：ᵱ=ᵱᵄ−ᵅᵯᵄᵱ=ᵱᵄ−ᵅᵯᵄ|Ψ⟩=∑ᵅᵯᵅ|1,ᵅ⟩|ᵱ⟩+ᵯ|2,ᵅ⟩|ᵱ⟩+ᵰ|3,ᵅ−1⟩|ᵱ⟩，(40)41)|⟨2,ᵅ|，⟨ᵱ|⟨3,ᵅ−1|，可以得到以下三个方程：ᵱᵯᵅ+ᵅᵱᵯᵅ−ᵰ′1+ᵯᵅ+1+ᵅᵄᵯᵯᵅ0=ᵃ′()(42)βᵅᵱ+ᵯᵱ+ᵅᵄᵯ0+ᵅᵄᵰ√ᵅ=ᵃ′ᵯ，(43)ᵰ(ᵅ−1)ᵱ+ᵰᵱ+ᵯᵅᵄ√ᵅ=ᵰᵃ′，(44)将方程(43)(44)带入方程(42)消去ᵯ和ᵰ可以得到关于概率幅α的离散方程：ᵃ′−(ᵱ+ᵅᵱ)−ᵄ′=−ᵰ′(ᵯᵅ+1+ᵯᵅ−1)， ᵄ′=ᵅᵄ(−ᵯᵄ+ᵅᵃ){−(ᵯᵄ+ᵯᵄ)+ᵅᵃ}ᵄ(−ᵯᵄ+ᵅᵃ){−(ᵯᵄ+ᵯᵄ)+ᵅᵃ}−ᵅᵅ(46)在ᵄ′的表达式中，ᵯᵄ=ᵱ2−Ωᵅ为三能级原子的第二能级与ᵄ模腔场的本征与ᵄ模腔场的本征cosᵅ+ᵯ3−ᵯᵄ−ᵯᵄ,ᵃ=2ᵰcosᵅ+ᵯ2−ᵯᵄ。离散的散射方程(45)满足的形式解：αᵅ=ᵅᵅᵅᵅ+ᵅᵅ−ᵅᵅᵅᵰ−ᵅ+ᵆᵅᵅᵅᵅᵰ(ᵅ带入(46)式，对于含有三能级原子的双模腔，其位置ᵅ=0，满足1+ᵅ=ᵆ，得ᵃ′−ᵱ+ᵅᵱ1+ᵅ=−ᵰ′ᵆᵅᵅ+ᵅ−ᵅᵅ+ᵅᵅᵅᵅ， 则可以得到在ᵅ=0处含三能级原子的双模腔对于光子的反射系数为：ᵅ=ᵄ−ᵅ−ᵯᵄ−ᵅ−ᵯᵄ+ᵯᵄ+ᵅᵃ+2ᵅᵃᵰ′sinᵅ(48)其中ᵃ′=ᵃ′−ᵱ+ᵅᵱ−ᵄ′,ᵃ=−ᵯᵄ+ᵅᵃᵯᵄ+ᵯᵄ+ᵅᵃ}−ᵅᵅ。由ᵅ=ᵆ=1+ᵅ=1+ᵅ(49)的解析表达式。则相应的光子的透射率和反射率可由下面的表达式分别给出：ᵄ=|ᵅ|2ᵄ=|ᵆ|2 ) 51)第四章不同参数对单光子传输的影响4.1ᵄ模腔的耗散对于不同波矢或能量的光子的反射率的影响1y..32.21.1.图4.1(a)ᵄ模腔场的耗取不同值时，光子的反射率随着入射光子的波矢的变化。其中短虚线、实线和点虚线分别取γᵄ=0.0,γᵄ=0.2,γᵄ=0.4。纵轴表示光子的反射率，横轴为入射光子的波矢。其它的参数δᵄ=0.357,ᵯᵄ=0,ᵯᵄ=0,ᵯ2=0,ᵯ3=0,ᵰ=0.000269,ᵰ=1yaaa21.1..1图4.1(b)腔场的耗散取不同值时，光子的反射率随着ᵃ−ᵱ3的变化。其中短虚线、实线和点虚线分别取γᵄ=0.0,γᵄ=0.2,γᵄ=0.4。纵轴表示光子的反射率，横轴为系统的能量与三能级原子第三能级能量差ᵃ−ᵱ3。其它参数的取值，δᵄ=0.357,ᵯᵄ=0,ᵯᵄ=0,ᵯ2=0,ᵯ3=0,ᵰ=0.000269,ᵰ=0.88.率为零，透射率为一。而当γa=0，n=1，ω3=±1时，有V→∞，此时光的。4.2ᵄ模腔的耗散对单光子反射率的影响有相同的作用。即改变ᵄ模腔场的耗散或ᵄ模腔场的耗散均可以调节光子在双模1yy..3.1.1.图4.2ᵄ模腔场的耗散取不同值时，光子的反射率随着入射光子的波矢的变化。其中纵轴表示光子的反射率，横轴为入射光子的波矢。其它参数的取值，δᵄ=0.357,ᵯᵄ=0,ᵯᵄ=0,ᵯ2=0,ᵯ3=0,ᵰ=0.000269,ᵰ=0.884.3ᵄ模腔场的耗散对于光子的透射率和反射率之和的影响子中的激发数(光子数)不再守恒。图4.3描述了当ᵄ腔的耗散取不同值时，光子的透射率和反射率之和随着入射光子的能量的变化。可以看出当ᵄ腔的耗散aγ=0时，光子的透射率和反射率之和T+R=1恒成立，这表示光子在通过双a的，含三能级原子的腔链中的激发数(光子数)不再守恒。.a..4..a.b图4.3单光子的透射率和反射率之和随着入射光子的波矢的变化。其中纵轴代表光子的透射率和反射率之和ᵄ+ᵄ，短虚线、实线和点虚线分别取ᵯᵄ=0.0,ᵯᵄ=0.2,ᵯᵄ=0.4，其他参数的取值分别为δᵄ=0.357,ᵯᵄ=0,ᵯᵄ=0,ᵯ2=0,ᵯ3=0,ᵰ=0.000269,ᵰ=0.884.4.在ᵄ模腔场含有耗散的情况下，耦合系数ᵅᵄ,ᵅᵄ对于光子反射耦合强度ᵅᵄ的越大，则光子的反射率越大。这可以由光子在双模腔中受到的势ᵄnn1ng=2ngg=3g=4aa0-3-2.5-2-1.5-1-0.50图4.4(a)当ᵄ模腔场与原子的第二能级耦合常数ᵅᵄ取不同值时光子的反射率与入射光子的波矢的变化关系图。其中纵轴代表光子反射率，短虚线、实线和点虚线分别取ᵅᵄ=1,ᵅᵄ=2,ᵅᵄ=3，其他参数的取值分别为δᵄ=0.357,ᵯᵄ=0,ᵯᵄ=0.2,ᵯ2=0,ᵯ3=0,ᵰ=0.000269,ᵰ=0.88g=2bg=4b0-3-2.5-2-1.5-1-0.50图4.4(b)当三能级原子的二能级与ᵄ腔的耦合常数ᵅᵄ分别为2,3,4时的光子的反射率与入射光子的波矢的变化关系图。其中纵轴代表光子反射率，短虚线、实线和点虚线分别取ᵅᵄ=2,ᵅᵄ=3,ᵅᵄ=4，其他参数的取值分别为δᵄ=0.357,ᵯᵄ=0,ᵯᵄ=0.2,ᵯ2=0,ᵯ3=0,ᵰ