九年级数学圆弧弦圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习资料

第第#页圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．1.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等1.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其他量也相等.如图24—1—16,AB,CD是的两条弦.考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1如图，AB为。O的弦，点C、D为弦AB上两点，且OC=OD,延长OC、OD分别交。O于点E、F,试证明弧AE=弧BF.分析：“弧AE=<BF”—“N=N”把证弧相等转化为证．证明：例2如图，点O是NBPD的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D.求证：AB=CD.分析：把证明弦相等转化为证明_弦心理_相等.例3如图所示，已知AB为。O的直径，CD是弦，且ABXCD于点E,连接AC、OC、BC．(1)求证：NACO=NBCD.⑵若EB=8cm,CD=24cm,求。O的直径.分析：⑴NACO=N,而N=N.⑵在Rt力中，利用勾股定理列方程求例4已知，如图，在力ABC中，AD,BD分别平分/BAC和NABC,延长ADX^ABC的外接圆于E,连接BE.求证：BE=DE.分析：把证BE=DE转化为证N=N.

.如图1,在。O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2,BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，4ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB3CD八是同圆的两段弧，且AB八二2CD八，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB<2CDC、AB>2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等8、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中,有一扇形的圆心角为60°,则此扇形占整个圆的6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3,AB是。O的直径，AB=AC,BC交。O于点D,AC交。O于点E,NBAC=45°,给出下列五个结论：①NEBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；⑤AE=BC其中正确结论的序号是图2⑤AE=BC其中正确结论的序号是图2图3.如图所示，。。半径为2,弦曲心口，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为.如图，在。O中，AB是直径，CD是弦，ABXCD.P是CADA上一点（不与C、D重合），求证：NCPD=NCOB；（2）点P'在劣弧CD上（不与C、D重合）时，NCP'D与NCOB有什么数量关系？请证明你的结论．

3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．.如图1,NA是。O的圆周角，且NA=35°,则NOBC=..如图2,圆心角/八08=100°,则NACB=.：如图3,AB是。O的直径，点C,D,E都在。O上，若/C=/D=/E，则/A+/B=°.:如图4,OO的直径CD过弦EF的中点G,/EOD=40，则/DF=.4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时,常添加辅助线,构造直径所对的圆周角,由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，4ABC中，NA=60°,BC为定长，以BC为直径的。O分别交AB,AC于点D，E.连接DE,已知DE=EC.下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE.其中一定正确的有（）.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m,测得圆周角NACB=45°,则这个人工湖的直径AD为（）.如图AB是。O的直径，AC八所对的圆心角为60°,BE八所对的圆心角为20°,且NAFC=NBFD,NAGD=NBGE,则NFDG的度数为（）.如图，AB是。O的直径，C,D两点在。O上，若NC=40°,则NABD的度数为（）：已知：如图,C3题

数为（）：已知：如图,C3题B:已知。中，/C=30,AB=2cm，则。的半径为cm.B0已知：如图等边^ABC内接于。，点P是劣弧BC上的一点(端点除外)，延长BP至D，使BD=AP，连结CD.8.ABBCDBD()若AP过圆心O,如图①，请你判帐PDC是什么三角形？并说明理由.()若AP不过圆心0,8.ABBCDBD9.如图，在。O中，直径AB与弦CD相交于点P,NCAB=40°,NAPD=65(1)求NB的大小；(2)已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长.

如图，好是扇口的直径，仙=DC，之t虹孽口。，&..家知的长.如图，、是。的两条弦，它们相交于点。连接、D已知，,那么的长是如图，已知点、在以为圆心，为直径的半圆上，且X于点，X于点交于点，=.()求。的半径；()求证：^13.如图，K是。0的直径，F为80上一苴，.苴乩是%］的中.苴，AD±BC-垂足为D，FB分别与他、他相交于.苴E、F(1)若，求/ME,ZABP；(2)如果AE=3，求BE.

.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补例3；如图24—1—21,已知四边形ABCD内接于00,ZB(9D=80",求NBA。和N6CD的度数.如图所示，A如图所示，A、B、C三点在圆O上，NAOC=100°,则NABC等于(140°110°120140°110°120°130°.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A第①块B第②块.第③块D第④块.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。直角三角形的外心在斜边上如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、。用直尺画出该圆弧所在圆的圆4的位置；是4是4的角平分线，2.如图，已知：△ABC是。O的内接三角形，ADLBC于D点，且AC=5,DC=3,AB=4,2，则。O的直径等于如图，在△中，N=°,=,过AC三点的圆与斜边交于点E连接()求证：=；()求^外接圆的半径。思维导图如下：综合练习一一．选择题如图，在。中，若圆心角/是4B上一点，0.已知，如图为。的直径，交。于点D交。于点EN=°给出以下五个结论：①N==;(3)=；④劣弧AE是劣弧DE的倍：⑤=C其中正确的有第3题图.如图，设。的半径为，弦的长为，弦与圆心的距离为，弦的中点到所对劣弧中点的距离为，下面说法或等式：①r=d+h②4r2=4d2+a2③已知、、中任意两个，可求其它两个。.仅①其中正确结论的序号是．②③.①②③.①③.如图，在。中，弦的长是半径为AB中点,交于点，则四边形是.平行四边形.矩形．菱形.正方形.如图所示，是。的直径，与交于点,则图中与/相等的角有（）第4题图第5题图第6题图.如图所示，AB是。O的直径弦CDXAB于点E,NCDB=30OO的半径为忑cm,则弦CD的长为A.一cm2二、填空题B．3cmC.2<3cmD．9cm．半径为弦如图,E=A的。。中，弦A的长为2君"，则弦A所对的圆周角的度数是.如图，。。的直径A与弦相交于点E,若AE二ECD=4<2则NAED二o如图所示，AB、o如图所示，AB、CD是。O的两条互相垂直的弦圆心角NAOC=130°,AD、CB的延长线相交于P,则NP=°.如图所示，在半径为3的。O中，点B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D,使BD=AB,连接AC、BC、CD,如果AB=2,那么CD=.

（（第第1（（第第110题2题图图））TOC\o"1-5"\h\z一一^^...2如图，是。的直径，=，点在。上，N=°,点为中点，直径上的一个动点，则+的最小值是3已知。的半径,弦、分别为一元二次方程2（J2J3）+46的两个根，如图，在。中，AB=BC=CD,b分别交，于E、如图，在。中，AB=BC=CD,b分别交，于E、F,求证OE=OF5如图所示，以l_l的顶点为圆4,交。于，为半径作圆，交，于，，延长求证：GE=EF.6如图所示，AB是。O的直径，C为AE的中点，CDXAB于D,交AE于F,连接AC,求证：AF=CF.如图所示，。O的直径AB长为6,弦AC长为2,NACB的平分线交。O于点D,求四边形ADBC的面积.综合练习二一、选择题、如图,。的直径为，圆心到弦的距离的长为，那么弦的长是（）、如图，。的半径为，弦的长为，是弦值为（）上的一个动点，则线段长的最小、过。内一点的最长弦为，最短弦长为的长为（）、如图,。的直径为，圆心到弦的距离的长为，那么弦的长是（）、如图，。的半径为，弦的长为，是弦值为（）上的一个动点，则线段长的最小、过。内一点的最长弦为，最短弦长为的长为（）A^^.«41cm4如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子、在点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上，读得刻度个单位，个单位，则圆的直径为（）A个单位.个单位.个单位.个单位、如图，0°的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（）

径AB的长是（）TOC\o"1-5"\h\z6．下列命题中，正确的是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦c弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆4.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆47、如图5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）3^3^3^33yjAA/./・/./8有个命题，①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆4的弦;④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是.①④.①,则和的距离是.①④.①,则和的距离是.或两点到的距离之和等于、在半径为的圆中，弦〃，A.7cmB.1cm0如图6是。直径，，弦二，填空题、是半径为的。上不同两点，则的取值范围是.2、在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成个部分.3如图，是。直径，弦与交于，若，则只需填写一个）4、某圆半径为4则，的一弦中点到所对劣弧中点的距离为2则，的则此弦长为；、直径的。中有两平行弦和，，，则与的距;、如图，O的直径为，弦,是弦上的一个动点，那么长的取值范、如图，在半径为的O中，两弦，于，若，，则第3第3卷第6照笫7聘KU且,若N方所对圆心角度数为、如图，是0直径上一点，过作弦°4则丽所对圆心角度数为、半径为的圆中，长度等于点的弦所对圆心角是度;0、圆的一条弦分圆为4：5两部分，则其中优弧所对圆心角为度_.1已知是O的直径，弦D,为垂足，，，贝U2过O内一点的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则的长等于—3在半径为的圆中有一条长为的弦，那么这条弦的弦4距等于三解答题1如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧点C交弦于点D已知：=24cm,=8cm。（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径。2已知：如图，是N的角平分线上的一点，。与相交于，点，与相交于G点，试确定线段与之间的大小关系，并证明你的结论．3如图，为半圆的直径，半径，，为中点，过形ABOC为菱形作弦CN求证：四边4直径为作弦CN求证：四边=那么油少