《数学模型》习题参考解答

《数学建模》习题解答第一章部分习题3(5).决定十字路口黄灯亮的时间长度.4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5.模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：(1)分段的指数增长模型.将时间分为若干段，分别确定增长率r.(2)阻滞增长模型.换一种方法确定固有增长率r和最大容量xm.x7.说明1.5节中Logistic模型（9）可以表示为xtm，其中t0是人口增长出现1ertt0拐点的时刻，并说明t0与r，x的关系.m8.假定增长服从这样的规律：时人口的刻t的人口内人口的增量与为x(t)，t到t+△t时间图形并与指数增长模型、x-x(t)成正比（其中为x最大容量）.试建立模型并求解.作出解的mm阻滞增长模型的结果进行比较.9(3).甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。参考答案ss23(5).司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离，设通过十字路口的距离为，汽车行驶1vts速度为，则黄灯的时间长度应使距停车线之内的汽车能通过路口，即1sst12v其中s1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.f和g，将椅子旋转180，其余作法与1.34.相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为节相同.5.人、猫、鸡、米分别记为i1,2,3,4，当在此岸时记ix1，否则记x0，则此岸的ii1x,1x,1x,1x，允许状状态可用sx,x,x,xss表示。记的反状态为'12341234态集合为S1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0及他们的5个反状态，当在船上时记u1，否则记u0，允许决决策为乘船方案，记作du,u,u,ui1234ii策集合为D1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0kskd记第次渡河前此岸的状态为，第次渡河的决策为，则状态转移律为kksd,d,,dD,，使状态，设计安全过河方案归结为求决策序列12ns1dkk1kk1,1,1,1sS按状态转移律由初始状态sn经步达到s0,0,0,0。一个可行的方案k1n1如下：ks123456781,1,1,10,1,0,11,1,0,10,1,0,01,1,1,00,0,1,01,0,1,00,0,0,01,0,1,01,0,0,01,0,0,11,0,1,01,1,0,01,0,0,01,0,1,0kdk6(1).分段的指数增长模型根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段：1790年至1880年平均年增长率2.83%；1890年至1960年平均年增长率1.53%；1970年至2000年平均年增长率1.12%.三段模型为（1790年为t=0，1880年为t=1，⋯）x(t)=3.9e0.283t，t=0,1,⋯,101x(t)=x(10)e0.153(t-10)，t=11,12,⋯,1821x(t)=x(18)e0112(t-18)，t=19,20,⋯,22326(2).阻滞增长模型可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r，取某些专家的估计400百万为最大容量x，以1790年的实际人口为x，模型为1.5节的(9)式。m0以上两个模型的计算结果见下表：年179018005.318107.218209.6183012.912.1184017.116.1185023.221.3186031.428.3实际人3.9口模型（1）3.95.26.99.1模型（2）3.95.27.09.412.616.722.229.3（续表）年1870188050.249.849.9189062.966.164.1190076.077.081.2191092.01920106.5104.6124.11930123.2121.9149.01940131.7142.0174.9实际人口38.6模型（1）37.589.7模型（2）38.4101.3（续表）年195019601970198019902000实际人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4模型（1）165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型（2）200.9225.8248.6268.7285.9300.17.xxt=t时m,立即可得20注意到xxt()mx1(1)ertmx，01xxxtlnxt且m0，m.rx1e0rtt008.dxrxx,dtmx0x,0其中r为比例系数。解上述初值问题得:xtxxxemrt，m0如下图中实线所示：xxmxm/2x00t当t充分大时，它与Logistic模型相近。9(3).不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是：8:00,8:10,8:20,⋯,那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8:09,8:19,8:29,⋯.第二章部分习题3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg）建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%wd9.用宽布条缠绕直径的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。若知道长度，需用多长的布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其它形状呢v16.雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和g重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用v量纲分析方法给出速度的表达式能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播，据分析在时刻17.原子弹爆炸时巨大的t冲击波达et0时r0）用量到的半径与释放的能量，大气密度，大气压强有关（设纲分rpp5t6et1/52析方法证明r，是未定函数e23参考答案n8不变，所以2.5节（2）式p3.由模型假设3，划桨功率与体重成正比，而桨手数改为v/s1/3。记重量级组和轻量级组的体重、艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为tvs1/31/3。估计2211,,v,v,t,t,s,ss/s的大12，则小：重量级组体tvs212121212211s/s不会超过1.05。单艇身略大，又会使浸没面积减少，因而1重大，会使浸没面积增加，2173t/t0.96.，可得21286代入d0,/2;d,0若，若一定，dcos9.将管道展开如图，可得时布条长度显然为dl/，若考虑两端的影响，则应加上l管道长度d/sin为，不考虑两端的影响d，对于其他形状管道，只需将改为相应的周长即可解得1fv,,,g0,MLTF,0,vrg,1/21/21216.设11，是未定函数.1/2rgvrgrg/3/21/211/2于是3/221F,0,ert,pte2356于是2fe,,p,r,t017.设解得52121et1/5pt256r.e23第三章部分习题1.在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小b3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。xq4.在3.4节`最优价格模型中，如果考虑到成本随着产量的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。a1.5m（颈部以下），宽b0.5m厚c0.2m，设跑将人体简化成一个长方体，高步距离d1000m,跑步最大速度v5m/s，雨速u4m/smw2cm/h，记跑，降雨量v步速度为，按以下步骤进行讨论；（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量同一铅直平面内，且与人体的夹角为，如图（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在va,b,c,d,u,w,之间的关系，v问速度多大，总淋雨量最少，1建立总淋雨量与速度及参数计算0,300时的总淋雨量。（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为，va,b,c,d,u,w,之间的关系，v问速度多大，总淋雨量如图2建立总淋雨量与速度及参数最少，计算300时的总淋雨量。v（4）以总淋雨量的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果同一平面内，模型会有什么变化。参考答案k1.设购买单位重量货物的费用为，对于不允许缺货模型，每天平均费用为ccrTcTkr,T,Q，的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为122TcT,Q1cQ2cc0,c0rTQkQc2T,Q，可求出的最23，利用T2r2rTQ1优结果为2ccc3k22crcckr23krcc32T*,Q*12213rcccccccccc32323223222TQk*，*均不考虑费用时的结果减小.'b1b1bb0，表示火势越大，灭火速度越小，分母中的1是防止b3.不妨设时而加的，最优解为c'b22cbb1b1b1'x.122c'23qxqkx,k，是产量增加一个单位时成本的降低，最优价格为4.不妨设0qkaap*21kb2b.07.d1)全身面积s2ab2acbc2.2mt200s，降雨量v2，淋雨时间m2cmh104m2.44升Qst，所以总淋雨量18scosQbcdusinv；雨速水平分量，方向与相反，合速度2)顶部淋雨量v1usinvu，迎面淋雨量usinv，迎面单位时间、单位面积的淋雨量，所以总淋雨量bdcucosausinvabdusinvQQQQ2。uvuv12vv0,Q1.15300,Q1.55升。升。Q时最小，musinv，于是总淋雨量3)与2）不同的是，合速度为bdcucosausinvbduccosasinav,vusinQbdcucosavusinbduccosasinavuuvuv，,vusinvuvc时最小mccosasin0,tanvusinvvQ。否则时最小（见Q若即，则a下图）当300,tan0.21.5,v2ms,Q0.24升最小，可与vv,Q0.93升相m比.4)雨从背面吹来，只要不太大，满足tanca（a1.5m,c0.2m时，〉7.60即可），vusin,Q最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨.5)再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化.第四章部分习题2.一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解3.某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00,根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：时间段（时）9—1010—1111—1212—11—252—363—484—58服务员数量4346储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间，储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元，问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分A，B），按照生产工艺要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（%），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（%）,售价分别为9，15（千元/吨），根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量有，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求分别为100，200吨，问应如何少费？别记为限制安排生产？参考答案2.将大学生数量为34，29，42，21，56，18，71的区分别标号为1，2，3，4，5，6，7区，划出区与区之间的如下相邻关系图：rix1表示i,j区的大学生由一个销售代理点供记为第区的大学生人数，用0-1变量iij，否则ij且i,j相邻x0,建该问题的整数线性规划模型应图书ijMaxrrxijiji,j相邻s.t.x2iji,jxji1iijjjx0,1ij即Max63x67x71x50x85x63x77x39x92x74x89x1213232425344546475667xxxxxxxxxx2232425344546475667x1213xx11213xxxx112232425xxx1132334s.t.xxxxx12434454647xxx1254556xxx1465667xx14767x0或1ij用LINDO求解得到：最优解为xx1（其他为0）最优值为177千人.2547x3.设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12：00～为午餐时间的有名，以1：00～2：001为午餐时间的有名；半时服务员中从9：00，10：00，11：00，12：00，1：00开始工作x2y,y,y,y,y的分别为名，列出模型：12345Min100x100x40y40y40y40y40y1212345

xxy4121xxyy31212xxyyy4112123xyyyy621234yyyyy512345xs.t.xxyyy634512xxyy845122xxy815yyyyy312345xxyyyyy,,,,,,10且为整数212345x3,x4,y0,y0,y2,y0,y1,最小费用为820(1)求解得到最优解1212345元。(2)如果不能雇佣半时服务员，则最优解为x5,x6,y0,y0,y0,y0,y0，最小费用为1100远，即每天至少增1212345加1100-820=280元。(3)如果雇佣半小时服务员的数量没有限制，则最优解为x0,x0,y4,y0,y0,y2,y8，最小费用为560元，既每天可以减少1212345820-560=260元。6.设y,zy,z分别是产品中是来自混22AB分别是产品中是来自混合池和原料丙的吨数，11x,x,x；混合池中原料甲乙丙所占的比例分别为。优化目标是总利124合池和原料丙的吨数润最大，即1Max96x16x15xy156x16x15xy910z1510z124124212约束条件为:大供应量限制：xyy501)原料最412大需求量限制：yz100,yz2002)产品最11223)产品最大含硫量限制：对产品A,3xxxy2z3x2.5，即xx22.5y0.5z012411yz1411113xxx1.5y0.5z0对产品B,124224)其他限制：xxxxxxyzyz01,,,,,,,1241241122xx0.5,yz100,其余为0；目标函数值为LINGO用求解得到结果为：2422450.

第五章部分习题1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：sts1/s1/it（1）若，则先增加，在处最大，然后减少并趋于零；单调减少0s至。itst，则单调减少并趋于零，单调减少至。s1/s（2）若0thr,t9.在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率和生育模式是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。vh*16.建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为，出手高度为出手角度为（与建立投掷距离与v,h,地面夹角），v,h的关系式，并在一定的条件下求最佳出手角度。参考答案单调减少。diis1,disi.由后一方程知dt0,stdsSIR1.模型（14）式可写作dtdt11di1di0,it达到最大时，dtsss0,its1)若，当时，0增加；当dt01di0,it减少isi018式且值；当时，dtm1dis0,it单调减少至零2)若，dt0hrt19.一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率；晚婚晚育相当于生育模式中（5。hr曲线（5。2胎一些规定可相当于略高于1，且rrt6节（13）式）使和增大；生育第1c6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16.在图中坐标下铅球运动方程为xtyt解出，后，可x0,yg,x00,y0h,x0vcos,y0vsin.以求得铅球掷远为vv2g2h1/22sin2Rsincosvcos,这个关系还可表为gg2R2g2v2cos2hRtandRdv最佳出手角度*sin10，得，和最佳成绩由此计算*2vgh2R*vv22gh设h1.5mv10m/s，41.4R11.4m.0，*，则*g第六章部分习题Gompertz模型；Nxtrxln2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是，xrN其中和的意义与Logistic模型相同。设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为hEx，讨论渔场鱼量的hE和渔场鱼量水平xm平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度*0m，求平衡点并分析其稳定性3.在6.3节种群竞争模型中设1121211.一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物，爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存，在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点12.大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少，在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。参考答案N2.模型为：xFxrxlnExx0xNeE/r。0，如图所示，有2个平衡点：和xx0关）最大持续产量为hrN/e，获得h可证不稳定，稳定（与的大小无的mmxE0Er,x*N/em0，11/3.在条件下，记即。有3个平衡点：，1PN,01P0,N212122时，不稳定，稳定；1时，反之PP211P0,0P。不稳定；33xt,xt,xt，若不考虑自然资源对植作111.植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记23物生长的限制，则模型为332xxrx,xxrxx,xxrx1111222221333rrP0,0,0,P,,0,Pxx12式中常数可作类似6.5节的解释，平衡点为21点中和的12221结果与6.5节相同。xt的增加率与尚未迁移的xtNNx12.记岛上物种数为，大陆上物种数为。设物种数xt的减少率与x成正比，成正比，同时已迁移的物种数则,0,稳定状态时NxtNxxx0.第七章部分习题1(1).对于7.1节的蛛网模型讨论：因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影k1k1kyxk1响到下一时段的价格，所以第可时段的价格由第和第时段的数量和k1x决定。如果仍设xy给出稳定k仍只取决于，平衡的条件，并于7.1节的结果进行比较kk16.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中，证明当时间充分长以后若总和繁殖率R.1，则R.1则种群减少。种群增长，若参考答案1(1).简单地假设yxxk由和的平均值决定，模型为k1k1xxyykx,0k12k1000xxyy,k10k0k得2xxx21x，与7.1节（B）的0结果相同，平衡点稳定的条件k2k12仍为.1的充分条件。又因（11）式可写作：R16.由7.4节定理1及（11）式可知，是bbsbsss1R1时，。反之，11时，必有R1；当1212n12n1，所以当n11亦有R1时；R1时。再由（15）式即得R1时，R1时种群种群增长；减少.第八章部分习题www,,w,其中T是对,12.对于n阶成比例阵Aa,设a=iwjijijijijij1nij2的随机应与最大特征根的特征向量，a表示在一致性附近的扰动，若为方差ijij2CI变量，证明一致性指标25.为减少层次分析法中的主观成分，可请若干专家每人构造成对比较阵，试给出一种由若干个成对比较阵确定权向量的方法7.右图是5位网球选手循赛的结果。作为竞赛图，它是双和向连通的吗？找出几条完全路径，用适当排出5位选手的16.奇数个操纵表决的条件下，三派占有的席位名次。席位的理事会由三派组成，议会表决实行过半数通过方案，证明在任一派都不能不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。参考答案ji可得ijnai1,2,n和aijA2.记的特征根为，由iijj1j1j11nnn1n,1a1，一致性指标为ijij。注意到nnijiji1j1i1ji1iij12nn1n1nn111nn12ijn1nn1nCI12ij12i1ji1i1ji1ijAak1,2,ss5.设有个专家的成对比较矩阵kk，要给出综合的权向量ij，方法很多，如,,1n~wwk,,wwA方法一：由k求出权向量kk。再求几何平均值，1ni~s1,,,wkins因子，满足1kkkk是第个专家的加权iik1k1~wi~最后归一化为in.ii1ijaAaij方法二：先取k的几何平均，得到综合的成对比较阵，nns同上，i,j1,,n,aijakAk再由计算权向量.ijkk17.竞赛图是双向连通的，24531,53124等都是完全路径，图的邻接矩阵0101000110A10000为：0010111100各级得分向量为13,11,7,13,17ss14,3,2,4,5,s7,6,4,7,9,s32,2,1,2,3,sT2TT4T。由此可知，名次为5,14,2,3（选手1和4名次相同）。这个A结果也可由计算的最大特征根和s对应特征向量得到1.8393,s0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769T.席位分别为n,n,nnnnn（奇数），任一派不能操纵表决，12316.设三派的，记即123n1n1n,n,nnn,nn,nn，于是，即任两派的席位过半数。显然三221231213231派的权重都是一样的各占3.第九章部分习题4.商店要订购一批商品零售，设购进价c2，订购费c0（与数量无关），随机需c1，售出价c3（与时间无关），问如何确定订购量才能使求量r的概率密度为p(r),每件商品的贮存费为商品的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制.7.在9。4节给出的每得到一根成品材的浪费量多大（与原来的数值相比较）例子中，若l=2.0m不变，现均方差减为=10.cm，问均值m应为多大，参考答案u4.设订购量为，则平均利润为30u0uJucrprdruprdrccucurprdr210uuurprdr23ccuccc2100prdrccu*u21u的最优值*满足cc023*rprdrcJuccu*最大利润为为使这个利润为正值，应有2300u*rprdrccc30207.l2022.1,m*2.21m此*Z2.1。再由（解（13）得*11），（18）式，即最佳均值m*l0.25m，比原来的pm*pm0.9821J，每一根成品材的浪费量为1又可算出*0.45m减少甚多.第十章部分习题7.下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降，希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系.生产650340400800300600720480440540750批量单位2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50成本参考答案xxyy7.生产批量与单位成本分别记作x和，为表示在500以上和以下时，与的不同关1,x500x500，建立线性回归模型DD系，引入一个虚拟变量，令0,2，得到的结果为参数估计值6.1621yxx500D01参数置信区间5.03687.287400.00200